Ecuación diferencial exacta

195
LECCIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN EXACTAS
JUSTIFICACIÓN
En esta lección, basados en la teoría de diferenciales de funciones de dos variables, la
cual involucra las derivadas parciales y la diferencial total de una función de dos
variables así como la idea de la integral parcial, se estudiará un nuevo tipo de
ecuación diferencial la cual tiene la forma M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, y donde el
lado izquierdo, es decir, la expresión M (x,y) dx + N (x,y) dy representa a la
diferencial total de alguna función F (x,y). Este nuevo tipo de ecuación diferencial se
conoce con el nombre de ecuación diferencial ordinaria de 1er. orden exacta.
OBJETIVOS:
El estudiante podrá:
1- Identificar si la ecuación diferencial es exacta.
2- Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden exacta.
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
INTRODUCCIÓN:
En la Lección 7: ¿Qué estudiamos?
196
 Estudiamos las ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a una ecuación
diferencial homogénea de grado 1 de homogeneidad.
Correcto. ¿Cómo dijimos que identificamos este tipo de ecuación diferencial?
 Dijimos que la identificábamos, porque tienen la forma
(a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0
tales que, a1x + b1y + c1 = 0 y a2x + b2y + c2 = 0 representan ecuaciones de rectas
que se cortan, es decir, que tienen un punto en común.
¿Cómo identifican que, efectivamente, las rectas se cortan?
 Lo podemos hacer buscando las pendientes de cada una de ellas y verificando
que son distintas o también a través de sus vectores normales los cuales no son
proporcionales.
Exactamente. Luego que ya se ha establecido que las rectas se cortan ¿Cuál es
el siguiente paso?

El siguiente paso, es buscar las coordenadas del punto de intersección,
denotémoslo (h, k), resolviendo el sistema
a 1h  b1k  c1  0

a 2 h  b 2 k  c 2  0
Muy bien. Obtenidas ya las coordenadas del punto de intersección ¿Qué debe
hacerse?
 Debe realizarse el cambio de variable
197
x  u  h  dx  du

 y  v  k  dy  dv
¿Con qué finalidad se realiza este cambio?
 Con la finalidad de transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación
diferencial homogénea con grado 1 de homogeneidad.
Excelente. ¿Qué más estudiamos en la lección 7?
 Estudiamos el mismo tipo de ecuación diferencial
(a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0
pero, cuando las rectas a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0, son paralelas.
¿Cómo identifican que las rectas son paralelas?

Lo hacemos a través de sus vectores normales, verificando que son
proporcionales.
Correcto. Luego que ya han establecido que las rectas son paralelas ¿Qué
debe hacerse?
 Se deben expresar las ecuaciones de las rectas en función de un mismo vector
normal, sacando factor común la constante de proporcionalidad, según corresponda.
Es decir, si (a1, b1) = k (a2, b2), entonces la ecuación diferencial se escribe
[k (a2x + b2y) + c2] dx + (a2x + b2y + c2) = 0
¿Con qué finalidad se hace?
198
 Con la finalidad de que ambos términos de la ecuación diferencial queden en
función de a2x + b2y, para así realizar el cambio de variable
z  a 2x

z  a 2 x  b 2 y  y  b

2

dy  dz  a 2 dx

b2
Muy bien. Con este cambio de variables ¿Cómo se transforma la ecuación
diferencial?
 La ecuación diferencial se transforma en:
 dz  a 2 dx 
 = 0
(K z + c1) dx + (z + c2) 
b2


Efectuando las operaciones correspondientes ¿Qué tipo de ecuación
diferencial resulta?
 Resulta una ecuación diferencial de variables separables.
Excelente. Vamos a iniciar la Lección 8 haciendo un breve repaso de ciertos
aspectos de la teoría de diferenciales de funciones de varias variables, para luego
resolver un nuevo tipo de ecuación diferencial el cual se conoce como ecuación
diferencial ordinaria de primer orden exacta.
Derivadas Parciales
Analicemos el siguiente ejemplo. Consideremos la función
199
F(x, y) = xy2 + 3y.
Si se considera temporalmente la variable “y” como constante y “x” como
variable ¿Cuál será la derivada de la función F(x, y) respecto de x?
 Será y2
Correcto. Esto se escribe con la siguiente notación
F( x, y)
 y 2 o también Fx(x, y) = y2
x
Si ahora, se considera la variable “x” como constante y “y” como variable
¿Cuál será la derivada de la función F(x, y) respecto de y?
 Será (2xy + 3)
Exacto. Esto se escribe con la siguiente notación
F( x, y)
 2 y  3 o también Fy(x, y) = 2xy + 3
x
Observen entonces que F(x, y) = xy2 + 3y es una función de dos variables
independientes "x" y "y". Lo que hemos determinado se denominan las derivadas
parciales de primer orden de la función F(x, y).
Por lo visto en cursos de funciones vectoriales, sabrían decirme ¿Cómo viene
dada la diferencial total de la función F(x, y)?
 La diferencial total de la función F(x, y), denotada dF(x, y), viene dada por:
200
 F(x, y) 
 F(x, y) 
dF(x, y) = 
dx + 
 dy

