Puntos y rectas notables del triángulo

Puntos y rectas notables del triángulo
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Utilizando la figura que has construido, contesta a las siguientes cuestiones, a
continuación de cada pregunta. Deja una línea en blanco antes y después de cada una de
tus respuestas. Luego envíame este documento por correo electrónico
(ignacio.larrosa.dieste@gmail.com), poniendo en la línea de asunto la contraseña que
utilizas para entrar en tu sesión (en mayúsculas), seguido de "Triangulos".
1. Fíjate en que la distancia del Baricentro G al vértice es el doble que al punto medio
del lado opuesto. Mueve el vértice para ver como cambian estas distancias, pero no
su razón, que siempre es 2. Halla las seis distancias de G a los vértices y a los
puntos medios de los lados opuestos. Calcula el cociente entre las distancias de G a
cada vértice y al punto medio del lado opuesto. ¿Varían al desplazar los vértices?
Ten en cuenta que en la pantalla, las distancias están redondeadas a dos decimales.
2. ¿Cómo serán las áreas de los dos triángulos en que cada mediana divide al
triángulo? ¿Por qué?
3. ¿Y las de los tres triángulos formados por el Baricentro y dos de los vértices?
4. Finalmente, ¿cómo son las áreas de los seis triángulos en que las tres medianas
dividen al triángulo ABC?
5. ¿El Baricentro siempre es interior al triángulo?
6. Que proporción de la mediana representa la distancia entre el baricentro G y el
punto medio del lado opuesto?
7. ¿Por qué deben cortarse las tres mediatrices en un mismo punto?
8. ¿Por qué la circunferencia que tiene centro en M y pasa por un vértice, pasa también
por los otros dos?
9. Cambia la posición de los vértices y fíjate en los valores de los ángulos (halla su
valor) y la posición del Circuncentro. ¿Siempre es interior al triángulo?
10. ¿Cuándo es interior al triángulo?
11. ¿Cuándo es exterior al triángulo?
12. Cuando ocurre esto último, ¿en cual de los tres segmentos circulares que determinan
los lados del triángulo se encuentra el Circuncentro? Recuerda que un segmento
circular es el área limitada por una la circunferencia y una cuerda.
13. ¿Cuándo está en el perímetro del triángulo?
14. Cuando ocurre esto último, ¿exactamente donde se encuentra el Circuncentro?
15. Halla los simétricos del Ortocentro respecto de cada lado, y dibuja la circunferencia
que pasa por los tres.
16. ¿Sabrías decir si el área de la circunferencia circunscrita es siempre más o menos
que el doble de la del triángulo?
17. ¿Puede haber una circunferencia mayor que la inscrita que este totalmente contenida
en el triángulo?
18. ¿El Incentro siempre está en el interior del triángulo?
19. Si unimos el Incentro con los tres vértices, el triángulo queda descompuesto en tres
con el vértice común I. ¿Cuánto valen las alturas de estos triángulos, considerando
los lados del triángulo ABC como bases?
20. ¿Como calcularías el área del triángulo si conoces el valor de r y de los tres lados?
21. Si el triángulo tiene dos ángulos similares y el otro muy pequeño, cerca de qué se
encuentra el Incentro?
22. ¿Y si tiene un ángulo muy grande, de casi 180º, donde se situará el Incentro?
23. ¿Dirías que el incentro es un buen “centro” para cualquier triángulo?
24. De los cuatro puntos notables principales del triángulo (Baricentro, Ortocentro,
Circuncentro e Incentro), ¿cuál dirías que es más adecuado como su ‘centro’?
25. Traza la recta que pasa por el Ortocentro y por el Circuncentro. Esta es la recta de
Euler del triángulo. ¿Qué otro punto se halla en esa recta, sea cual sea el triángulo?