Soluciones (cuestión 1 y problema 1)

Examen de Análisis Dinámico de Sistemas (2o Teleco)
curso 2008/2009
Cuestión 1 (1 punto, 20 minutos)
A un sistema se le introduce la señal u(t) mostrada en la siguiente figura y
éste responde con la señal y(t) que aparece en dicha figura. Obtener la función de
transferencia del sistema, G(s) = Y (s)/U (s), describiendo claramente el método
seguido para llevar a cabo la identificación.
3
2.5
2
u(t)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
2
t (segundos)
2.5
3
3.5
4
0
0.5
1
1.5
2
t (segundos)
2.5
3
3.5
4
8
7
6
y(t)
5
4
3
2
1
0
-1
EPSIG - Universidad de Oviedo
11 de junio de 2009
Examen de Análisis Dinámico de Sistemas (2o Teleco)
curso 2008/2009
Problema 1 (5 puntos, 1 hora)
El siguiente circuito, compuesto por una fuente de tensión variable, un diodo,
una resistencia y un condensador
v d t 
+
v c t 
v t 
v r t 
i t 
cumple la siguiente ecuación no lineal que relaciona la tensión de la fuente v(t) con
la tensión en el diodo vd (t):
C
vd (t)
1
1
dvd (t)
dv(t)
+ vd (t) + is (e N vT − 1) = C
+ v(t)
dt
R
dt
R
Se quiere que el diodo trabaje en torno a un punto de funcionamiento tal que la
tensión en él sea vd0 = 0,77 V.
Se pide:
1. Determinar el valor v0 de tensión en la fuente para el punto de funcionamiento
requerido.
2. Linealizar la ecuación dada en dicho punto de funcionamiento.
3. Calcular, usando la aproximación lineal, la evolución temporal de vd (t) cuando
v(t) aumenta bruscamente 0,2 V respecto del valor calculado en el apartado
1.
4. Calcular el valor de equilibrio final de vd (t) según la aproximación lineal. Indicar cómo se obtendrı́a el valor de equilibrio final de vd (t) según la ecuación
no lineal.
Datos: C = 200 µF, R = 100 Ω, N = 1,91 , vT = 26 mV, is = 3,83 · 10−9 A.
EPSIG - Universidad de Oviedo
11 de junio de 2009
Examen de Análisis Dinámico de Sistemas (2o Teleco)
curso 2008/2009
Soluciones
Cuestión 1
En las gráficas se observa que tiene la apariencia de una respuesta a escalón de
un sistema de segundo orden subamortiguado.
Tomando en las gráficas las medidas que se indican en la siguiente figura obtenemos el valor del tiempo de pico tp = 0,4 s, el de la amplitud del pico yp = 7, el de
régimen permanente de la salida y∞ = 5 y el de regimen permanente de la entrada
u∞ = 2.
u∞
tp
yp
y∞
Con los valores de régimen permanente, se calcula la ganancia:
y∞
5
K=
= = 2,5
u∞
2
Con el tiempo de pico tp , se calcula la frecuencia de oscilación amortiguada ωd :
π
π
ωd =
=
= 7,85 rad/s
tp
0,4
Con el valor de pico y de régimen permanente de la salida, se obtiene la sobreoscilación Mp :
yp − y∞
7−5
Mp =
=
= 0,4
y∞
5
y a partir de ésta, se obtiene la frecuencia de oscilación natural ωn en dos pasos,
primero obteniendo el parámetro σ:
Mp = e
−π ωσ
d
=⇒ σ = −
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7,85 ln 0,4
ωd ln Mp
=−
= 2,29
π
π
11 de junio de 2009
Examen de Análisis Dinámico de Sistemas (2o Teleco)
curso 2008/2009
y después, con σ y ωd , la ωn :
q
p
ωn = σ 2 + ωd2 = 2,292 + 7,852 = 8,18 rad/s
Finalmente se obtiene la función de transferencia como:
G(s) =
Y (s)
Kωn2
2,5 · 8,182
167
= 2
=
= 2
2
2
2
U (s)
s + 2ξωn s + ωn
s + 2 · 2,29s + 8,18
s + 4,85s + 66,9
donde se ha tenido en cuenta que σ = ξωn .
