Modos transitorios.pdf

Modos transitorios
Ignacio Díaz Blanco
Universidad de Oviedo
jueves 2 de febrero de 2012
culo de Antitransformadas
Cálculo
do directo
de antitransformadas
posibilidad es el método directo...
Método directo:
todo directo es, a menudo complicado y farragoso
Afortunadamente
casi siempre, F(s) es una expresión racional
(un polinomio dividido por otro)
Casi siempre, las funciones F(s) son
expresiones racionales (un polinomio dividido por otro)
lo que permite aplicar el método de
descomposición en fracciones simples
descomposición
en fracciones simples
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Cálculo
de
antitransformadas
Cálculo de Antitransformadas
Descomposición en fracciones simples
descomposición en fracciones simples
tablas
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tablas
tablas
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Cálculo de antitransformadas
Cálculo de Antitransformadas
Descomposición en fracciones simples
Cálculo de Antitransformadas
descomposición
en fracciones simples
Procedimiento:
descomposición en fracciones simples
descomponer la expresión racional F(s)
se trata
de descomponer la expresión racional F(s)
en funciones
más sencillas
trata deconocemos
descomponer
la expresión
racional F(s) conocemos por tablas
cuyas transformadas
por tablas
ensefunciones
más sencillas
cuyas transformadas
en funciones más sencillas cuyas transformadas conocemos por tablas
F(s) puede
descomponerse
en funciones Fi(s)
F(s)
enfunciones
funciones
Fi(s)
F(s)puede
puededescomponerse
descomponerse en
Fi(s)
dosdos
tipostipos
cuyas transformadas son conocidas:
cuyas
sonconocidas:
conocidas:
cuyastransformadas
transformadas son
raícesdistintas
distintas
raíces
raíces
múltiples
raíces
múltiples
←Tablas →
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Cálculo de Antitransformadas
descomposición en fracciones simples
Cálculo de antitransformadas
Descomposición en fracciones simples
Aplicando la linealidad de la T. de Laplace
Aplicando
la linealidad
de la T. dede
Laplace
se
obtiene
la expresión
f(t) como suma de
se obtiene la expresión de f(t)
funciones
f
(t)
conocidas
i
como suma de funciones fi(t) conocidas
tablas
e de 2003
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tablas
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tablas
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5 de
Cálculo
dede
antitransformadas
Cálculo
Antitransformadas
Descomposición
en fracciones simples
descomposición
en
fracciones simples
Método de Heaviside: raíces distintas
multiplicando por (s-pi)
1
evaluando en s=pi
de donde...
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Cálculode
deAntitransformadas
Antitransformadas
Cálculo
Cálculo
de
antitransformadas
descomposición
enfracciones
fracciones simples
simples
escomposición en
Descomposición en fracciones simples
Método
Heaviside:raíces
raícesdistintas
distintas
Método dede
Heaviside:
Las fracciones resultantes tienen antitransformada conocida:
Las fracciones
resultantes tienen
antitransformada
conocida
fracciones
resultantes
tienen
antitransformada
conocida:
pudiendo
obtenerse
yapor
f(t)linealidad
por linealidad de la T. de Laplace
esto permite
obtener f(t)
iendo obtenerse ya f(t) por linealidad de la T. de Laplace
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Cálculo
de Antitransformadas
Cálculo
de antitransformadas
descomposición
Descomposición
en fracciones simples
en fracciones simples
Método
de Heaviside:
Raíces complejas
→ modos
oscilatorios
raíces distintas (complejas)
aunque dos de las raíces sean complejas,
no se trata de ningún caso especial.
En efecto, supongamos dos raíces complejas
(siempre vienen en pares conjugados):
Al aplicar Heaviside, nos van a quedar
dos coeficientes también conjugados (comprobarlo en casa):
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Cálculo
dedeantitransformadas
Cálculo
Antitransformadas
Descomposición
en fracciones simples
descomposición
en fracciones simples
raíces distintas (complejas)
Raíces Método
complejasde
→ Heaviside:
modos oscilatorios
Agrupando las dos funciones básicas resultantes por parejas
queda siempre una función real...
Nota:
Im
Re
...¡que tiene carácter oscilatorio!
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Cálculo de antitransformadas
Descomposición
en fracciones
Cálculo
desimples
Antitransformadas
Caso especial:
raíces múltiples
descomposición
en fracciones simples
Método de Heaviside: raíces múltiples
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Oviedo
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Cálculo de antitransformadas
Cálculo
de
Antitransformadas
Descomposición en fracciones simples
descomposición en fracciones simples
Caso especial: raíces múltiples
Método de Heaviside: raíces múltiples
Supongamos:
entonces...
0
0
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Cálculo de antitransformadas
Cálculo
desimples
Antitransformadas
Descomposición
en fracciones
descomposición
Caso especial:
raíces múltiples
en fracciones simples
Método de Heaviside: raíces múltiples
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Cálculo de antitransformadas
Ejemplo 1
Ejemplo
EDL-CC
?
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Cálculo
de
antitransformadas
Ejemplo 1
Ejemplo
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Cálculo de antitransformadas
Ejemplo
Ejemplo 1
Aplicando Heaviside para las raíces s={0,-1,-3}
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Cálculo de antitransformadas
Ejemplo
Ejemplo 1
simulación
y(t)
EDL-CC
t
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Cálculo de antitransformadas
Ejemplo
2
Ejemplo
G(s)
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?
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Cálculo de antitransformadas
Ejemplo
Ejemplo 2
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Cálculo de antitransformadas
Ejemplo 2
Ejemplo
simulación
u(t)
G(s)
y(t)
t
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Cálculo
de3antitransformadas
Ejemplo
Ejemplo
Suponiendo que en t=0 el sistema está en equilibrio
y que tanto u(0) como y(0) valen cero
a)
b)
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obtener su función de transferencia
obtener su respuesta temporal ante una señal de tipo impulso
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Ejemplo
Ejemplo 3
a) función de transferencia
para calcular la T. de Laplace de las derivadas
dky/dtk, dku/dtk que aparecen en la EDL-CC utilizamos
0 (cond. iniciales nulas)
entonces...
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Ejemplo
Ejemplo 3
b) Respuesta impulsional
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Ejemplo
Ejemplo 3
Simulación
y(t)
G(s)
y(t)
G(s)
+
=
+
+
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t
=
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Modos transitorios
Modos Transitorios
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Modos
transitorios
Modos Transitorios
Si expresamos la raíz pi como:
En general:
• Si pi es real da lugar a una exponencial
- si ! > 0 será creciente y no acotada (inestable)
- si ! < 0 será decreciente y tenderá a cero
- Cuanto mayor sea |! |, más rápido crece o decrece
• Si pi tiene parte imaginaria dará lugar a modos oscilatorios
- crecientes y no acotados si ! > 0
- decrecientes (tienden a cero) si ! < 0
- cuanto mayor sea " más frecuencia de oscilación
- cuanto mayor sea |! | más rápido tiende a cero (o a infinito si ! > 0)
- La proporción entre ! y " nos indica el “grado de oscilación”
- Para sistemas estables:
! Si ! >>" se hace cero antes de que le de tiempo a completar un ciclo (poco oscilatorio)
! Si " >>! oscila muchas veces antes de tender a cero (muy oscilatorio)
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Mapa de modos transitorios
Mapa de la Dinámica en el plano S
+oscilatorios
Im
Re
+rapidos
(se atenúan + rápido)
(tienden a cero + rápido)
Semiplano derecho
MODOS
INESTABLES
(contienen e+!t)
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