Descriptiva MCGraw Hill.

¿Recuerdas qué es…?
Intervalo
El intervalo semiabierto por la
derecha [a, b) es el conjunto de
todos los números reales mayores
o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x
R| a ≤ x < b}
Sector circular y ángulo
central
Un sector circular es la porción
de círculo comprendido entre
dos radios, y queda determinado
por el ángulo que forman estos
radios. Este ángulo se llama
central.
Estudio estadístico
y variable estadística
Se hace un estudio estadístico
cuando se quiere obtener
información sobre algún tema
relacionado con un grupo de
elementos similares.
La información se obtiene a partir
de una pregunta llamada
variable estadística.
Parámetros estadísticos
Son valores que sintetizan la
información contenida en una
variable estadística. Algunos
de ellos son la media, la mediana,
la moda, la desviación típica,
etcétera.
11
TÍTULAR (PUEDE SER
DE DOS LÍNEAS)
ESTADÍSTICA
La Estadística, o «ciencia del Estado», se
Texto deen
introducción
(ajustar
la manchade
de
empleó
su origen para
la descripción
color alResulta
texto). lógico
Un libro
delos
recetas
de quieran
cocina
datos.
que
Estados
indica que,
para lacaracterísticas
elaboración dedeuna
estudiar
distintas
lastarta
de manzana ypara
personas se necesitan
poblaciones
sus 4
recursos.
los siguientes ingredientes: 200 g de masa,
6 manzanas
reineta,
g de azúcar,
cuEl
primer objetivo
de150
la Estadística
es3hallar
charadas de mermelada
de albaricoque
y
procedimientos
para representar
y sintetizar
200
g de cremaproporcionada
pastelera. Si lopor
queciertos
se desea
la
información
es hacer
tarta
para 8 personas,
es lógico
datos.
Launa
rama
denominada
Estadística
suponer quese
laencarga
cantidaddenecesaria
de cada
descriptiva
este objetivo.
uno de los ingredientes es el doble de la indicada para una tarta
de 4 personas.
Pero
Posteriormente,
la Estadística
abordó
unsi se
quiere que
la tarta
de cinco, realizar
seis o siete
objetivo
mucho
mássea
ambicioso:
raciones, ¿cuál
seríasobre
la cantidad
necesaria
predicciones
fiables
la población
departir
cada de
ingrediente?
a
una muestra extraída. De ello se
encarga la llamada Estadística inferencial.
En esta Unidad, vas a ver cómo puedes calcular
la cantidad
detécnicas
cada uno
los ingreEl
desarrollo
de las
dede
análisis
dientes
para permite
hacer una
tarta convariables
las raciones
de
muestras
relacionar
que desees
a partir
de la receta
dada.
físicas
y sociales,
incluso
antes de
encontrar
el principio que explica su relación.
Los objetivos
(Objetivos
o contenidos)
de esta Unidad son:
Los objetivos de esta Unidad son:
• Dominar los conceptos elementales
deQue
la Estadística
descriptiva.
©
aprendas a
determinar la constante
de
proporcionalidad.
• Aplicar las técnicas y cálculos estadísticos
a un conjunto de datos.
00. La Tierra
A. Los movimientos de la Tierra
11
1
NOCIONES DE ESTADÍSTICA
Supón, a modo de ejemplo, que deseamos estimar el tiempo que puede sobrevivir una determinada especie vegetal sin ser regada. No parece razonable
dejar sin agua a todas las plantas de esa especie, pero sí se puede seleccionar
un grupo de éstas y someterlas a esta prueba. Pues bien, el conjunto de todas
las plantas de esa especie se denomina población, y el grupo de plantas que
se somete a la prueba se denomina muestra. Del estudio de la muestra se
pretende obtener conclusiones referidas al total de la población.
Población es un conjunto de elementos que, por un motivo u otro, estamos
interesados en estudiar.
Individuo es cada uno de los elementos de la población.
Muestra es una parte de la población.
La Estadística es la ciencia que, mediante el uso de modelos matemáticos,
organiza datos asociados a una cierta población y permite obtener conclusiones a partir de muestras.
Reflexiona
Otros aspectos asociados
a distintas poblaciones son,
por ejemplo, «el número
de horas que entrenan unos
deportistas» o «la profesión de
los integrantes de un club
de ajedrez».
Ten en cuenta
En la práctica, los términos
carácter y variable se emplean
como si fueran equivalentes.
Así, hablamos de variables
cualitativas y cuantitativas.
WEB
http://descartes.cnice.mec.
es/materiales_didacticos/
iniciacion_estadististica_
fjgarcia/01VariablesEstadisticas.
htm
En esta página de F. J.
García aparecen distintos
tipos de variables que hay
que identificar, pudiéndose
comprobar la respuesta.
En una población determinada se pueden estudiar distintos aspectos. Así, en
el ejemplo que abre esta sección, el aspecto que estudiamos es «tiempo de
vida de una planta sin ser regada».
Los distintos aspectos o rasgos de una población se llaman caracteres
estadísticos, o simplemente caracteres.
Un carácter es cualitativo si toma valores no numéricos. Por ejemplo, el
«lugar de nacimiento» es un carácter cualitativo, pues los valores que toma,
Madrid, Segovia, Badajoz…, no son numéricos. Los valores que toma un carácter cualitativo reciben el nombre particular de modalidades.
Un carácter es cuantitativo si toma valores numéricos. Así, «la edad de una
persona» que toma valores como 5 años, 6 años, 30 años…, es un carácter
cuantitativo.
El conjunto de valores que toma un carácter estadístico se denomina variable estadística, o, si no hay confusión, variable.
Una variable cuantitativa es discreta si los valores que toma son aislados. Por
ejemplo, «el número de hermanos» o «el número de páginas de un libro». Si
la variable puede tomar todos los valores de un intervalo, se denomina continua. Son variables continuas «la talla», «el peso» o «el tiempo que tarda un
corredor en concluir una maratón».
