Eje temático: Algebra y funciones Contenidos: Operatoria algebraica – Ecuaciones de primer grado Nivel: 1° Medio Operatoria algebraica 1. Operatoria algebraica 1.1. Términos semejantes Un término algebraico es el producto de un factor numérico (número real) por un factor literal (símbolos o letras). Ejemplo: Término algebraico 2a -5x2y Mn -1/2 a b c -0,8 Factor numérico 2 -5 1 -1/2 -0,8 Factor literal a x y Mn abc No tiene 2 Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a2b y 5a2b son términos semejantes, pues ambos tienen la misma parte literal que es a2b. Los términos semejantes se pueden reducir sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo: -2a2b + 5a2b = 3a2b 10x2z3 – 22x2z3 = -12x2z3 Si en una expresión algebraica los términos no son semejantes, entonces no se pueden reducir, y constituye un binomio. Por ejemplo: La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que no son términos semejantes, (sus factores literales son diferentes), por lo tanto esta operación es un binomio. 1.2. Eliminación de paréntesis - ¿Cómo reducir 2a – (3a – 5b)? Para poder sumar o restar correctamente los términos algebraicos que son semejantes, es necesario eliminar el paréntesis. 2a – 3a + 5b = -a + 5b - Si M = 4x – 8 valor de M – P? y P = 4x + 9, ¿cuál es el valor de M + P? ¿Cuál es el M + P = (4x – 8) + (4x + 9) = 8x + 1 M – P = (4x – 8) – (4x + 9) = 4x – 8 – 4x – 9 = -17 Para eliminar el paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas: 1) Si aparece un signo “ + ” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis y se conservan los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. 2) Si aparece un signo “ - ” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis y se cambian los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis. Ejemplo: 2ab – (a + ab) + (3 a – 4ab) = ab – a – ab + 3a – 4ab, = -3ab + 2 a Aplicando las reglas anteriores, tenemos: Reduciendo términos semejantes: 1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas Se define un monomio como un término algebraico. Un binomio es una suma o resta de dos términos algebraicos no semejantes (que no se pueden reducir). Un trinomio es la suma o resta de tres términos algebraicos que no son semejantes. Polinomio es una suma de más de tres términos que no se pueden reducir. Multiplicación de monomios: para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales de cada término algebraico. Recuerda que para multiplicar literales se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base que dice: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”. Ejemplo: 2x2y3z· 4x4y2 = 8x6y5z Multiplicación de monomio por polinomio: en este caso se aplica la propiedad distributiva; esto es: “el monomio c multiplica por cada uno de los términos del polinomio”. Ejemplo: 2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab· 3a - 2ab· ab2 + 2ab· 4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2 Multiplicación de binomio por binomio: se multiplica cada uno de los términos del primer binomio por cada uno de los términos del segundo binomio. Ejemplo: (2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a· 4a2 + 2a· 5ab3 – 3b2c· 4a2 – 3b2c· 5ab3 = 8a3 + 10 ab3 – 12a2b2c – 15 ab5c Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo. Ejemplo: (2x – 3y + 4z2)· (5x + 2xy + 4xz2) = 2x· 5x + 2x· 2xy + 2x· 4xz2 – 3y· 5x – 3y 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2· 5x + 4z2· = 10x2 + 2xy + 4z2· 4xz2 2 2 2 2 2 2 2 4 4x y + 8x z – 15xy – 6xy – 12xyz + 20xz + 8xyz + 16xz Ejemplo: (7x + 3 y) (5x – 8y )= 35x2 - 56 xy + 15 xy – 24y2 = 35 x2 – 41xy – 24y2 1.4. Productos notables Son productos de polinomios que tienen términos semejantes. Estos generan reglas que es conveniente memorizar, pues permiten obtener el resultado más rápidamente y no es necesario hacer la multiplicación término a término. Algunos de los productos notables más frecuentes son: 1. Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2 2. Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3. Multiplicación de binomios con término común: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 4. Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 5. Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Puedes ver un mapa conceptual acerca de los productos notables en una presentación Power Point: Productos notables Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los siguientes sitios: Visualización productos notables Desarrollo productos notables Para un reforzamiento de productos notables puedes visitar la siguiente presentación Power Point: http://www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112241000.ALGEBRA.ppt?PHPSE SSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab17159 1.5. Factorización Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones de términos algebraicos que son productos notables en multiplicaciones de factores polinomiales. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes: 1. Factor común en “un monomio por un polinomio”: Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común. Ejemplo: 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma: 15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 · (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización. Puedes verificar mentalmente su distribución para comprobar que el producto es el planteamiento inicial. 2. Diferencia de cuadrados en “suma por su diferencia”: Toda diferencia de cuadrados se puede factorizar mediante el producto de la suma por la diferencia de sus raíces. a2 – b2 = (a + b) (a – b) Ejemplo: 25a2 – 16b4. Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2: Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a – 4b2) Como observación, te hacemos notar que el binomio 2a – 3 b se podrá factorizar en producto de suma por diferencia como: 3. Factorización de un trinomio cuadrático perfecto en “cuadrado de binomio”: Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio. Se reconoce por tener dos términos cuadrados perfectos y el tercer término es el doble producto de sus raíces. Recuerda que un cuadrado perfecto es un término algebraico que tiene raíz exacta. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2 En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2 Además verificamos mentalmente que -2· 4x· 3y es igual a -24xy; por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio (4x – 3y)2 Si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada. 4. Factorización de un trinomio cuadrático no perfecto si el coeficiente cuadrático es 1: Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”, podemos factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q en un producto de binomios con un término en común: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Ejemplo: x2 – 10x + 24 El trinomio se factoriza de la forma: (x + a) (x + b), donde a y b son números tales que: a + b = -10 y ab = 24. Encuentra ahora todas las parejas de números cuyo producto es 24 R: (2· 12) (3· 8) (4· 6) (1· 24) y que además la suma de éstos sea -10. Ambos números deberán ser negativos. Por lo tanto: x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6) 5. Factorización de trinomio cuadrático no perfecto si el coeficiente cuadrático es diferente de 1: Ejemplo: 2x2 + 7x – 15 Para poder factorizar trinomios de este tipo multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático, que en este caso es 2: En esta fracción, el numerador se puede factorizar de la forma (2x + a) (2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y –3. Conociendo los números, se simplifica la expresión por 2 para obtener la factorización correcta: por lo tanto: 2x2 + 7x – 15 = (x + 5) (2x – 3) 6. Diferencia de cubos perfectos a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) Ejemplo: 125z3 – 64y6 La expresión 125z3 es el cubo de 5z, y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto: 125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3 Considerando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que: (5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)