Métodos Matemáticos – Otoño 2013 Tarea 11 1. De la ley de Kirchhoff la corriente I en un circuito RC (resistencia-capacitancia) obedece a la ecuación R dI 1 + I =0 . dt C (a) Encuentre I(t). (b) Para una capacitancia de 10,000 microfarads cargado a 100 volts y descargándose a través de una resistencia de 1 mega-ohm, encuentre la corriente I para t=0 y t=100 segundos. ∞ ∫0 I ( t )dt . Nota: El voltaje inicial es I0R o Q/C, donde Q= 2. El movimiento de un cuerpo cayendo en un medio con resistencia se puede describir por m dv =mg−bv dt donde la fuerza de retardo es proporcional a la velocidad, v. Encontrar la velocidad. Evaluar la constante de integración imponiendo que v(0)=0. 3. Verificar que [ ∇ 2 ψ ( r ,θ , ϕ )+ k 2 + f (r )+ ] g(θ ) h( ϕ ) + ψ ( r , θ , ϕ )=0 r 2 r 2 sin2 θ es separable (en coordenadas esféricas). k2 es una constante. 4. Transformen la ecuación diferencial lineal, de segundo orden, '' ' y + P( x ) y +Q (x ) y =0 [ x ] y=z exp − 12 ∫ P( t ) dt y muestren que la ecuación por medio de la substitución diferencial resultante para z es z '' +q ( x )z=0 1 ' 1 2 donde q (x )=Q( x )− 2 P ( x )− 4 P ( x ) . 5. Muestren, por medio del Wronskiano, que una ecuación diferencial lineal y de segundo orden de la forma '' ' y ( x )+ P( x ) y (x )+ Q( x ) y ( x )=0 no puede tener tres soluciones independientes. (Asuman que existe una tercera solución y muestren que el Wronskiano se anula para toda x.)