Ejercicios
202
1 Pon dos ejemplos de carácter estadístico cualitativo y dos de carácter estadístico cuantitativo.
3 Pon dos ejemplos de variable discreta, e indica los valores aislados que pueden tomar.
2 A unos alumnos se les pregunta por el deporte que practican. ¿Es un carácter cuantitativo?
4 Piensa en dos ejemplos de variable continua,
e indica los valores que pueden tomar.
2
TABLAS DE FRECUENCIAS
Definición
El primer problema de la Estadística es la ordenación y tabulación de los datos obtenidos en ciertas observaciones para extraer conclusiones sobre las
características de una población. Las tablas de frecuencia de una variable
estadística permiten ordenar los datos estadísticos y proporcionar una lectura
clara de los mismos. Distinguiremos dos tipos de tablas.
A
El conjunto de datos obtenidos
en un estudio estadístico se
llama distribución de datos.
Definición
VARIABLES DISCRETAS
El símbolo , que no es más
que la letra griega sigma, en
matemáticas se llama sumatorio
y sirve para escribir de manera
abreviada sumas. Así, la
expresión x1 + x2 + ... + x n se
Supongamos una variable discreta que toma los valores x1, x2, ..., xi, ... Asociados a estos datos, definimos:
— Frecuencia absoluta del valor xi: es el número de veces que se repite el
valor xi. Se representa como fi.
n
n
fi .
— Tamaño de la población: es N = f1 + f2 + ... + fn =
fi .
abrevia como
i=1
i=1
— Frecuencia relativa hi del valor xi: es el cociente entre la frecuencia
f
absoluta y el tamaño de la población o de la muestra, esto es, hi = i .
N
— Porcentaje del valor xi es el tanto por ciento de aparición del valor xi. Se
representa como pi, y se calcula con la expresión pi = 100 · hi.
Ten en cuenta
En el Ejemplo 1, el dato 0
aparece 2 veces, por lo que su
frecuencia es f1 = 2. Igualmente
con el resto de datos.
Con lo anterior, se construye la denominada tabla de frecuencias.
Ejemplo 1
A un grupo de 20 socios de una biblioteca se les ha preguntado sobre el número de libros que
han leído el mes pasado. Las respuestas son las siguientes:
4, 2, 1, 0, 3, 1, 4, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 3, 4, 1, 2.
El tamaño de la población es N = 20, y la tabla de frecuencias queda así:
xi
0
1
2
3
4
Total
fi
2
6
6
2
4
N = 20
hi
2/20 = 0,1
6/20 = 0,3
6/20 = 0,3
2/20 = 0,1
4/20 = 0,2
1
pi
10%
30%
30%
10%
20%
100%
Ejercicios
5 Construye la tabla de frecuencias de las siguientes distribuciones de datos, señalando situaciones reales a las que se puedan asociar:
a) 4, 3, 2, 2, 0, 1, 4, 1, 1, 3, 0, 0, 0, 4, 5.
b) 18, 23, 22, 19, 23, 23, 24, 21, 23, 19, 18, 23, 23,
24, 23, 22, 23, 21.
6 Copia en tu
cuaderno y completa la tabla de
frecuencias de
las edades de los
miembros de un
club de ajedrez:
xi
9
10
11
Total
fi
hi
0,15
pi
9
40 %
20
203
11
B
VARIABLES CONTINUAS
Si la variable es continua, o el número de valores distintos de la variable es
muy elevado, conviene elaborar una tabla de frecuencias agrupando los datos
en intervalos o clases.
Ten en cuenta
El punto medio de cada clase se denomina marca de clase y se designa
como xi.
Los intervalos suelen ser
del mismo tamaño, aunque
no siempre es así.
Una vez distribuidos los datos en intervalos y calculadas las marcas de clase,
el modo de proceder es análogo al de las variables discretas, sustituyendo la
totalidad del intervalo por su marca de clase.
Ten en cuenta
Ejemplo 2
A modo de ejemplo, la marca
de clase de [10,15) es:
10+15
= 12,5
2
Una fábrica elabora varillas de hierro de diferentes longitudes.
La longitud, en milímetros, de 30 de ellas es la siguiente:
WEB
http://descartes.cnice.mec.
es/materiales_didacticos/
Recuento_y_agrupacion_datos/
organizacion_datos.htm
Página de J.A. González que
permite la visualización de
la construcción paso a paso
de una tabla de frecuencias
finalizando con el cálculo
de la media.
15
12
11
14
24
17
10
6
10
23
10
15
17
18
19
16
12
23
12
19
24
18
12
13
24
8
21
15
11
14
Se trata de una distribución de variable continua. El dato menor
es 6 mm y el mayor es 24 mm, por lo que podemos formar estas
cuatro clases: [5, 10), [10, 15), [15, 20) y [20, 25). Efectuando el
recuento de los datos y agrupándolos en estas clases, se elabora
la tabla de frecuencias:
Clases
http://descartes.cnice.
mec.es/materiales_
didacticos/iniciacion_
estadististica_fjgarcia/
02TablasDeFrecuencias.htm
Esta página de F. J. García
permite construir tablas de
frecuencia de variable discreta
controlando el tamaño de los
intervalos.
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
Total
Marca de
clase x1
7,5
12,5
17,5
22,5
fi
hi
pi
2
12
10
6
N = 30
2/30
12/30
10/30
6/30
1
6,66 %
40 %
33,33 %
20 %
100 %
Ejercicios
7 El número de personas que acudieron a un
servicio médico a lo largo del último mes es:
24
23
28
41
22
22
26
35
32
22
25
26
30
43
27
28
41
34
29
27
21
40
24
29
31
35
32
38
43
40
Agrupa los datos anteriores en intervalos de amplitud 5 y elabora la tabla de frecuencias de esta
distribución.