Problema 1
Apartado 1
Particularizando la ecuación no lineal para el punto de equilibrio (punto de funcionamiento), las derivadas se anulan y las variables toman los valores de equilibrio:
0+
vd0
1
1
vd0 + is (e N vT − 1) = 0 + v0
R
R
Sustituyendo valores y despejando la v0 se obtiene v0 = 2,85 V.
Apartado 2
La ecuación no lineal
C
vd (t)
1
1
dvd (t)
dv(t)
+ vd (t) + is (e N vT − 1) − C
− v(t) = 0
dt
R
dt
R
tiene las siguientes dependencias
f (v̇d , vd , v̇, v) = 0
con lo cual la ecuación linealizada tendrá la forma
∂f ∂f ∂f ∂f ∆v̇(t) +
∆v(t) = 0
∆v̇d (t) +
∆vd (t) +
∂ v̇d 0
∂vd 0
∂ v̇ 0
∂v 0
siendo los coeficientes constantes de dicha ecuación los siguientes:
∂f = C = 2 · 10−4
∂ v̇d 0
∂f 1
is Nvd0
=
+
e vT = 0,428
∂vd 0
R N vT
∂f = −C = −2 · 10−4
∂ v̇ 0
∂f 1
= − = −0,01
∂v 0
R
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(1)
(2)
(3)
(4)
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curso 2008/2009
quedando finalmente la ecuación linealizada
2 · 10−4 ∆v̇d (t) + 0,428∆vd (t) − 2 · 10−4 ∆v̇(t) − 0,01∆v(t) = 0
Apartado 3
Primero se obtiene la función de transferencia de la salida vd respecto a la entrada
v a partir de la ecuación linealizada:
Vd (s)
2 · 10−4 s + 0,01
= G(s) =
V (s)
2 · 10−4 s + 0,428
Luego, teniendo en cuenta que se trata de una entrada escalón de amplitud 0,2:
Vd (s) = G(s)V (s) =
0,2s + 10
2 · 10−4 s + 0,01 0,2
·
=
−4
2 · 10 s + 0,428 s
s(s + 2140)
y descomponiendo en fracciones simples por el método de Heaviside:
Vd (s) =
0,2s + 10
A
B
= +
s(s + 2140)
s
s + 2140
donde los coeficientes desconocidos se obtienen como:
0,2s + 10 = 0,00467
A = sVd (s)|s=0 =
s + 2140 s=0
0,2s + 10 B = (s + 2140)Vd (s)|s=−2140 =
= 0,195
s
s=−2140
(5)
(6)
y aplicando la Transformada de Laplace inversa al resultado de la descomposición
en fraciones simples resulta:
∆vd (t) = 0,00467 + 0,195 e−2140t
∀t > 0
expresión de la cual se obtiene la evolución temporal pedida:
vd (t) = ∆vd (t) + vd0 = 0,77467 + 0,195 e−2140t
∀t > 0
Apartado 4
Una forma de calcular el valor de equilibrio final según la aproximación lineal serı́a
vd∞ = lı́m (0,77467 + 0,195 e−2140t ) = 0,77467 V
t→∞
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Examen de Análisis Dinámico de Sistemas (2o Teleco)
curso 2008/2009
Para calcularlo según la ecuación no lineal, utilizamos el mismo método que en
el apartado 1, pero particularizando para el valor de equilibrio final:
0+
vd∞
1
1
vd∞ + is (e N vT − 1) = 0 + v∞
R
R
donde v∞ = ∆v∞ + v0 = 0,2 + 2,85 = 3,05 V, quedando finalmente:
vd∞
0,01vd∞ + 3,83 · 10−9 (e 0,0497 − 1) − 0,0305 = 0
Dicha ecuación se deja indicada porque no es posible despejar la vd∞ y habrı́a que
resolverla por métodos numéricos (aunque sı́ se puede comprobar fácilmente por
sustitución del valor obtenido para vd∞ con la aproximación lineal, que la solución
es más o menos la misma, dentro de la precisión utilizada en los cálculos de tres
cifras significativas).
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