Supervisión y Control de Procesos Bloque Temático II: Control por Computador Tema 6: Introducción al Control por Computador Índice: ► Control por Computador vs Control Analógico ► Muestreo de Señales ► Conversión A/D ► Conversión D/A ► Ecuaciones en diferencias Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 1 Control por Computador • Objetivo: Implementación del control en un computador o sistema digital (microprocesador, microcontrolador, DSP). • La implementación de un controlador de forma digital requiere: – Muestreo de señales: medida de datos cada cierto tiempo control discreto – Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital (conversor A/D). – Transformación de la acción de control digital en un valor analógico para actuar sobre el proceso (conversor D/A) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 2 Control por Computador • Objetivo: Implementación del control en un computador o sistema digital (microprocesador, microcontrolador, DSP). • La implementación de un controlador de forma digital requiere: – Muestreo de señales: medida de datos cada cierto tiempo control discreto – Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital (conversor A/D). – Transformación de la acción de control digital en un valor analógico para actuar sobre el proceso (conversor D/A) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 3 Control Analógivo Vs Control Digital Control Controlanalógico analógico Control Controldigital digital Ventajas Ventajas • Ancho de banda elevado. • Resolución alta. • No se requiere conversión A/D. • Los métodos de análisis y diseño son bien conocidos. • El ajuste de parámetros mediante potenciómetros o condensadores variables es sencillo y rápido. • El control es programado: Las modificaciones, adaptaciones o actualizaciones se hacen por software. • Menos afectado por las condiciones ambientales. • Permite implementar algoritmos avanzados de control • Permite auto-ajustes, control adaptativo y control no lineal. • Posibilidad de control sin sensor (sensorless). Se reemplazan por estimadores u observadores. • Posibilidad de funcionalidades añadidas como monitorización, diagnóstico, protecciones, etc. • Posibilidad de integrarlo en una red de comunicaciones. Redes de control. • Capacidad de almacenamiento. Desventajas • Dependencia de la temperatura: El rendimiento del control depende de características tanto pasivas como activas que varían con la temperatura. • Envejecimiento de los componentes: se requiere mantenimiento periódico. • El control se implementa mediante elementos hardware. Las modificaciones, adaptaciones o actualizaciones requieren modificaciones hardware. • Sólo se pueden implementar diseños sencillos (PID, redes de adelanto-retraso). • Sensible al ruido. • No tiene capacidad de comunicaciones. • No tiene capacidad de almacenamiento Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 Desventajas • Se requiere conversión de datos. • Los métodos de análisis y diseño son más complejos. • El muestreo y la resolución puede afectar al rechazo de perturbaciones. • El ancho de banda se ve limitado por los cálculos. La estabilidad se puede ver comprometida. • El error de digitalización puede reducir la precisión del control. 4 Control Analógivo Vs Control Digital Control Controlanalógico analógico Control Controldigital digital Ventajas Ventajas • Ancho de banda elevado. • Resolución alta. • No se requiere conversión A/D. • Los métodos de análisis y diseño son bien conocidos. • El ajuste de parámetros mediante potenciómetros o condensadores variables es sencillo y rápido. • El control es programado: Las modificaciones, adaptaciones o actualizaciones se hacen por software. • Menos afectado por las condiciones ambientales. • Permite implementar algoritmos avanzados de control. • Permite auto-ajustes, control adaptativo y control no lineal. • Posibilidad de control sin sensor (sensorless). Se reemplazan por estimadores u observadores. • Posibilidad de funcionalidades añadidas como monitorización, diagnóstico, protecciones, etc. • Posibilidad de integrarlo en una red de comunicaciones. Redes de control. • Capacidad de almacenamiento. Desventajas • Dependencia de la temperatura: El rendimiento del control depende de características tanto pasivas como activas que varían con la temperatura. • Envejecimiento de los componentes: se requiere mantenimiento periódico. • El control se implementa mediante elementos hardware. Las modificaciones, adaptaciones o actualizaciones requieren modificaciones hardware. • Sólo se pueden implementar diseños sencillos (PID, redes de adelanto-retraso). • Sensible al ruido. • No tiene capacidad de comunicaciones. • No tiene capacidad de almacenamiento. Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 Desventajas • Se requiere conversión de datos. • Los métodos de análisis y diseño son más complejos. • El muestreo y la resolución puede afectar al rechazo de perturbaciones. • El ancho de banda se ve limitado por los cálculos. La estabilidad se puede ver comprometida. • El error de digitalización puede reducir la precisión del control. 5 Control por Computador. Elementos Control Controlanalógico analógico regulador regulador referencia + sistema sistema acción control error Conversor A/D: Convierten la información analógica del proceso y(t) aportada por los sensores al formato digital (secuencias de números yk ) para poder ser procesadas mediante un algoritmo de control. salida G(s) PID(s) - sensor Regulador digital: Ejecuta un algoritmo de control que calcula a partir del error cometido ek = rk − yk en cada instante una acción de control uk. Control Controldigital digital referencia + regulador regulador error sistema sistema acción control PID(z) G(s) D/A - A/D salida Conversor D/A: convierte la señal digital en valores analógicos. Generan la señal de control continua ur(t) a partir de la secuencia digital uk. • sensor Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 6 Muestreo de señales: Definición – Muestreo de señales: Operación en la cual se obtiene una secuencia de valores a partir de una señal analógica → “medida de datos cada cierto tiempo” – Bloqueo: mantenimiento del valor hasta toma de nueva medida 1 1 Señal continua 0.5 0.5 0 0 -0.5 -1 Señal muestreada Tm -0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 -1 1 0 Periodo de muestreo 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Señal bloqueada 1 (V) 0.5 0 -0.5 -1 0 0.2 0.4 0.6 tiempo (s) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 0.8 1 7 Muestreo de señales: Aliasing – Cuando la frecuencia de muestreo es insuficiente pueden surgir problemas de aliasing – El problema viene porque la evolución de la señal entre muestra y muestra se pierde – Selección del periodo de muestreo (Tm): • Según la señal: El muestreo tiene que cumplir el criterio de Nyquist: Tm < T 2 Tm = 0.1T 1 0.5 Tm -0.5 0 0.2 (V) 0.5 0 -1 Tm = 0.05T 1 Periodo de muestreo 0.4 0.6 0 -0.5 0.8 1 -1 0 0.2 0.4 0.6 tiempo (s) 0.8 1 T: periodo de la señal Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 8 Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (I) • El cine es un ejemplo de un sistema de muestreo funcionando a fm = 24Hz. • El ejemplo se desarrolla suponiendo la filmación de una rueda girando a diferentes velocidades Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 9 Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (II) • Caso 1. Rueda girando a 1Hz: No hay aliasing. Se puede ver la frecuencia y el sentido de giro de la rueda perfectamente. Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 10 Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (III) • Caso 2. Rueda girando a 6Hz: No hay aliasing. Aunque se pierde precisión aún se puede ver la frecuencia y el sentido de giro de la rueda. Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 11 Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (IV) • Caso 3. Rueda girando a 12Hz: A partir de este punto se pierde la noción del sentido de giro. No sabemos hacia dónde gira la rueda, hemos perdido esa información Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 12 Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (V) • Caso 4. Rueda girando a 23Hz: Hay aliasing. La rueda gira tan rápido que le da tiempo casi a completar una vuelta antes de ser fotografiada de nuevo. Para el espectador gira en sentido contrario y despacio (gira exactamente a -1 Hz). Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 13 Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (VI) • Caso 5. Rueda girando a 25Hz: Hay aliasing. La rueda gira 1 Hz más rápido que la frecuencia de muestreo y le da tiempo a completar 1 + 1/24 vueltas antes de ser fotografiada de nuevo. Para el espectador gira a +1 Hz Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 14 Conversión A/D (I) – Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital (conversor A/D). – Idea intuitiva: Convierte una señal continua (analógica) en una señal discreta (digital). En otras palabras, considerando una señal en tensión a la entrada: voltios número – Un conversor AD puede caracterizarse de forma básica según los siguientes criterios: • Entrada: atendiendo a la variable de entrada podemos identificar: – Rango de tensión: valores admitidos de la señal de entrada (0—24), (0—10), (0—5) – Bipolar/unipolar: la señal de entrada puede admitir sólo valores positivos (unipolar) o tanto positivos como negativos (bipolar). De todas maneras, es fácil mediante electrónica colocada a la entrada el situar una señal dentro del rango deseado. Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 15 Conversión A/D (II) • Salida: La salida un conversor AD es un número. Por lo tanto, los posibles valores a la salida vendrán determinados por el valor máximo que es posible almacenar en dicho número. Esta definición se realiza mediante el número de bits del conversor: Bits valores admitidos Valor máximo 8 2^8 255 osciloscopio 10 2^10 1023 PIC 12 2^12 4095 PIC / Tarjetas AD 16 2^16 65535 SoundBlaster 24 2^24 16777215 Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 Ejemplo Sistemas audio 16 Conversión A/D (III) • Tiempo de conversión: El proceso mediante el cual una tensión se convierte en un valor digital implica un tiempo. El tiempo que el conversor emplee en este proceso determinará la máxima velocidad de conversión, y con ello la máxima frecuencia de muestreo que se puede emplear utilizando dicho conversor. Transformaciones Dada una tensión de entrada obtener el valor digital 2n-1 Dout= (Vin-Vmin) Vmax-Vmin Dado un valor digital obtener el valor a su entrada: Vmax-Vmin Vout=Vmin+ Din 2n-1 Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 17 Conversión A/D (IV) • Ejemplos: A/D A/D 2^2-1 2^4-1 (digital) (digital) 2^1 2^3 2^0 2^2 2^1 2^0 0 0 2 4 6 8 (voltios) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 10 0 0 2 4 6 8 10 (voltios) 18 Conversión A/D (V) • Realización: Conversor A/D por aproximaciones sucesivas reloj (final de conversión) registro despla. (tensión ref) comparador 1 0 0 0 Vref/2 0 1 0 0 Vref/4 0 0 1 0 Vref/8 0 0 0 1 Vref/16 0 0 0 0 0 (tensión entrada) Expresión general Vref*d/2^n Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 19 Conversión A/D (VI): Ejemplo conversor A/D 4 bits Vin = Vref/2 + Vref/4 + Vref/8 Paso 1: 1 0 0 0 Vcomp Vref/2 ¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1” Paso 2: 1 1 0 0 Vref/2 + Vref/4 ¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1” Paso 3: 1 1 1 0 Vref/2 + Vref/4 + Vref/8 ¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1” Paso 4: 1 1 1 1 Vref/2 + Vref/4 + Vref/8 + Vref/16 ¿Vin > Vcomp? NO → si no hay más bits, fin de conversión Paso 5: 1 1 1 1 Vref/2 + Vref/4 + Vref/8 + Vref/16 EOC Observar que hay un error igual a +LSB Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 20 Conversión A/D (VII): Ejemplo conversor A/D 4 bits Vin = Vref/2+ Vref/8 Paso 1: Vcomp 1 0 0 0 Vref/2 ¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1” Paso 2: 1 1 0 0 Vref/2 + Vref/4 ¿Vin > Vcomp? NO → desplaza a drcha. Paso 3: 1 0 1 0 Vref/2 + Vref/8 ¿Vin > Vcomp? NO → desplaza drcha. Paso 4: 1 0 0 1 Vref/2 + Vref/16 ¿Vin > Vcomp? SI → si no hay más bits, fin de conversión Paso 5: 1 0 0 1 Vref/2 + Vref/16 EOC Observar que hay un error igual a -LSB Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 21 Conversión D/A (I) • Una vez generada la secuencia de control {uk}, es necesario obtener una señal de control continua u(t) para aplicar a la planta (que es continua). A este proceso se le llama reconstrucción. {uk} → u(t) • Existen varios procedimientos. El más sencillo y habitual es el bloqueador de orden cero (zero order hold): ∞ ur (t) ∑= u(kTm) [1(t − kTm) − 1(t − (k + 1)Tm)] 0 donde 1(t − a) denota al escalón unitario iniciado en el instante t =a 1 (V) 0.5 0 -0.5 -1 0 0.2 0.4 0.6 tiempo (s) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 0.8 1 22 Conversión D/A (II) • El bloqueador de orden 0 tiene dos problemas importantes: – Error de reconstrucción al asumir que la señal no varía a lo largo del periodo. – Retardo puro aproximado de Tm/2. Esto es debido a que se reconstruye la señal del periodo siguiente a partir de la muestra en el instante actual. – Armónicos de alta frecuencia. Los escalones que forman la señal reconstruida tienen un contenido en altas frecuencias (saltos abruptos) que se introducen en el lazo de control. Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 23 Conversión D/A. Realización – Transformación de la acción de control digital en un valor analógico para actuar sobre el proceso (conversor D/A) Red de resistencias R-2R Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 24 Modulación por Ancho de Pulso (Pulse Width Modulation-PWM) La modulación por ancho de pulso es un método de conversión de una señal discreta en una señal continua. Conversor digital-analógico: • Tiempo constante • Varía (modula) la tensión vmax vDA v1 0 vmax t1 vPWM vPWM FILTRO PASO BAJO 0 ≈vDA − T·v T·v11==t1t1·v·vmax max Modulador por ancho de pulso (PWM) • Tensión constante Señal Señal • Varía (modula) el tiempo continua continuayy muestreada muestreada n bits Salida Salida conversor conversor V D/A D/A Salida SalidaPWM PWMyy Filtro Filtropaso paso bajo bajo Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 R vPWM + ≈vDA C 4 2 0 4 2 0 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 25 Concepto de secuencia • Una secuencia es una serie infinita de números {xk } = {· · · , x−1 , x0 , x1 , x2 , · · ·} • El resultado del muestreo es una secuencia x(t) → xk = x(kTm ) → {xk } • Un sistema discreto toma una secuencia discreta de entrada y produce otra secuencia discreta de salida {uk} Sistema discreto {yk} {yk } = G({xk }) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 26 Concepto de ecuación en diferencias • Una ecuación en diferencias viene dada por el siguiente algoritmo yk + a1 yk−1 + · · · an yk−n = b0 uk + b1 uk−1 + · · · + bm uk−m • Una ecuación en diferencias es un sistema discreto, ya que dada una secuencia de entrada, {uk}, permite calcular una secuencia de salida {yk} {uk} → [ecuación en diferencias] →{yk} Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 27 Ejemplos de ecuación en diferencias • Se dispone de un sensor de velocidad (dinamo tacométrica) conectada a un motor de c.c. Dicho sensor se ha conectado a un conversor A/D del dsPIC. Se pide: – Ecuación en diferencias de un filtro de media de los últimos 10 valores. Este filtro se utilizará para eliminar el ruido en el sensor. – Ecuación en diferencias para obtener la aceleración a partir de la velocidad filtrada. – Ecuación en diferencias para obtener la posición a partir de la velocidad filtrada. Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 28 Discretización del controlador (I) – Idea: Encontrar una ecuación recursiva para las muestras del algoritmo de control que permita aproximar la respuesta del dispositivo analógico. – Partiendo del diseño del control analógico se reemplaza por uno digital que acepte muestras de la señal de entrada al control e(kTm) provenientes de un muestreador, y utilizando valores presentes y pasados de la señal de entrada y de la señal de salida u(kTm) se calcula la siguiente acción de control u(kTm +Tm) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 Discretización del controlador (II) – Ejemplo: Discretización de un regulador PID (I) t e(τ)dτ + de/dt u = Kp e + Ki D(s) = Kp + Ki/s + Kds t0 Aplicando superposición se estudian las acciones de control por separado u = up + ui +ud 1) Acción proporcional e(kTm+Tm) e(t) up(kTm+Tm) = kp e(kTm+Tm) 2) Acción integral kTm kTm+Tm ui(kTm+Tm) = ki e(τ)dτ 0 e(kTm) = ki e(τ)dτ 0 ui(kTm) Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 Integral trapezoidal kTm+Tm + ki e(τ)dτ kTm Tm t Tm (e(kTm+Tm) + e(kTm)) 2 Discretización del controlador (II) – Ejemplo: Discretización de un regulador PID (II) 3) Acción diferencial ud(kTm+Tm) = kd de(kTm+Tm) dt Por dualidad con la acción integral kTm+Tm ud(kTm+Tm) = kd e(kTm+Tm) 0 Tm (ud(kTm+Tm) + ud(kTm)) = kd ( e(kTm+Tm) - e(kTm)) 2 Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 Discretización del controlador (II) – Ejemplo: Discretización de un regulador PID (III) Transformada z: Se define de forma análoga a la transformada s. De tal manera que definimos el operador z como un operador de desplazamiento: Z(U(kTm)) = U(z) Z(U(kTm+Tm)) = zU(z) Sustituyendo en las acciones: zui(z) = ui(z) + ki Tm(ze(z)+e(z)) 2 ui(z) = ki Tm z +1 e(z) 2 z-1 ud(z) = kd 2 z -1 e(z) u(z) = (kp + ki Tm z +1 + kd 2 z -1 ) e(z) 2 z-1 Tm z+1 Tm z+1 Control PID discretizado por Tustin Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 Problema: Diseño discreto PI (I) • Discretizar un regulador PI, de la forma: PI(s) = kp (s+ki) s • Utilizando la transformación de Tusitn. Dejar la expresión en función de Kp, Ki y Tm • Comprobar el resultado para los valores Ki=6, Kp=1.4, Tm=0.07 con el comando de matlab c2d Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 Problema: Diseño discreto PI (II) • Comparar los resultados para el siguiente esquema de Simulink: referencia velocidad s+6 1.4 9 5 s 1 s+9 s+5 Controlador velocidad Slider Kc Tau 1 Tau 2 Control Output Tm = 0.035 num(z) 1.4 9 5 z-1 1 s+9 s+5 Discrete Transfer Fcn Slider Kd Tau 3 Tau 4 1.21z-0.79 1.4 9 5 Tm = 0.07 z-1 1 s+9 s+5 Discrete Transfer Fcn1 Slider Kd1 Tau 5 Tau 6 Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010