204
8 Copia y completa en tu cuaderno la siguiente
tabla de frecuencias:
Clases
[0, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
Total
Marca
x1
f1
h1
10
0,20
pi
30 %
5
2
N = 50
4%
3
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
Los parámetros estadísticos son un pequeño número de valores que resumen la información de una variable estadística. Se dividen en parámetros de
centralización (los datos se agrupan en torno a éstos) y parámetros de dispersión (informan sobre la intensidad con que se agrupan los datos en torno a
los valores centrales).
A
Vocabulario
Parámetros de centralización:
Media, moda, mediana,
cuartiles, percentiles…
Parámetros de dispersión:
Varianza, desviación típica y
coeficiente de variación.
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA
Considera una variable estadística X, de tamaño N, con la tabla de frecuencias
del margen. Los valores x1, x2, xi, ... xn son los valores de la variable, si ésta es
discreta, o las marcas de clase, si es continua.
La media aritmética de X es:
n
f x + f x + … + fnxn
=
x– = 1 1 2 2
f1 + f2 + … + fn
n
fi xi
fi xi
i=1
n
=
fi
i=1
N
xi
x1
x2
·
·
xn
Total
fi
f1
f2
·
·
fn
N
i=1
CD
La media aritmética (o por simplicidad, la media) es un valor en torno al cual
se concentra la distribución, y se mide en las mismas unidades que los datos.
En la pestaña Actividades/
Unidad 11, encontrarás la
actividad Relación 2 unidad 11,
para calcular la media.
Ejemplo 3
En la distribución del margen se ha añadido una columna con
los valores de los productos fixi, lo que facilita el cálculo de la
n
26
1,73...
media. Como N = 15 y fi xi = 26, la media es x– =
15
i=1
n
La varianza de X es Var =
2
=
–2
fi (xi – x)
i=1
=
N
La desviación típica de X es = Var ≥ 0.
n
fi xi2
i=1
N
xi
0
1
2
3
4
Total
fi
2
5
5
1
2
N = 15
fi xi
0
5
10
3
8
26
– x– 2 ≥ 0
La varianza se mide en unidades cuadradas, mientras que la desviación típica
lo hace en las mismas unidades que los datos.
Ejemplo 4
A partir de la distribución del ejemplo 3, multiplicando la columna
xi por la columna fixi obtenemos fi xi2, lo que nos permite calcular:
n
Var =
i=1
f i xi 2
N
– x– 2 =
= Var =
66
26
–
15
15
2
1,3955...
xi
0
1
2
3
4
Total
fi
2
5
5
1
2
N = 15
fi xi
0
5
10
3
8
26
fi xi2
0
5
20
9
32
66
1,3955... = 1,1813...
205
11
B
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
La desviación típica representa una medida de la dispersión de los datos
respecto a la media. Ahora bien, como media y desviación típica tienen unidades, el que la desviación sea «grande» o «pequeña» es poco relevante si
se desconoce lo «grande» o «pequeña» que es la media. En particular, la desviación típica por sí sola no permite comparar grados de dispersión de dos
distribuciones de datos. Para resolver este problema, se define el coeficiente
de variación (o de dispersión).
Ten en cuenta
El coeficiente de variación
es una magnitud sin unidades
y representa una medida
relativa de la dispersión.
El coeficiente de variación CV de una variable X es el cociente entre la
desviación típica y la media. Es decir, CV = – .
x
Ejemplo 5
Dos vendedores de enciclopedias efectúan, durante la última semana, las ventas siguientes:
Vendedor A
4, 3, 8, 0, 4, 6, 8
Vendedor B
4, 6, 4, 2, 1, 6, 6
Para decidir cuál de los dos es más regular en las ventas
se calculan los respectivos coeficientes de variación. La
media, la desviación típica y el coeficiente de variación
de A son:
33
x–A = ,
7
A =
CVA = –A
xA
205 33
–
7
7
2,66
4,714
Ventas
xi
0
3
4
6
8
Total
fi
1
1
2
1
2
N=7
Vendedor A
fi xi
fi xi2
0
0
3
9
8
32
6
36
16
128
33
205
2
2,66
0,56 = 56 %
La media, la desviación típica y el coeficiente de variación de B son:
145 29 2
–
1,88
7
7
1,88
0,45 = 45 %
CVB = –B
4,14
xB
Como el coeficiente de variación CVB es menor que CVA ,
se puede concluir que el vendedor B es más regular que
el vendedor A en la venta de enciclopedias.
29
x–B = ,
7
B =
Ventas
xi
1
2
4
6
Total
Vendedor B
fi xi
fi xi2
fi
1
1
1
1
2
4
2
8
32
3
18
108
N=7
29
145
Ejercicios
9 Calcula la media, la varianza, la desviación
típica y el coeficiente de variación de las distribuciones asociadas a los ejercicios 7 y 8.
10 Estudia la variable estadística continua
«talla en centímetros», aplicada a dos grupos
distintos de tu clase, y calcula la media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de
variación. Decide en cuál de los dos grupos es
mayor la dispersión en la talla.
206
11 Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de estas distribuciones:
a) 27, 22, 29, 30, 21, 22, 27, 18, 23, 26, 33, 35, 20,
26, 29.
b) 26, 21, 27, 31, 19, 24, 26, 19, 20, 24, 31, 32, 18,
23, 30.
¿Cuál de las dos distribuciones tiene mayor grado
de dispersión?
C
MEDIANA Y MODA
Estudiamos en esta sección la mediana y la moda. Para definir y calcular la
mediana es necesario el concepto de frecuencia absoluta acumulada.
En una tabla de frecuencias, la frecuencia acumulada asociada a xi, representada como Fi, es la suma Fi = f1 + f2 + … + fi. El valor de Fi es la suma de
las frecuencias absolutas de x1, x2, … y xi.
