Análisis Dinámico de Sistemas con Matlab (II)

Análisis Dinámico de Sistemas
EPSIG-Ingeniero de Telecomunicación
Práctica 7: Análisis Dinámico de Sistemas con
Matlab (II)
Problema
Dada la función de transferencia de un sistema que se quiere controlar G(s)
G(s) =
24s + 72
(s2 + 19,2s + 144)(s + 1)
y la del sensor usado para realimentar su salida H(s)
360
s + 36
H(s) =
y el esquema de control correspondiente, representado en la figura, se pide:
1. Obtener la respuesta del sistema en cadena abierta ante la señal de entrada u(t) =
4 sen(5t + 0,8) en régimen permanente senoidal.
2. Dibujar el diagrama de Bode del sistema en cadena abierta.
3. Determinar la estabilidad del sistema realimentado en función de los valores de Kp > 0
usando el criterio de estabilidad de Nyquist.
4. Hallar los márgenes de ganancia y fase, y señalarlos gráficamente en el diagrama de Bode.
x t 
+
-
G(s)
Kp
y t 
H(s)
PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN: Realizar un script de Matlab para resolver totalmente el problema planteado. En particular, se deberá realizar lo siguiente:
Comparar la respuesta obtenida en el apartado 1 del problema (en régimen permanente)
con la que se obtiene con la función lsim para la misma entrada (que incluye el transitorio).
Usar la información proporcionada en el anexo para obtener los resultados que se piden
a continuación:
• En el diagrama de Bode: margen de ganancia (MG), frecuencia de cruce de fase (ωf ),
margen de fase (MF), frecuencia de cruce de ganancia (ωg ).
ωf =
MG=
ωg =
MF=
• En el diagrama de Nyquist: margen de ganancia (MG), frecuencia de cruce de fase
(ωf ), margen de fase (MF), frecuencia de cruce de ganancia (ωg ), valor de Kp que
hace que el diagrama de Nyquist pase por −1 (Kpcritico ).
ωf =
MG=
ωg =
MF=
Kpcritico
=
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1
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Probar, por medio de respuestas a escalón unitario, los rangos de estabilidad/inestabilidad
obtenidos en el apartado 3 del problema, usando valores de Kp que se alejen ligeramente
de Kpcritico . Dibujar los diagramas de Bode y Nyquist correspondientes a cada valor de
Kp usado y comparar los valores de los márgenes con los obtenidos previamente.
Anexo
Estabilidad en el dominio de la frecuencia
Márgenes
Frecuencia de cruce de ganancia : frecuencia ωg a la que la ganancia es 0 dB.
Frecuencia de cruce de fase : frecuencia ωf a la que la fase es −180o .
Margen de ganancia : ganancia (en dB) que hay que sumar para alcanzar los 0 dB a la
frecuencia de cruce de fase.
Margen de fase : fase que hay que restar para alcanzar los −180o a la frecuencia de cruce de
ganancia.
Estabilidad de sistemas de fase mı́nima
Sistema de fase mı́nima : sistema con todos sus polos y ceros en el semiplano complejo
izquierdo (parte real negativa) y, como mucho, un polo en el origen.
Criterio de estabilidad para sistemas de fase mı́nima : un sistema de fase mı́nima es
estable si y sólo si sus márgenes son positivos (siempre coinciden los dos en signo en estos
sistemas).
El criterio de Nyquist
Camino de Nyquist : trayectoria cerrada en el plano complejo que engloba el semiplano
derecho (con parte real positiva), dejando fuera los polos del sistema en cadena abierta
que se encuentren sobre el eje imaginario, y recorrida en sentido horario.
Diagrama de Nyquist : trayectoria cerrada en el plano complejo que es la imagen del camino
de Nyquist por la función de transferencia del sistema en cadena abierta.
Criterio de estabilidad de Nyquist : el número Z de polos inestables (en el semiplano complejo derecho, con parte real positiva) de un sistema realimentado (en cadena cerrada) se
puede obtener como:
Z =N +P
donde N es el número neto de vueltas que da el diagrama de Nyquist alrededor del punto
-1 (vueltas en sentido horario positivas, vueltas en sentido antihorario negativas) y P es
el número de polos del sistema en cadena abierta encerrados en el camino de Nyquist.
Utilidades gráficas
Las gráficas relacionadas con el dominio de la frecuencia (bode, nyquist, etc.) permiten
mostrar los valores de ciertas caracterı́sticas usando el elemento Characteristics de su menú de
contexto (botón derecho del ratón dentro del área de la gráfica):
Pico (Peak response). Se refiere al máximo de ganancia de la respuesta en frecuencia,
punto que se caracterizará por sus dos coordenadas en la gráfica:
• Ganancia (Peak gain)
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• Frecuencia (At frequency)
Estabilidad (Stability). Incluye las caracterı́sticas de la respuesta en frecuencia que permiten determinar la estabilidad si se realimenta el sistema. Se puede escoger entre todos
los cruces (All crossings) o sólo los mı́nimos (Minimum crossing), pero en ambos casos,
para cada uno de ellos, se muestran las siguientes caracterı́sticas (si existen):
• Margen de ganancia (Gain margin) y su correspondiente frecuencia de cruce de fase
(At frequency).
• ¿Estable en cadena cerrada? (Closed loop stable? ). Se responde con sı́/no (Yes/No)
a la pregunta de si el sistema será estable al realimentarlo.
• Margen de fase (Phase margin) y su correspondiente frecuencia de cruce de ganancia
(At frequency).
Además, es posible obtener la coordenadas de un punto de la curva haciendo clic con el botón
izquierdo del ratón sobre él, e incluso deslizarse por la curva para buscar un punto concreto, si
se mantiene el botón pulsado mientras se mueve el cursor del ratón sobre la curva (arrastre).
Soluciones
Respuesta a senoide u(t)=4*sen(5*t+0.8)
10
solo permanente
con transitorio
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo (s)
Bode Diagram
50
System: GH
Gain Margin (dB): 12.3
At frequency (rad/sec): 27.2
Closed Loop Stable? Yes
Magnitude (dB)
0
-50
-100
Phase (deg)
-150
0
System: GH
Phase Margin (deg): 61.3
Delay Margin (sec): 0.088
At frequency (rad/sec): 12.2
Closed Loop Stable? Yes
-90
-180
-270
-2
10
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
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Nyquist Diagram
2.5
2
1.5
Imaginary Axis
1
0.5
0
-0.5
(-0.24,0)
-1
-1.5
-2
-2.5
-1
0
1
2
3
4
5
Real Axis
Sistema estable (Kp=3.75)
0.2
0.18
0.16
0.14
Amplitude
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
Time (sec)
Sistema inestable (Kp=4.5833)
1
0.8
0.6
0.4
Amplitude
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Time (sec)
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