Examen de An´ alisis Din´ amico de Sistemas (2 Teleco)

Examen de Análisis Dinámico de Sistemas (2o Teleco)
curso 2006/2007
Problema 1 (5 puntos)
Sea el sistema constituido por un péndulo mostrado en la figura, que cumple la
ecuación:
d2 θ(t)
2 dθ(t)
+
c
L
+ mg sen θ(t) = F (t) cos θ(t)
mL
a
dt2
dt
donde la fuerza F (t) se mantiene siempre horizontal, m es la masa de la bola y D
es su diámetro, L es la longitud del cable del que pende la bola (cable de masa
despreciable), θ(t) es el ángulo que forma el cable con la vertical, ca es un coeficiente
de rozamiento viscoso y g es la aceleración de la gravedad. Se pide:
1. Obtener la ecuación del sistema linealizado en torno al punto de equilibrio
dado por una fuerza F0 = 350 N.
2. Dibujar la respuesta aproximada del sistema θ(t) al anularse de forma instantánea la fuerza del apartado anterior, calculando e indicando en la figura
los valores más caracterı́sticos de dicha respuesta. Calcular también el instante en el que las oscilaciones llegan a tener una amplitud el 5 % de la inicial y
representarlo en una gráfica aparte.
3. Obtener las ecuaciones en espacio de estados del sistema linealizado.
Datos: m = 125, D = 0,31, L = 14, ca = 5,02 · 10−3 , g = 9,8, todo en unidades
del sistema internacional.
 t 
Ft
F roz  t 
mg
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13 de junio de 2007
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Soluciones
Problema 1
Apartado 1
Se trata de un sistema no lineal debido a los términos con seno y coseno. Para
linealizarlo, primero se determina totalmente el punto de equilibrio. Se toma la
ecuación, se anulan las derivadas y las variables se particularizan para el punto de
equilibrio (θ0 , F0 ):
0 + 0 + mg sen θ0 = F0 cos θ0
donde se despeja θ0 , que es el valor desconocido:
θ0 = arctan
350
F0
= arctan
= 0,2783 rad
mg
14 · 9,8
Importante hacer notar que las unidades del Sistema Internacional para ángulos son
radianes y que cuando se opere con la ecuación linealizada no se podrá usar otra
unidad para el ángulo porque las constantes dependen de ella.
A continuación se linealiza la ecuación, teniendo en cuenta que se trata de una
función f (θ̈, θ̇, θ, F ) = 0:
mL∆θ̈ + ca L2 ∆θ̇ + (mg cos θ0 + F0 sen θ0 )∆θ = cos θ0 ∆F
y sustituyendo los valores numéricos:
1750∆θ̈ + 0,9839∆θ̇ + 1274∆θ = 0, 9615∆F
Apartado 2
La respuesta aproximada se obtiene del sistema linealizado, teniendo en cuenta
que la entrada que se pide es un escalón en la fuerza F (t) que pasa de 350 a 0,
valores extremos que convertidos a ∆F (t) usando la expresión:
∆F (t) = F (t) − F0
lo transforman en un escalón en ∆F (t) de 0 a -350.