Ten en cuenta
Fn = N
Ejemplo 6
Consideremos la siguiente tabla de frecuencias a la que se añade la columna de frecuencias absolutas acumuladas:
xi
0
1
2
3
4
fi
3
2
3
1
1
Fi
3
3+2=5
5+3=8
8+1=9
9 + 1 = 10
Reflexiona
Podemos abordar ya la definición de mediana de una distribución de datos.
Supongamos que el número de datos es pequeño. Tras ordenar los datos en
orden creciente, la mediana Me es el dato que ocupa la posición central. En
el caso en que el número de datos sea par, la mediana Me es la media de los
dos valores centrales.
Para definir la mediana, es
imprescindible que los datos
de la distribución aparezcan
ordenados. Hecho esto, la
mediana deja el 50 % de la
población antes de ella, y
detrás, el otro 50 %.
Ejemplo 7
La distribución (ordenada) 1, 3, 5, 7, 10 tiene 5 datos. La mediana es el dato que ocupa la posición tercera. Esto es, Me = 5.
La distribución 9, 10, 12, 15, 15, 16, 19, 24, 30, 45 consta de 10 datos. Los datos centrales, en
las posiciones quinta y sexta, son 15 y 16. Por tanto, la mediana es:
15 + 16
Me =
= 15,5
2
Ejemplo 8
En la tabla de frecuencias del margen, el número de datos es
N = 22, que es un número par. Como la mitad del tamaño de la
N
población es = 11, las posiciones centrales son la 11.ª y 12.ª, y
2
como ambas están asociadas al valor xi = 1, la mediana es:
1+1
=1
Me =
2
xi
0
1
2
3
4
fi
9
7
4
1
1
Fi
9
9 + 7 = 16
16 + 4 = 20
20 + 1 = 21
21 + 1 = 22
Ejercicios
12 Calcula la mediana de las distribuciones del
ejercicio 11.
13 Halla la media, la mediana y la desviación
típica de la distribución: 3, 5, 2, 4, 6, 6, 4, 3, 5, 7, 4.
207
11
Supongamos ahora que los datos se agrupan en intervalos. Denominamos
clase mediana al primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada es
mayor o igual que la mitad del tamaño de la población. Designamos Fi a esta
frecuencia absoluta acumulada, y xi a la marca de la clase mediana. Existen
dos posibilidades:
Ten en cuenta
De este mismo modo, se
puede calcular la mediana
de una distribución de
variable discreta con los datos
presentados en una tabla
de frecuencias.
Altura
[0, 20)
[20, 40)
[40, 60)
[60, 80)
xi
10
30
50
70
fi
12
16
20
4
Fi
12
28
48
52
N
, entonces la mediana es Me = xi.
2
N
x +x
— Si Fi = , entonces la mediana es Me = i i + 1 .
2
2
— Si Fi >
Ejemplo 9
La tabla del margen proporciona la altura, en centímetros, de las
plantas de un invernadero.
N
= 26, por lo que la clase mediana
La mitad de la población es
2
N
.
es [20, 40), con Fi = 28 >
2
La mediana es la marca de clase de [20, 40), esto es, Me = 30 cm.
Otro parámetro que puede calcularse es la moda. A la vista de la tabla del
ejemplo anterior, se observa que la clase con mayor frecuencia absoluta es
[40, 60). Esta clase se denomina clase modal. La marca de la clase modal
se denomina moda. Así pues, la moda de esta distribución de alturas es
M0 = 50 cm.
Si la distribución de datos no necesita agrupación por intervalos (variables
discretas con pocos valores), la moda M0 es el valor (o valores) de la variable
con mayor frecuencia absoluta.
Ejemplo 10
xi
0
1
2
3
4
fi
3
2
3
1
1
N = 10
Fi
3
5
8
9
10
Consideramos la distribución: 0, 1, 3, 0, 2, 1, 0, 2, 4, 2. Al elaborar
la tabla de frecuencias, situada al margen, se observa que los valores 0 y 2 tienen frecuencia 3, que es la mayor de todas. Por tanto,
la distribución tiene dos modas: M0 = 0 y M0 = 2.
N
Respecto a la mediana, teniendo en cuenta que
= 5 coincide
2
con la frecuencia absoluta acumulada F2 de x2 = 1, se sigue que:
Me =
x2 + x3
1+2
= 1,5
=
2
2
Ejercicios
208
14 Halla la mediana y la moda de las distribuciones de los ejercicios 7 y 8.
16 Halla la mediana y la moda de las distribuciones A y B asociadas al ejemplo 5.
15 Calcula la media, la mediana y la moda de la
distribución: 3, 7, 5, 4, 3, 3, 6, 8, 10, 9.
17 Inventa una distribución de datos con mediana 2 y moda 3.
D
CUARTILES Y CENTILES
Anteriormente se ha comentado que, tras ordenar los datos, la mediana divide
éstos es dos partes iguales, dejando a su izquierda la mitad de los datos. Si
en vez de dividir la distribución en dos partes iguales, lo hacemos en cuatro
partes iguales, los tres puntos de separación asociados se denominan cuartiles y se representan por Q1, Q2 y Q3.
— El primer cuartil, Q1, deja a su izquierda la cuarta parte de la distribución,
es decir, el 25 %.
— El segundo cuartil, Q2, deja a su izquierda la mitad de la distribución y, por
tanto, coincide con la mediana, es decir, Q2 = Me.
— El tercer cuartil, Q3, deja a su izquierda tres cuartas partes de la distribución,
es decir, el 75 %.
De la misma forma, si deseamos dividir una distribución en 100 partes iguales,
aparecen 99 puntos de separación denominados centiles o percentiles. El
percentil de orden k, representado como pk, deja a su izquierda k centésimas
partes de la distribución.
Se verifica: p25 = Q1, p50 = Q2 = Me y p75 = Q3.
Ejemplo 11
Consideramos la distribución definida por la tabla del margen.
Vamos a calcular Q1, Q 2, Q 3 y P 7,
31
= 7,75.
4
El primer valor cuya frecuencia absoluta acumulada supera la
cuarta parte de los datos es 3. Luego Q1 = 3.
