distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas

MATEMÁTICA
6ºto Derecho
Prof: Paula Vilas
2014
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Distribuciones Estadísticas y Distribuciones de Probabilidad
Cuando una variable estadística discreta toma un conjunto de valores aislados x1 , x2 , x3 ....xq con frecuencias
f1, f2 , f3 ,...., fq y frecuencias relativas
f
f1 f 2 f3
, , ,..., q ; los resultados pueden presentarse mediante una tabla de
n n n
n
frecuencias como la siguiente:
xi
fi
fri
Se le llama distribución estadística de variable discreta.
x1
f1
fr1
f2
fr2
El gráfico de este tipo de variables estadísticas es un diagrama de barras.
x2
.
.
.
.
.
.
xq
fq
frq
n
1
Al concepto de distribución de probabilidad, se llega mediante una idealización de las distribuciones estadísticas,
fundamentada en la Ley de los grandes números que asegura que en un experimento aleatorio, las frecuencias
relativas de cada suceso tienden a acercarse a su probabilidad cuando el número de repeticiones es
suficientemente grande. Por tanto, cuando n se hace muy grande, la tabla anterior se convertiría en la siguiente:
X
pi
x1
p1
x2
p2
.
.
.
.
xq
pq
Se le llama distribución de probabilidad de variable aleatoria discreta (X).
1
Distribuciones Estadísticas
Distribuciones de Probabilidad
Variable estadística
Variable aleatoria
Frecuencia relativa de xi : fri
fr1  fr2  ...  frq  1
Probabilidad de X = xi :
pi
p1  p2  ...  pq  1
1
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Ejemplo:
Se tiran dos dados, sea la variable aleatoria X: “suma de los puntos obtenidos”.
La VA X puede tomar cualquier valor entre 2 y 12. Se pueden calcular las probabilidades de estos valores
mediante la Ley de Laplace.
#   36
X 2
(1,1)
X 3
(1, 2);(2,1)
1
36
2
P( X  3) 
36
P( X  2) 
Y así sucesivamente, se puede completar la tabla:
X
pi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36
2/36
Más ejemplos:
1) X: “número de caras al lanzar dos monedas”
X
pi
2) En una bolsa hay 20 bolas numeradas: 9 con un uno, 5 con un dos y 6 con un tres. Se extrae una bola al azar.
X: “número que aparece en la bola”.
X
pi
2
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Parámetros en una distribución de probabilidad discreta
Las probabilidades pi, son idealizaciones de las frecuencias relativas fri 
fi
. Por tanto, los parámetros se
n
definen de manera similar.
Media, Esperanza o Valor esperado:
  E( X )  p1x1  p2 x2  ...  pq xq
Varianza:
X
pi
x1
p1
x2
p2
.
.
.
.
xq
pq
Var( X )  p1 ( x1  )2  p2 ( x2  )2  ...  pq ( xq  )2
Var ( X )   p1 x12  p2 x2 2  ...  pq xq 2    2
Desviación típica:
  Varianza
En el ejemplo de la suma de los dos dados, verificar que la esperanza es 7 y la desviación típica 2,415.
Ejercicios:
1) Sea la variable aleatoria X: “puntuación al lanzar un dado”, calcula la esperanza y la desviación típica.
2) Se tiran dos monedas, sea la variable aleatoria X: “número de veces que se obtiene cara”. Calcula la esperanza
y la desviación típica.
3) En una bolsa se tienen 20 bolas numeradas: 9 bolas con un uno, 5 con un dos y 6 con un tres. Se extrae una
bola al azar, sea X: “la puntuación que aparece en la bola”. Calcula los parámetros  y  .
3
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PRÁCTICO 3
1) Completa la siguiente tabla de probabilidades:
X
pi
0
1
2
3
0,1
0,3
….
0,1
2) La variable aleatoria X tiene la siguiente distribución:
X
2
4
6
pi
6a
2a
0,2
a) Halla P(X =2) y P(X = 4)
b) Calcula la esperanza.
3) Las caras de un dado irregular tienen las siguientes probabilidades:
P(1) = 0,1
P(2) = 0,2
P(3) = 0,1
P(4) = 0,15
P(6) = 0,25
a) Averigua la P(5).
b) Halla la esperanza y la desviación típica.
4) Se lanzan dos dados, sea la variable aleatoria X:” diferencia entre la mayor y la menor puntuación”
a) Escribe el recorrido de X y realiza la tabla de distribución de probabilidad.
b) Calcula  y  .
5) Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Se hacen dos extracciones sin reemplazamiento. Sea la
variable aleatoria X:”número de bolas rojas extraídas”
a) Escribe el recorrido de X.
b) Realiza la tabla de distribución de probabilidad.
c) Calcula  y  .
6) Se extraen dos cartas con reposición de un mazo de 40, sea la VA X:”número de ases obtenidos”
a) Escribe el recorrido de X.
b) Realiza la tabla de distribución de probabilidad.
c) Calcula  y  .
4
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7) Una persona dispone de U$S6000 para invertir en acciones. Por la historia pasada, las rentabilidades anuales de
esas acciones se distribuyen según las probabilidades:
X
(renta en %)
10
11
12
13
pi
0,3
0,4
0,2
0,1
¿Qué ganancia puede esperar por su inversión?
8) Se extraen tres cartas de una baraja española de 40 cartas y se cuentan el número de bastos. Realiza una tabla
de probabilidades, calcula se media y desviación típica.
9) En una lotería popular hay 1000 números. Se rifa un número , que gana $5000,. El
anterior y el siguiente ganan $1000 cada uno. Todos los que tienen la misma
terminación que el ganador se llevan $10, y el resto nada. Completa la tabla de
probabilidades de una persona que juegue un único número. Halla su media.
Xi
pi
5000
1000
10
0
5