guia triángulo de pascal

TRIÁNGULO DE PASCAL
Veamos la siguiente potencia del binomio:
(3x – 2y)5
Existe casos como el binomio anterior, los cuales se pueden elevar a potencias
y resolverse.
Para tal efecto se tiene:
Al desarrollar potencias de cualquier binomio de la forma (a – b)n , se
pueden sacar las siguientes conclusiones:
1. El número de términos del resultado, es siempre uno más que el
exponente del binomio.
2. El exponente del primero y el último término del desarrollo, es igual al
del binomio.
3. El exponente del primer término del binomio disminuye de uno en uno en
cada término hasta llegar a cero; en cambio, el del segundo término
aumenta de uno en uno empezando en cero y terminando en la potencia
del binomio.
4. Todos los términos de (a + b)n son positivos. Si el binomio es (a – b)n,
los signos se alternan comenzando el primer término con +.
5. EI triángulo que se forma con los coeficientes de cada uno de los
términos que se obtienen al desarrollar la potencia del cualquier binomio
del tipo
(x +a) se denomina Triángulo de Pascal
1
1
1
1
1
1
3
4
3
3
1
4
10
15
2
1
6
5
6
1
2
1
1
1
1
10
20
4
5
5
15
1
6
6
7
El anterior Diagrama corresponde respectivamente a los siguientes binomios:
(a+b)°
(a+b)1
(a+b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a+b)5
(a + b)6
=
=
=
=
=
=
=
1
1
1a+1b
a2 + 2ab + b2
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
2
3
Ejercicio:
Completar el desarrollo para las potencias 5 y 6
Ejemplo:
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
4
5
Retomemos el primer ejemplo:
(3x – 2y)5
Desarrollemos este binomio:
Teniendo en cuenta las observaciones hechas sobre el triángulo de Pascal,
para este caso particular se tiene que:

El número dé términos en el desarrollo de la expresión es 6.

El exponente del primero y último término del desarrollo es 5, el mismo
del binomio:
Primer término: (3x)5 = 243x5
Último término: (2y)5 = 32y5.

El exponente del primer término del binomio disminuye en uno en cada
término hasta llegar a cero; en cambio, el del segundo término aumenta
de uno en uno empezando en cero y terminando en la potencia del
binomio:
Segundo término: (3x)4 (2y)
Tercer término: (3x)3(2y)2
Cuarto término: (3x)2 (2y)3
Quinto término: (3x)(2y)4

Los signos de los términos del desarrollo se alternan, pues el binomio es
de la forma (a-b)n
En resumen:
(3x – 2y)5 =
(3x)5 - (3x)4 (2y) + (3x)3(2y)2 - (3x)2 (2y)3 +(3x)(2y)4 - (2y)5
= 243x5 – 182x4y
+ 108x3y2 - 72x2y3
+ 48xy4 - 32y5
EJERCICIO:
Desarrollar el siguiente binomio :
(x – 4y )4