La cuarta parte de los datos es
La mitad de los datos es 15,5, de donde se desprende que la
mediana es Me = Q 2 = 4.
31
= 23,25,
Por último, las tres cuartas partes de los datos son 3 ·
4
por lo que se tiene Q 3 = 6.
Veamos ahora cómo calcular, a modo de muestra, el percentil
p7. Siete centésimas partes de los datos son 7 % de 31 = 2,17. El
primer valor cuya frecuencia absoluta acumulada supera 2,17
es 2. Por tanto, p7 = 2.
En el caso de las distribuciones con datos agrupados en intervalos, los cuartiles
se calculan de modo totalmente análogo a como se hace con la mediana.
Por ejemplo, para calcular Q1 se busca el primer intervalo cuya frecuencia
absoluta acumulada supera la cuarta parte de los datos. Hallado éste, se identifica Q1 con su marca de clase. Análogamente, se repite el mismo proceso
para Q3.
Clase
1
2
3
4
5
6
7
Total
fi
1
2
5
10
4
6
3
31
Fi
1
3
8
18
22
28
31
Ten en cuenta
En realidad, los cuartiles y
percentiles así calculados son
sólo aproximados. El cálculo
exacto es algo más complejo.
WEB
http://www.aulademate.com/
contentid-255.html
Página interactiva, al introducir
los valores de la variable y
sus frecuencias, el programa
construye una tabla y calcula
los parámetros estadísticos.
Ejercicios
18 Halla los cuartiles Q1 y Q3 para las distribuciones de los ejercicios 7 y 8.
19 Halla los percentiles p65 y p93 para la distribución del ejemplo 11.
209
11
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
4
Los gráficos son formas sencillas de representar las frecuencias absolutas y
relativas de una distribución de datos asociada a cierto estudio estadístico.
Según sea la variable que vamos a estudiar, se emplea uno u otro tipo de
gráficos.
A
11
DIAGRAMA DE BARRAS
Los diagramas de barras se emplean, generalmente, para variables cuantitativas con pocos valores diferentes. En unos ejes de coordenadas, señalamos
los valores de la variable en el eje de abscisas. Tras esto, sobre cada valor de la
variable se levanta una barra cuya altura sea la frecuencia (absoluta o relativa,
según proceda) correspondiente.
Frecuencia
10
Ejemplo 12
9
8
Hemos preguntado a 36 parejas el número de veces que salen
a comer o cenar fuera mensualmente. Los datos aparecen recogidos en la tabla:
7
6
5
4
N.º de veces que salen
1
2
3
4
5
6
3
N.º de parejas
3
9
2
8
10
4
2
El diagrama de barras asociado a esta distribución es el del
margen.
1
0
1
2
3
4
5
6
Valor
B
11
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Al igual que los diagramas de barras, los polígonos de frecuencias se asocian
a variables de pocos valores. En unos ejes de coordenadas se representa un
punto por cada valor de la variable. La abscisa de cada punto representa el
valor de la variable, mientras que la ordenada representa la frecuencia. Uniendo estos puntos mediante segmentos rectilíneos se obtiene el denominado
polígono de frecuencias.
Frecuencia
10
9
8
7
6
Es bastante habitual la representación conjunta del diagrama de barras y el
polígono de frecuencias.
5
4
3
Ejemplo 13
2
El gráfico del margen es el polígono de frecuencias de la distribución del ejemplo 12.
1
0
1
2
3
4
5
6 Valor
Ejercicios
20 La distribución siguiente corresponde al número de hermanos que tiene cada alumno de una
clase. Construye en tu cuaderno el diagrama de
barras y el polígono de frecuencias asociados.
210
Hermanos
0
1
2
3
4
Frecuencia
6
9
7
4
1
21 Construye en tu cuaderno el diagrama de barras y el polígono de frecuencias de la distribución
siguiente:
Valor
1
2
3
4
5
Frecuencia
2
5
9
0
7
C
Ten en cuenta
DIAGRAMA DE SECTORES
A un valor x i de frecuencia
relativa h i le corresponde un
sector circular con ángulo
central de i = 360 · h i grados
sexagesimales.
El diagrama de sectores se emplea habitualmente con variables asociadas a caracteres cualitativos, aunque también es posible su uso con caracteres cuantitativos. En este gráfico, se descompone un círculo en tantos sectores
circulares como valores tome la variable. El ángulo central de cada sector
es proporcional a la frecuencia del valor correspondiente. En este tipo de
gráficos se suele indicar el porcentaje asociado a cada sector.
Ejemplo 14
Los 500 empleados de una oficina acuden al trabajo en distintos medios de transporte.
Transporte
Coche
Metro
Autobús
Bicicleta
A pie
Total
D
fi
hi
pi
200
150
30
20
100
500
0,40
0,30
0,06
0,04
0,20
1
40 %
30 %
6%
4%
20 %
100 %
Grados
i
= 360 · hi
20 %
144º
108º
21,6º
14,4º
72º
360º
Coche
40 %
4%
Metro
Autobús
6%
Bicicleta
A pie
30 %
HISTOGRAMA
El histograma se emplea con variables cuantitativas de datos agrupados en
intervalos. Asumiendo que éstos son de igual longitud, sobre cada uno se
levanta un rectángulo cuya altura es la frecuencia del intervalo correspondiente.
Ejemplo 15
Pedro ha hecho un recuento del número de personas que viven en cada una de las calles de
un barrio de su pueblo. Los resultados aparecen agrupados en la tabla, y el histograma es:
Personas
[50, 55)
[55, 60)
[60, 65)
[65, 70)
Total
6
fi
3
2
5
4
14
Frecuencia
5
4
3
2
1
0
50
55
60
65
70
Número de personas por calle
Ejercicios
22 Dibuja un diagrama de sectores que represente las preferencias literarias de 100 lectores:
Género
Frecuencia
Policiaco
50
Aventuras
20
Terror
30
23 Construye el histograma asociado a la
distribución siguiente:
5, 8, 13, 23, 4, 16, 7, 24, 21, 1, 0, 4, 15, 11, 9, 2,
4, 11, 22, 21, 7, 6, 2, 1, 0, 4, 9, 14, 12, 22, 25, 0
211
11
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Un jardinero revisa los rosales de su invernadero y anota las alturas
de los mismos, representando los datos obtenidos en este histograma.
