MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático: Álgebra y funciones 1. OPERATORIA ALGEBRAICA 1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a2b y 5a2b son semejantes. Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo: -2a2b + 5a2b = 3a2b 10x2z3 –22x2z3 = -12x2z3 Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar: La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes. 1.2 ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: (1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. (2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. Ejemplo: 2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) = Aplicando las reglas anteriores, tenemos: 2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes: -2ab + 2a - ab 1 1.3 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”. Ejemplo: 2x2y3 z. 4x4y2 = 8x6y5z Multiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”. Ejemplo: 2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2 Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio. Ejemplo: (2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 = 8a3 + 10 ab3 – 12 a2b2c – 15 ab5c Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo. (2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy + 4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4 1.4 PRODUCTOS NOTABLES Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente. Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 2 Multiplicación de binomios con término común: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los siguientes sitios: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/visualizaciones/product os_notables_visualizaciones.htm# http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/prod uctos_notables_desarrollo.htm Para un estudio de productos notables, puedes visitar la siguiente página: http://www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112241000.ALGEBRA.ppt?PH PSESSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab17159 1.5 FACTORIZACIÓN Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes: Factor común Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo: 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma: 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización. 3 Diferencia de cuadrados Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases. a2 – b2 = (a + b) (a – b) Ejemplo: 25a2 – 16b4 Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 : Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a - 4b2) Factorización de trinomio cuadrático perfecto Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2 En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio: (4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada. Factorización de trinomio cuadrático no perfecto En este caso hay dos subcasos: Caso en que el coeficiente cuadrático es 1 Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q Ejemplo: x2 – 10x + 24 4 El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = -10 y ab = 24. Estos números son: -4 y -6, por lo tanto: x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x - 6) Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1 Ejemplo: 2x2 + 7x – 15 Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático: 2 2 2 4x + 7 ⋅ (2x) − 30 (el coeficiente de x no se multiplica) 2 2x 2 + 7x − 15 ⋅ / El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = -30. Estos números son: 10 y 3: (2x + 10)(2x − 3) 2(x + 5)(2x − 3) = = (x + 5)(2x − 3) 2 2 Diferencia de cubos a3 – b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Ejemplo: 125z3 – 64y6 La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto: 125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3 Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que: (5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4) Puedes obtener más información acerca de los casos de factorización en el sitio: http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/no de4.html 5 2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación de primer grado es una ecuación en la cual, después de realizar las operaciones y reducir términos semejantes, el máximo exponente de la incógnita es uno. Para resolver una ecuación de primer grado se deben transponer los términos, esto es: traspasarlos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro. Cada vez que transponemos un término cambia de signo, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación: (x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4) Primero desarrollamos todas las operaciones: x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4 x2 + 6x + 9 – x2 + 2x - 1 = 3x – x + 4; transponemos los términos: x2 + 6x – x2 + 2x -3x + x = 4 – 9 + 1; reducimos términos semejantes: 6x = -4 ; dividiendo por 6: x = -4/6 ; simplificando por 2 se obtiene que x = -2/3 2.1 Ecuaciones literales de primer grado Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales además de la incógnita, y que no son incógnitas, sino que deben considerarse como valores constantes. Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla. Desarrollemos una ecuación en concreto: ax – b(x - 1) = 3(x + a) Tal como en el caso anterior efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y transponemos términos: ax – bx + b = 3x + 3a ax – bx – 3x = 3a – b; factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b; dividimos por a – b – 3: Por lo tanto: x = 3a − b a−b−3 6 2.2 Planteo de ecuaciones de primer grado Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un enunciado en una expresión algebraica. A continuación te entregamos una lista de transformaciones: El doble de a.........................................................2a El triple de b...........................................................3b El cuádruplo de c...................................................4c El cuadrado de d....................................................d2 El cubo de e...........................................................e3 El antecesor del n° entero f..................................f–1 El sucesor del n° entero g ...................................g+1 El cuadrado del doble de h...................................(2h)2 El doble del cuadrado de i.....................................2i2 Un número par......................................................2n (n ∈ ) Un número impar .................................................2n-1 ó 2n+1 (n ∈ ) Dos números consecutivos....................................n y n+1 (n ∈ ) Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n+2 (n ∈ ) Dos números impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1 (n ∈ ) x 2 y La tercera parte de y .............................................. 3 La mitad de x.......................................................... Para mayor ejercitación acerca de interpretaciones de enunciados, te sugerimos visitar la página: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/guias/ecuacion/GuiaTra ducciones/Guia_de_Ecuaciones.htm Veamos a continuación un par de ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Hallar dos números consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9. Sean x y x + 1 los números, entonces, según el enunciado dado: (x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando los cuadrados de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 – x2 = 9 2x + 1 = 9 x = 4; por lo tanto los números son 4 y 5. 7 Ejemplo 2: Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97. ¿Qué edad tiene el menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación: x + 2x + 1 = 97 3x = 96 x = 32, reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65. Respuesta: 32 8