Para obtener la respuesta a escalón usamos la función de transferencia de la
ecuación linealizada G(s):
G(s) =
0,9615
5,494 · 10−4
=
1750s2 + 0,9839s + 1274
s2 + 5,622 · 10−4 s + 0,728
y de ella extraemos los parámetros caracterı́sticos de la respuesta a escalón (no se
pide la expresión matemática de la respuesta). La frecuencia de oscilación natural
ωn :
p
ωn = 0,728 = 0,8532 rad/s
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Del coeficiente de la s:
2ξωn = 2σ = 5,622 · 10−4
obtenemos ξ = 3,295·10−4 y σ = 2,811·10−4 . La frecuencia de oscilación amortiguada
ωd :
p
ωd = ωn 1 − ξ 2 ≈ 0,8532 rad/s
El tiempo de pico tp :
π
= 3,682 s
ωd
que además es un semiperiodo de la oscilación. La sobreoscilación Mp , en tanto por
uno:
Mp = e−πσ/ωd = 0,9999
tp =
y finalmente el tiempo de establecimiento ts , que además, puesto que la sobreoscilación es del 100 % aproximadamente y por tanto la amplitud inicial de las oscilaciones
es más o menos el valor de régimen permanente, nos proporciona el instante en el
que las oscilaciones llegan al 5 % de la amplitud inicial:
ts =
π
= 11180 s
σ
Del numerador de la función de transferencia, obtenemos la ganancia K:
Kωn2 = 5,494 · 10−4
lo que nos da un valor de K = 7,547 · 10−4 . Con este valor, obtenemos la salida en
régimen permanente:
∆θ∞ = K∆F∞ = 7,547 · 10−4 (−350) = −0,2641 rad
y con él y la sobreoscilación, calculamos el valor de pico:
Mp =
∆θp − ∆θ∞
∆θ∞
→
∆θp = (1 + Mp )∆θ∞
de donde se obtiene ∆θp = −0,5282.
Con todos estos valores ya se podrı́a dibujar la respuesta de ∆θ(t), pero lo que
nos interesa realmente es la de θ(t). Hay que convertir los valores ∆:
θ∞ = ∆θ∞ + θ0 = −0,2641 + 0,2783 = 0,0142 rad
θp = ∆θp + θ0 = −0,5282 + 0,2783 = −0,2499 rad
(1)
(2)
Con ello ya se puede dibujar la respuesta, en dos gráficas. En la primera se usará una
escala de tiempos apropiada para el transitorio y en la segunda una escala de tiempos apropiada para el régimen permanente:
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0.3
θ
0
0.2
θ∞
0
θ(t)
0.1
-0.1
-0.2
θp
-0.3
-0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t (s)
tp
Figura 1: Respuesta θ(t) (escala de tiempos para transitorio)
0.3
0.2
0.1
θ∞
θ(t)
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
2000
4000
6000
t (s)
8000
10000
12000
ts
Figura 2: Respuesta θ(t) (escala de tiempos para permanente)
Merece la pena señalar que el valor de régimen permanente θ0 no es nulo, como
cabrı́a esperar considerando que al amortiguarse las oscilaciones del péndulo y sin
más fuerza que la vertical de la gravedad, el ángulo formado por el péndulo con
dicha dirección vertical deberı́a ser cero. Sin embargo no es extraño, puesto que no
hay que olvidar que el método de linealización no es más que una aproximación. Si
se realiza la simulación usando la ecuación no lineal, el resultado sı́ serı́a el esperado.
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Apartado 3
Para obtener las ecuaciones en espacio de estados del sistema linealizado, puesto
que en la ecuación no aparecen derivadas de la entrada ∆F (t), se puede tomar como
variables de estado la salida ∆θ(t) y sus sucesivas derivadas:
x1 = ∆θ
x2 = ∆θ̇
Por lo tanto, las derivadas de éstas serán:
ẋ1 = ∆θ̇ = x2
ẋ2 = ∆θ̈
y esta última se obtiene despejando en la ecuación del sistema:
∆θ̈ = −5,622·10−4 ∆θ̇−0,728∆θ+5,494·10−4 ∆F = −5,622·10−4 x2 −0,728x1 +5,494·10−4 ∆F
Con lo que ya tenemos las dos ecuaciones de estado, que puestas matricialmente:
ẋ1
0
1
x1
0
=
+
∆F
ẋ2
−0,728 −5,622 · 10−4
x2
5,494 · 10−4
a la cual sólo hay que añadir la ecuación de salida ∆θ = x1 , que en forma matricial:
x1
∆θ = (1 0)
x2
También se podrı́a haber hecho por el desarrollo estándar de la forma canónica de
control, con lo que hubiera resultado, para la ecuación de estado:
0
1
0
ż1
z1
=
+
∆F
ż2
−0,728 −5,622 · 10−4
z2
1
y para la ecuación de salida:
−4
∆θ = 5,494 · 10
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0
z1
z2
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