Halla la media, la desviación típica, la mediana y la moda de la distribución de alturas.
Frecuencia absoluta
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
20
40
60
80
100
120
Altura de los rosales en cm
Para calcular los parámetros estadísticos pedidos, es necesario elaborar la
tabla de frecuencias ampliada con las columnas adecuadas.
xi
fi
fi xi
fi xi2
Fi
[20, 40)
30
10
300
9 000
10
[40, 60)
50
8
400
20 000
18
[60, 80)
70
12
840
58 800
30
[80, 100)
90
5
450
40 500
35
[100, 120)
110
7
770
84 700
42
2 760
213 000
Altura
N = 42
Total
La clase modal es [60, 80), con frecuencia fi = 12. Por tanto, la moda, que es la
marca de clase de [60, 80), es M0 = 70 cm.
N
Respecto a la mediana, observa que la mitad de la población es = 21. La
2
N
primera clase que supera = 21 es también [60, 80), por lo que Me = 70 cm.
2
n
Por último, la media es x–
fi xi
i=1
N
=
2 760
= 65,71 cm, y la varianza es:
42
n
fi xi
2
213 000
2 760
–
42
42
N
la desviación típica es:
2
i=1
– x–2 =
=
Venta de lavadoras
212
2
2
753,623
753,623 cm2, por lo que se tiene que
27,452 cm.
2
17
7
13
8
5
10
14
9
16
2 Los datos del margen corresponden a la venta de lavadoras de un
establecimiento cada día del último mes.
12
19
18
22
20
4
12
0
14
6
17
24
9
16
22
13
10
15
0
7
a) Calcula el número medio de lavadoras vendidas en este periodo.
b) Halla la moda.
c) Halla la mediana, así como el primer y el tercer cuartiles.
Lavadoras
vendidas por día
[0, 5)
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
Total
xi
fi
fi xi
Fi
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
4
7
8
7
4
10
52,5
100
122,5
90
375
4
11
19
26
30
a) Puesto que los datos varían entre 0 y 24, para elaborar la tabla de frecuencias
parece razonable distribuirlos en las clases [0, 5), [5, 10), [10, 15), [15, 20) y
[20, 25). A la vista de la tabla de frecuencias, la venta media de lavadoras es:
n
x– =
fi xi
i=1
N
=
375
= 12,5
30
b) La clase modal es [10, 15), con frecuencia 8. Por tanto, la moda es
M0 = 12,5.
c) El número de datos es 30, y su mitad es 15. La clase mediana es [10, 15), ya
que su frecuencia absoluta acumulada excede por primera vez la mitad
de los datos. Tomamos como aproximación de la mediana la marca de
esta clase, Me = 12,5.
La cuarta parte de los datos es 7,5. La clase que contiene el primer cuartil
es [5, 10), ya que su frecuencia absoluta acumulada excede por vez primera
la cuarta parte de los datos. Luego el primer cuartil es la marca de [5, 10),
es decir, Q1 = 7,5. Análogamente se halla Q3 = 17,5.
3 A una proyección cinematográfica asisten 50 niños, 75 jóvenes,
60 adultos y 40 ancianos. Representa estos datos en un diagrama de
sectores.
Primero se elabora la tabla de frecuencias, incluyendo los grados:
Categoría
Niños
Jóvenes
Adultos
Ancianos
Total
fi
50
75
60
40
225
pi
22 %
33 %
27 %
18 %
100 %
Grados
79,2º
118,8º
97,2º
64,8º
360º
Ancianos
18 %
Adultos
27 %
Niños
22 %
Jóvenes
33 %
Para calcular los grados se puede emplear una regla de tres.
100 % 360º
22 %
7 920
= 79,2º, y procedemos de igual
Así, al 22 % se le asocia el ángulo =
100
modo con el resto
213
11
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nociones de Estadística
El número de hijos de los empleados de una
7
oficina es el siguiente:
1
A los empleados de una oficina se les pregunta
por los aspectos siguientes:
•
Estado civil.
•
Número de libros que leen al mes.
•
Preferencias cinematográficas.
•
Color de pelo.
•
Años de antigüedad en la empresa.
•
Distancia entre la oficina y su vivienda.
0
2
2
0
1
3
1
1
2
4
3
2
2
1
1
1
4
2
0
1
Elabora la tabla de frecuencias de esta distribución de
datos.
a) Indica si los caracteres anteriores son cualitativos o
cuantitativos.
b) Señala modalidades posibles de los caracteres cualitativos.
c) Señala posibles valores de la variable estadística en
el caso de los caracteres cuantitativos.
2
Determina, para cada uno de los estudios estadísticos siguientes, el individuo, la población, la variable
estadística, y si ésta es continua o discreta:
a) ¿Cuántos alumnos aprueban matemáticas en tu clase?
b) ¿Cuántos libros lee cada uno de los habitantes del
barrio en que vives?
c) ¿Cuál es el gasto mensual en comestibles de cada
uno de los vecinos de un bloque de pisos?
3
Diseña un estudio estadístico relativo al uso de
medios de transporte. Describe una variable estadística
relacionada con este estudio y la población estudiada.
4
Inventa una variable estadística discreta y una
variable estadística continua, señalando los posibles valores que pueden tomar.
5
Señala un carácter que pueda adoptar una forma cualitativa y cuantitativa.
214
Las calificaciones de matemáticas de los 20
8
alumnos de una clase son:
0
1
7
8
2
7
5
4
4
5
1
4
5
2
1
3
5
8
3
0
Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias de esta
distribución de datos.