 x 
 y 
Si les pido que me indiquen cuál es la diferencial total de la función del
ejemplo ¿Cómo queda?
 La diferencial total de la función F(x, y) = xy2 + 3y es:
dF(x, y) = y2 dx + (2xy + 3) dy
Abran sus guías en la página 32 y leamos la definición de diferencial exacta
que allí aparece.
DIFERENCIAL EXACTA
La expresión diferencial
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
es una diferencial exacta, en una región R del plano xy, si corresponde a la
diferencial total de alguna función, es decir, si existe una función F(x,y) tal
que, la diferencial total de F(x,y) es P(x,y) dx + Q(x,y) dy
dF(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy
Retomemos el ejemplo anterior
F(x, y) = xy2 + 3y
cuya diferencial exacta es
dF(x,y) = y2dx + (2xy + 3) dy
esto es,
F( x , y)
= y2 = P (x,y)
x
F( x, y)
= 2xy + 3 = Q(x, y)
y
201
Si ahora les pido que calculemos las derivadas parciales de segundo orden
combinadas (o cruzadas) de la función F(x,y) ¿Qué obtienen?
 Se obtiene

  F(x, y) 
=
[y2] = 2y


y  x  y
  F(x, y) 

=
[2xy + 3] = 2y


x  y  x
¿Qué observan en los resultados?
 Observamos que
  F(x, y) 
  F(x, y) 
=
y  x  x  y 
Recuerden que habíamos dicho que:
F( x, y)
= P (x,y)
x
F( x, y)
= Q (x, y)
y
¿Cómo podemos escribir la relación de igualdad entre las derivadas cruzadas
usando las funciones P (x,y) y Q (x, y)?
Puede escribirse


[P (x,y)] =
[Q (x, y)]
y
x
Correcto. Consideremos ahora otro ejemplo. Sea G (x, y) = x3y3 ¿Cómo
obtienen la diferencial total de G (x, y)?
 La diferencial total de G (x, y) viene dada como.
202
 G ( x, y) 
dG(x,y) = 
 dx +
 x 
 G ( x, y) 
 dy

 y 
donde
 G ( x, y) 
2 3

 = 3x y

x


 G ( x , y) 
 = 3x3y2


y


entonces, la diferencial total de G(x,y) es
dG(x,y) = 3x2y3 dx + 3x3y2
Exacto. Observen que de acuerdo con la definición podemos decir que la
expresión (3x2y3 dx + 3x3y2 dy) es una diferencial exacta.
Si ahora les pido que calculen las derivadas parciales de segundo orden
cruzadas, de la función G (x, y) ¿Qué obtienen?
 Obtenemos:
  G ( x, y) 
  G ( x , y) 
2 2
 = 9x2y2


 = 9x y y
y  x 
x  y 
Al comparar los resultados ¿A qué conclusión llegan?
 De acuerdo con los resultados podemos concluir que las derivadas cruzadas
son iguales, es decir,

  G ( x, y) 

 =
y  x  x
 G ( x, y) 


 y 
 G ( x , y) 
2 3
Si llamamos P (x,y) = 
 = 3x y y Q (x, y) =
 x 
 G ( x, y) 
 = 3x3y2

 y 
¿Cómo puede escribirse la relación de igualdad entre las derivadas cruzadas?
203
 Puede escribirse


[P (x,y)] =
[Q (x, y)]
y
x
Por favor, abran sus páginas en la página 32 y leamos la proposición que allí
aparece enunciada.
PROPOSICIÓN: Sean P(x,y) y Q(x,y) funciones contínuas y diferenciables
en un región R del plano xy. La expresión
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
es la diferencial total de una función F(x,y) si y sólo si
P( x, y ) Q( x, y )
=
y
x
(es decir, las derivadas parciales de segundo orden cruzadas son
 2 F ( x, y )  2 F( x , y )
iguales:

