Algebra 2009

Algebra 2010.
Ejercicios variados relativos a: Trigonometría, Complejos y Sistemas lineales.
1) Resolver en C:
a) x 4  x 2  0 . Indicar la multiplicidad de sus raíces.
b) 5( x 3  1)(x 2  4)  0
2) Resolver en R:
a) sen3x < 1/8.
b) sin(x) 
2
.
2
c) tan x  1 .
d) tan x  1 .
e) 2 cos2 x  cos x  1  0
3) Descomponer el polinomio 2x5-32x en factores de primer grado sobre C.
4) Calcular la altura de la Basílica de Luján sabiendo que, cuando proyecta una
sombra de 61,20 metros, el ángulo de elevación es de aproximadamente 60º. (Estos
dos datos se pueden obtener fácilmente, con ayuda de una cinta métrica y de un
teodolito).
5) Calcular el área y los ángulos interiores de un triángulo isósceles, cuyos lados
iguales miden 2 y el restante mide 2.
6)Demostrar que el producto de dos números complejos conjugados, entre sí, es un
número real.

i
e i  e 2
 1
7) Verificar que
1 i
8) Estudiar si z=1+i es raíz del polinomio de segundo grado con coeficientes
complejos:
2
P(z)= z 
1
z i.
1 i
9) Sea la siguiente ecuación lineal: x-y=1
a) agregarle una ecuación, con las mismas variables, para que el sistema de 2x2 así
obtenido no tenga solución.
b) agregarle una ecuación, con las mismas variables, para que el sistema de 2x2 así
obtenido tenga solución única. (Justificar las respuestas).
10) Hallar todos los posibles valores reales de k que hacen que el sistema lineal
 x  ky  1
x  y  0
siguiente tenga solución única: 
x  3 y  5z  7w  0

11) Sea el sistema lineal:  x  y  2 w  0
 x  2 y  3z  4w  0

a) Resolverlo por el método de eliminación de Gauss (triangulación).
b) Escribirlo en forma matricial o sea AX=B.
12) Mostrar que el sistema lineal siguiente tiene infinitas soluciones.
2 x  y  3z  t  w  0

 x  y  z  w  6
Escribir dos soluciones particulares del sistema.
x  y  1

13) Escribir en forma matricial el sistema lineal:  y  z  2 .
 y  1

Resolverlo, si es posible por el método de la matriz inversa.
14) Demostrar que: 1 
sen (2 )
 sen 2
2 tan 
15) Determinar un polinomio de 4º con coeficientes reales que tenga por raíces los
números: -4i y -5+2i.
16) Determinar todos los números reales k que hacen que la siguiente expresión sea
un número real:
2  ki
k i
17) Sean z1  i y z 2  2  i calcular:
a)
z1  z2 1
b) z1  z 2 
10
c)
z
3
1
18) Determinar el valor de verdad de las proposiciones. Justificar.
sen 
cos 
a)
tan  

b)
cos( )  cos(  2k ) con k  Z
c) Los teoremas del seno y del coseno no son aplicables a triángulos rectángulos.
d) Toda ecuación algebraica, de grado n, P(x)=0 admite en C exactamente n raíces
distintas.
e) Toda ecuación algebraica de la forma x n  w  0 admite en C exactamente n raíces
distintas (w es un complejo distinto de cero, en particular podría ser real).
f) Toda matriz cuadrada admite inversa.
g) El producto de matrices es conmutativo y asociativo.
h) Todo sistema lineal se puede escribir en forma matricial.
i) Todo sistema lineal se puede resolver en forma matricial.
j) Todo sistema homogéneo tiene solución única, la solución trivial.
k) Un sistema cuadrado tiene solución única si y sólo si la matriz de los coeficientes es
inversible.
l) Una matriz cuadrada es inversible si y solo si mediante operaciones elementales
puede reducirse a una matriz unitaria.
m) Sea I una matriz unitaria: I 1  I .
n) Sea O una matriz nula: O 1  O .
o) La suma de matrices y el producto de un escalar por una matriz verifican 8
propiedades básicas, 4 para la suma y 4 relativas al producto por escalar.
p) Un sistema lineal que tiene más incógnitas que ecuaciones tiene infinitas
soluciones.
q) Un sistema lineal homogéneo que tiene más incógnitas que ecuaciones tiene
infinitas soluciones.
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