La tabla siguiente corresponde al número de
9
cigarrillos que un grupo de fumadores (que intentan
dejar de fumar) consume al día:
N.º de cigarrillos xi
2
3
4
5
6
7
8 o más
Total
fi
1
5
hi
pi
0,2
24 %
16 %
2
4
N = 25
0,16
Tablas estadísticas
Copia en tu cuaderno completando esta tabla y responde a las cuestiones:
6
Construye la tabla de frecuencias para la siguiente distribución de datos:
a) ¿Cuántos fuman más de 5 cigarrillos?
0
0
0
1
1
2
3
2
1
4
0
b) ¿Qué porcentaje de fumadores fuma menos de 6 cigarrillos?
Copia en tu cuaderno y calcula las marcas de
10
clase asociadas a esta tabla:
Clase
[0, 5)
[5, 13)
[13, 19)
[19, 30)
Marca de clase
11
Al final de una semana, una zapatería hace balance de sus ventas. La tabla siguiente refleja las ventas
según el precio:
Clase
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80, 90)
[90, 100)
[100, 500)
Marca de clase
60
40
65
82
120
95
54
El empleado de un videoclub selecciona una
14
muestra de sus clientes y anota el número de películas
que cada uno de ellos ha sacado durante el último trimestre. Los datos que ha obtenido son:
12
16
23
15
14
21
24
15
11
17
29
24
20
25
21
23
24
29
20
26
19
28
13
24
Agrupa los datos de cinco en cinco y construye la tabla
de frecuencias.
Parámetros estadísticos
Calcula la media y la desviación típica de las
15
siguientes distribuciones:
a) 7, 3, 4, 5, 6, 9, 0, 3, 4, 2, 1
b) 2, 1, 8, 6, 5, 3, 3, 2, 10, 3, 7
Elabora la tabla de frecuencias, sin olvidar las marcas
de clase.
Decide cuál de las dos distribuciones tiene un mayor
grado de dispersión.
12
En el estudio de una variable continua X se ha
obtenido la siguiente tabla de frecuencias que, por desgracia, está incompleta. ¿Serías capaz de completarla en
tu cuaderno?
16
Calcula la mediana, los cuartiles y la moda de
las distribuciones del ejercicio anterior.
Clases
[0, 10)
[10, )
[15, 20)
Total
Marca xi
fi
hi
0,20
12,5
pi
30 %
Escribe en tu cuaderno una distribución cuya
18
media sea 5.
N = 50
En el reconocimiento médico al que se somete
13
a los profesores de un pequeño colegio, se han medido
sus alturas. Éstos son los resultados obtenidos (en centímetros):
150
174
169
152
171
175
Calcula la media, la desviación típica, el coefi17
ciente de variación y los cuartiles de las distribuciones
de los ejercicios 6, 7 y 8.
153
172
178
170
167
180
172
163
174
168
155
181
Agrupa los datos en intervalos y construye la tabla de
frecuencias, que debe incluir marcas de clase, frecuencias absolutas y relativas, y porcentajes.
Escribe en tu cuaderno una distribución de me19
diana 4.
Escribe en tu cuaderno una distribución de me20
dia 0 y mediana 3.
Calcula los parámetros estadísticos de la si21
guiente distribución:
xi
fi
1
10
2
5
3
6
4
9
5
4
6
7
7
2
215
11
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcula la media, la desviación típica, el coefi22
ciente de variación, la mediana, los cuartiles y la moda
de las distribuciones de los ejercicios 13 y 14.
23
El número de faltas de ortografía cometidas por
un grupo de alumnos en una redacción aparece reflejado en la tabla:
N.º de faltas
N.º de alumnos
0
3
1
7
2
8
3
7
4
9
5
6
a) Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de
variación.
b) Halla la mediana y la moda.
24
Dada la distribución 2, 4, 5, 8, 2, 1, 0, calcula su
media. A continuación, suma un valor constante a todos
los datos de la distribución anterior y calcula la media de
estos nuevos datos. ¿Qué observas?
25
Sea x– la media de una distribución de datos.
Prueba que si a cada uno de los datos de esta distribución le sumamos una constante k, la media de la nueva
distribución es x– + k.
26
Halla los cuartiles y los percentiles p10 y p30 para
la distribución del ejercicio 11.
27
Copia en tu cuaderno y completa la tabla sabiendo que x– = 1,75.
0
2
1
2
3
3
1
4
2
28
Calcula la media, la mediana y la moda de la
distribución del ejercicio 11.
29
Halla la media, la desviación típica, la mediana
y la moda de la siguiente distribución:
216
Intervalos
Frecuencia
30
52
23
45
56
145
11
60
96
90
69
100
123
29
126
67
89
34
a) Agrupa y construye la tabla de frecuencias.
b) Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de
variación.
c) Halla la mediana y la moda.
d) Halla el primer y tercer cuartiles.
e) ¿Cuál es el percentil de una persona que dedica
60 minutos a leer?
f) Calcula un percentil que no coincida con ninguno de
los cuartiles.
c) Halla los cuartiles.
xi
fi
El tiempo, en minutos, que un grupo de socios
30
de una biblioteca dedica cada día a leer es:
[0 ,2)
10
[2, 4)
5
[4, 6)
6
lio
Ju rne
Ve
31
El peso medio de los corredores de fondo de
un club de atletismo es 55 kg, y su desviación típica es
2,5 kg. Por otra parte, el peso medio de las corredoras
es 49 kg y la desviación típica es 2,1 kg. Compara la dispersión de los pesos de ambos grupos.
Gráficos estadísticos
En una población de 30 familias se ha estudiado
32
el número de móviles de cada una de ellas. Los datos
recopilados son los siguientes:
2
5
3
3
2
6
3
1
4
2
2
2
0
2
6
1
0
1
4
2
3
2
1
2
Una clínica médica que ofrece consultas de
35
distintas especialidades, anota el número de perso nas que acude a cada una de ellas una mañana concreta.