x y
 y x

Consideren la familia de curvas para cada una de las funciones de los dos
ejemplos anteriores, esto es:
F(x, y) = xy2 + 3y = C, C constante.
G (x, y) = x3 y3 = k, k constante.
Ya vimos, que la diferencial total para cada una de ellas es:
 F( x , y) 
dF(x,y) = 
 dx +
 x 
 F( x , y) 
 dy = y2 dz + (2xy + 3) dy = 0


y


 G ( x, y) 
dG(x,y) = 
 dx +
 x 
 G ( x, y) 
 dy = 3x2y3 dx + 3x3y2 dy = 0

 y 
Las ecuaciones diferenciales
y2 dx + (2xy + 3) dy = 0
3x2y3 dx + 3x3y2 dy = 0
204
representan un tipo de ecuación el cual denominaremos ecuación diferencial ordinaria
de primer orden exacta.
Abran sus guías en la página 32 y leamos la definición.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER
ORDEN EXACTA
Una ecuación diferencial de la forma
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta si y solo si la
expresión P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta, es decir, si existe
una función F(x,y) tal que la diferencial total de la función F(x,y) es
dF(x,y) =P(x,y) dx + Q(x,y) dy
Lo que equivale a decir que existe una función F(x,y) tal que
F ( x , y )
F ( x , y )
 P( x , y ) y
 Q( x , y )
x
y
Hasta ahora hemos visto algunos ejemplos donde dada F(x, y) = C se puede
obtener una ecuación diferencial exacta calculando la diferencial total de la función
F(x, y), es decir,
 F( x, y) 
dF = 
 dx +
 x 
 F( x, y) 
 dy = 0

 y 
es una ecuación diferencial exacta.
Nos plantearemos ahora la situación contraria. Dada una ecuación diferencial
de la forma
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 ¿Cómo determinan si es una ecuación
diferencial exacta?
205
Considérese el siguiente ejemplo
(5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy = 0
¿Qué se debe hacer para chequear que es una ecuación diferencial exacta?
 Se debería probar que existe una función F(x, y) tal que la diferencial total de
F(x, y) es (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy, esto es
dF(x, y) = (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy
es decir, debemos probar que (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy es una diferencial exacta.
Exacto. Si escriben P(x, y) = 5x + 4y
Q (x, y) = 4x – 8y3, para chequear
que P (x, y) dx + Q(x, y) dy es una diferencial exacta ¿Qué deben hacer?
 Debemos aplicar la proposición, es decir, debemos verificar que
 P( x , y)   Q( x , y) 
 = 


 y   x 
Correcto. ¿Se verifica entonces la proposición para este ejemplo?
 Calculamos las derivadas.
 P( x, y) 
 = 4

 y 
en
donde puede observarse que
proposición se cumple.
¿A que conclusión llegan?
 Q( x , y) 

 =4
 x 
 P( x , y)   Q( x , y) 
 = 

 , por lo tanto, la
 y   x 
206
 Concluimos que efectivamente (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy es una diferencial
exacta; y de acuerdo con la definición la ecuación diferencial
(5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy = 0
es una ecuación diferencial exacta.
Muy bien. Si analizamos detenidamente la definición de ecuación diferencial
exacta, para obtener la solución general ¿Qué debemos buscar?
 Debemos buscar una función F (x, y) tal que la diferencial total de F(x, y) sea
igual a la diferencial exacta dada, esto es:
dF(x, y) = (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy
Exacto. ¿Qué representa la función 5x + 4y, con respecto a la función F(x, y)?
 F( x, y) 
 Representa 
 = 5x + 4y
 x 
Correcto. ¿Qué representa la función 4x–8y3, con respecto a la función F(x,y)?
 F( x, y) 
 = 4x – 8y3
 Representa 
y



Ya sabemos que al derivar parcialmente respecto de una de las variables, la
otra se asume como constante. ¿Cómo podríamos a partir de la derivada parcial
 F( x, y) 

 = 5x + 4y, donde se asumió “y” como constante, obtener la función
 x 
F(x, y)?
207
 Podríamos integrar.
Bien. Pero esa integración también será parcial. ¿Cómo debemos considerar a
la variable “y”, en ese caso?
 Debemos considerarla como una constante.
Correcto. Entonces, es lógico suponer que al integrar parcialmente respecto
de “x”, la constante de integración dependerá de la variable “y” y viceversa, sí
integramos parcialmente respecto de “y”, la constante de integración dependerá de la
variable “x”.
 F( x, y) 
Tomemos entonces la derivada parcial 
 = 5x + 4y e integramos
 x 
parcialmente respecto de x, ¿Qué resulta?
 Resulta:
F(x, y) =

 F( x , y) 

 x =
 x 
x
5x 2
 4 yx  h ( y)
(5x  4 y)dx 
2

y  ctte
Muy bien, hemos obtenido
5x 2
F(x, y) =
 4 yx  h ( y)
2
donde h(y) (puede ser constante o depender sólo de y) se debe determinar. Si les digo
ahora que ese resultado lo deriven parcialmente respecto de “y” ¿A quién deberá ser
igual?
208
 Deberá ser igual a Q(x,y) = 4x – 8y3
Exacto. Realicemos los cálculos
 F( x , y) 
 = 4x +

 y 
 h( y ) 

 = 4x – 8y3
 y 

 h( y ) 

 = -8y3
 y 
Muy bien, como h(y) es una función de una sola variable, entonces
 h ( y)   dh ( y) 
 = 
 .

 y   dy 
¿Cómo podremos entonces obtener la función h(y)
a
partir
de
la
 dh ( y) 
 = 8y3?
ecuación 
dy


 Se puede obtener integrando
 dh ( y) 
dy =  8 y 3 dy

dy 
 

h(y) = 8y3 +C
¿Qué hacen con esta función que obtuvieron?
 La sustituimos en F(x, y) =
5x 2
+ 4yx + h(y) obteniendo así:
2
F(x, y) =
5x 2
+ 8y3 + c
2
¿Qué representa la función F(x,y) respecto de la ecuación diferencial
(5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy = 0?
209
 La función F(x, y) =
5x 2
+ 4yx + 8y3 + C, representa la solución general de
2
la ecuación diferencial (5x + 4y) dx + (4x – 8y3) dy = 0
Observen que aquí hemos usado un nuevo término que es el de la integración
parcial. Abran sus guías en la página 33 leamos lo que allí aparece
INTEGRAL PARCIAL DE LA FUNCIÓN H(x,y)
RESPECTO DE LA VARIABLE "x"
Se denota
 H(x, y ) x , viene dada por la igualdad
x
 H(x, y ) x   H(x, y ) dx
 h( y )
y  ctte
(con "y" constante y h(y) como constante de integración)
INTEGRAL PARCIAL DE LA FUNCIÓN H(x,y)
RESPECTO DE LA VARIABLE "y"
Se denota
 H(x, y) y , viene dada por la igualdad
y
 H(x, y ) y   H(x, y ) dy
 h( x )
x  ctte
(con "x" constante y h(x) como constante de integración)
Revisemos en la guía en la página 34 los pasos que se deben seguir para la
obtención de la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de 1er. orden
exacta.
210
PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN
GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE
PRIMER ORDEN EXACTA DE LA FORMA
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
1- Chequee que se satisface la proposición, es decir,
 P ( x , y )  Q( x , y )

y
x
2- Aplique la definición de ecuación diferencial exacta, es decir suponga que
existe una función F(x,y) tal que
F ( x , y )
F ( x , y )
 P( x, y ) ;
 Q( x , y )
x
y
3- Integre parcialmente respecto de "x"
F( x , y )
 P( x, y ) , sume una
x
función h(y) como constante de integración.
4- Derive parcialmente respecto de "y" la función
F(x,y) =

x
F( x , y ) 
 P( x , y )  x  h ( y )
obtenida en el paso 3
5- Iguale la derivada parcial obtenida en el paso 4 a la función Q(x,y)
x

F( x , y )
 
  dh( y )  Q( x, y )

P
(
x
,
y
)
x


y
y 
dy



6- Despeje
dh( y )
 H( y )
dy
(H(y) es una función que sólo depende de la
variable "y")
7- Integre respecto de "y" la relación obtenida en el paso 6 a fin de
conseguir la función h(y)
h( y ) 
(C constante de integración)

H( y ) dy  C
211
8- Sustituya h(y) en la función obtenida en el paso 3
x
F( x , y ) 
 P( x , y )  x

 H( y ) dy
 C
9- La solución general de la ecuación diferencial exacta
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
x
es
F( x , y ) 
 P ( x , y ) x

 H(y) dy

C
= 0
Resuelvan el Problema 1 que aparece en sus guías en la página 35. Disponen
para ello de 10 min. Trabajen de forma individual
PROBLEMA 1:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial:
(e2y – y cos xy) dx + (2xe2y - x cos xy + 2y) dy = 0
Revisemos los pasos que siguieron para resolver el Problema 1. ¿Qué fue lo
primero que hicieron?
 Identificamos las funciones:
P (x, y) = e2y – y cos xy, Q (x, y) = 2xe2y - x cos xy + 2y
 P( x, y)   Q( x , y) 
 = 
y verificamos que 

 y   x 
 P( x , y) 
 ?
¿Qué obtuvieron al calcular 
 y 