Especialidad
1
3
2
5
3
6
a) Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias de
esta distribución.
N.º de personas
Medicina general
30
Neumología
15
Neurología
14
Ginecología
18
Medicina interna
7
Radiología
20
b) Traza el diagrama de barras.
c) Elabora el polígono de frecuencias.
d) Calcula la media y la desviación típica.
e) Halla la mediana y la moda.
f) Calcula los cuartiles Q1 y Q3.
33
Hemos preguntado a un grupo de personas
cuánto tiempo dedican semanalmente a la práctica de
algún tipo de ejercicio físico. Éstos son los resultados
obtenidos:
N.º de horas
[0, 1)
[1, 2)
[2, 3)
[3, 4)
[4, 5)
[5, 8)
N.º de personas
6
13
20
18
120
9
a) Confecciona un diagrama de sectores para esta distribución.
b) ¿Qué tanto por ciento de personas acuden a Medicina general o a Radiología?
Representa en tu cuaderno las distribuciones
36
de los ejercicios 13 y 14.
37
Analiza el histograma siguiente:
20
18
16
14
12
10
8
a) Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias
correspondiente.
6
b) Dibuja el histograma asociado.
2
c) Halla la media y la desviación típica.
Frecuencia
4
0
10
20
30
40
50
60
d) Halla la mediana y la moda.
e) ¿Qué porcentaje dedica menos de dos horas al ejercicio físico?
Construye en tu cuaderno el histograma aso34
ciado a los datos de los ejercicios 29 y 30.
a) Elabora la tabla de frecuencias asociada a este histograma.
b) Calcula la media y la desviación típica. ¿Cuál es el
coeficiente de variación?
c) Halla los cuartiles Q1 y Q3.
217
11
PARA REPASAR
EN GRUPO
Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos
de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.
CONCEPTO
DEFINICIÓN
Población
Conjunto de individuos sometidos a estudio.
Muestra
Es una parte de la población.
Carácter estadístico Rasgo de una población que nos interesa estudiar.
Variable estadística
Conjunto de valores que toma un carácter. Se dividen en
cuantitativas y cualitativas.
Frecuencia absoluta Número de veces que se repite un valor determinado.
Marca de clase
Valor central de cada intervalo de valores.
n
Media aritmética
x– =
n
Varianza
CD
En la pestaña Actividades/
Unidad 11, encontrarás la
actividad Relación 1 unidad 11,
para repasar los conceptos más
importantes de la unidad.
CD
En la pestaña Mapa del CD/
Unidad 11, encontrarás el Test
de autoevaluación.
Desviación típica
Coeficiente
de variación
218
N
n
fi (xi – x–)2
i=1
N
=
fi xi2
i=1
N
σ = Var ≥ 0
σ
Es el cociente CV = – .
x
Moda
Si la variable es discreta, es el valor con mayor frecuencia. Si
la variable es continua, es la marca de clase del intervalo de
mayor frecuencia.
Mediana
La mediana es el valor que divide los datos de una
distribución en dos partes iguales.
Gráficos
estadísticos
Son formas sencillas de representar las frecuencias de
una variable estadística. Algunos tipos de gráficos son
los diagramas de barras, los polígonos de frecuencias, los
diagramas de sectores y los histogramas.
CD
En la pestaña Mapa del
CD/Juegos matemáticos,
encontrarás la Animación de
Estadística.
Var = σ =
– –x2
2
fi xi
i=1
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y DESAFÍOS
El desconocimiento de la teoría estadística conduce, en muchas ocasiones,
a que amplios sectores de la población den por buenas conclusiones que,
aunque a simple vista parecen correctas, son erróneas.
Un buen ejemplo lo encontramos en un fenómeno denominado la paradoja
de Simpson, también conocido como efecto Yule-Simpson. Este fenómeno aparece con frecuencia en estudios estadísticos de la Medicina, la Sociología, etc.
Sabías que...
Edward H. Simpson, Karl
Pearson, Udny Yule, además
de otros, describieron este
fenómeno.
Un caso real, y muy conocido, que ilustra la paradoja de Simpson tuvo lugar
cuando una prestigiosa universidad estadounidense fue demandada por
discriminación contra las mujeres que solicitaban ingreso. Las cifras sobre
admisión en el otoño de 1973 mostraban que el porcentaje de admisión era
favorable a los hombres y, siendo la diferencia notable, se juzgó que no se
debía al azar.
N.º de solicitantes
% admitidos
Hombres
8 442
44 %
Mujeres
4 321
35 %
Sin embargo, al examinar las solicitudes distinguiendo los distintos departamentos, se observaba que ninguno discriminaba significativamente a las
mujeres y que, de hecho, la mayor parte de los departamentos favorecía,
en todo caso, a las mujeres.
Hombres
Mujeres
Departamentos
Solicitantes
% admitidos
Solicitantes
% admitidos
A
825
62 %
108
82 %
B
560
63 %
25
68 %
C
325
37 %
593
34 %
D
417
33 %
375
35 %
E
191
28 %
393
24 %
F
272
6%
341
7%
La explicación resulta ser que las mujeres tendían a presentar solicitudes
en departamentos con bajos porcentajes de admisión, mientras que la tendencia de los hombres era la contraria.
Al dividir los datos en especialidades, hemos introducido unas variables
(lurking variables, en la literatura científica) que, si son omitidas, pueden
conducirnos a una conclusión errónea.
La paradoja de Simpson pone de manifiesto que debemos ser precavidos
cuando hagamos deducciones basándonos en la asociación de dos variables. Es imprescindible tener en cuenta las lurking variables si se pretende
establecer relaciones de causa y efecto.
DESAFÍO MATEMÁTICO
Trata de encontrar una situación real que ponga de manifiesto la paradoja de
Simpson. Si lo necesitas, pide ayuda a tu profesor.
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