UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior 2.1 Definición Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma: an ( x ) dny d n −1 y dy + + + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = a x g ( x) ) ( n −1 n n −1 dx dx dx Si las funciones an ( x ) … a0 ( x ) son todas constantes (o cero) entonces se dice que la ecuación es de coeficientes constantes. Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tiene la forma: an ( x ) dny d n −1 y dy + + + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = a x 0 n −1 ( ) n n −1 dx dx dx Es decir, una ecuación diferencial lineal es homogénea si la función g ( x ) es cero. En caso contario, se dice que es no homogénea o inhomogénea 1. De las ecuaciones diferenciales de orden superior, la más importante es la ecuación de segundo orden: a2 ( x ) d2y dy + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x) 2 dx dx 2.2 Problema de valor inicial De la misma forma como se planteó el problema de valor inicial para una ecuación diferencial de primer orden, se puede plantear el problema de valor inicial para una ecuación de orden superior: dny d n −1 y dy + + + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = a x g ( x) ( ) n −1 n n −1 dx dx dx Resolver: an ( x ) Sujeta a: y ( x0 ) = y0 , y′ ( x0 ) = y0′ , …, y ( n −1) ( x0 ) = y0( n−1) ( n −1) donde y0 , y0′ , … y0 son constantes arbitrarias. Al resolver el problema de valor inicial, se busca una solución particular en algún intervalo I que contenga al punto x0 y que cumpla en dicho punto con los valores especificados de y y sus derivadas. Para la ecuación de segundo orden, el problema de valor inicial se simplifica a: 1 d2y dy + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x) 2 dx dx Resolver: a2 ( x ) Sujeta a: y ( x0 ) = y0 , y′ ( x0 ) = y0′ No confundir con el las ecuaciones diferenciales de primer orden de coeficientes homogéneos que se vieron en la Unidad 1. Página 2-1 REVISIÓN 1 – 63897.55 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Relacionado al problema de valor inicial, existe también el problema de valores en la frontera: d2y dy + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x) 2 dx dx Resolver: a2 ( x ) Sujeta a: y ( x0 ) = y0 , y ( x1 ) = y1 2.3 Teorema de existencia y unicidad Al igual que en el caso de las ecuaciones diferenciales de primer orden, este teorema establece las condiciones necesarias para que un problema de valor inicial tenga solución (existencia) y que esa solución sea la única que existe (unicidad). Sean an ( x ) , an −1 ( x ) , …, a1 ( x ) , a0 ( x ) y g ( x ) continuas en un intervalo I y sea an ( x ) ≠ 0 para todo x en este intervalo. Si x = x0 es cualquier punto de este intervalo, entonces existe una solución y ( x ) del problema de valor inicial en el intervalo, y esa solución es única. 2.4 Dependencia e independencia lineal (wronskiano) Definición: Se dice que un conjunto de funciones f1 ( x ) , f 2 ( x ) , …, f n ( x ) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1 , c2 , …, cn , no todas cero, tales que la combinación lineal de las funciones c1 f1 ( x ) + c2 f 2 ( x ) + + cn f n ( x ) sea igual a cero para todo x en el intervalo. Si un conjunto de funciones no es linealmente dependiente, se dice que el linealmente independiente. Ejemplo: f1 ( x ) = sen 2 x y f 2 ( x ) = sen x cos x son linealmente dependientes en el intervalo −∞ < x < ∞ , = B 12 sen ( A − B ) + sen ( A + B ) se puede demostrar que ya que por la identidad trigonométrica sen A cos 2sen x cos x − sen 2 x = 0 . En este caso, c1 = −1 y c2 = 2 . 2 Ejemplo: 5 + x , x y x − 1 son linealmente independientes porque la única manera de que la 2 combinación lineal c1 5 + x + c2 x + c3 x − 1 sea cero es que las constantes c1 , c2 y c3 sean cero. ( ) ( ) El siguiente teorema permite determinar si un conjunto dado de funciones es o no linealmente dependiente: Supóngase que se tiene un conjunto de n funciones f1 , f 2 , …, f n que tienen al menos n − 1 derivadas. Si el determinante f1 f1′ f1( n −1) f2 f 2′ f 2( n −1) fn f n′ f n( n −1) es diferente de cero en al menos en un punto del intervalo I entonces la funciones dadas f1 , f 2 , …, f n son linealmente independientes en el intervalo. REVISIÓN 1 – 63897.55 Página 2-2 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR Este determinante se designa como W ( f1 , f 2 , , f n ) y se denomina wronskiano de las funciones, en honor de Josef Maria Hoëne Wronski (1778-1853) nacido en Polonia, educado en Alemania y que pasó la mayor parte de su vida en Francia y cuya única contribución significativa a las matemáticas fue el determinante que lleva su nombre. Ejemplo: W ( sen 2 x,sen x cos x ) = 0 linealmente dependientes. x −x = 2 x linealmente independientes. Ejemplo: W x, e , e ( ) 2.5 Principio de Superposición y Solución General El principio de superposición se enuncia a partir de los siguientes tres postulados: Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior siempre tiene la solución trivial y = 0. Si y1 ( x ) es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea, entonces cualquier múltiplo constante de ella, y = c1 y1 ( x ) también es una solución. Sean y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yk ( x ) diferentes soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en un intervalo I . Entonces, la combinación lineal de esas soluciones = y c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ) + + ck yk ( x ) donde las constantes c1 , c2 , …, ck son constantes arbitrarias, es también una solución de la ecuación diferencial. Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier conjunto y1 , y2 , …, yn de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n . A la combinación lineal del conjunto fundamental de soluciones= y c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ) + + cn yn ( x ) se le llama solución general (también llamada solución completa) de la ecuación diferencial. 2.6 Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden De las definiciones planteadas en la sección 2.1, se tiene que la forma general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es: a2 ( x ) d2y dy + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = 0 2 dx dx 2.6.1 Elaboración de una segunda solución a partir de una solución conocida Sea y1 ( x ) una solución no trivial de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden. puede generarse una segunda solución con la fórmula: y2 = y1 0, Ejemplo: x y′′ − 3 xy′ + 4 y = 2 REVISIÓN 1 – 63897.55 y1 = x 2 ∫ e − Entonces, a1 ( x ) ∫ a ( x ) dx 2 y12 dx y2 = x 2 ln x Página 2-3 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 2.6.2 Solución de ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes Se desea encontrar la solución a la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes: a d2y dy + b + cy = 0 2 dx dx donde a , b y c son constantes y a ≠ 0 . Para definir un punto de partida para el análisis de esta ecuación, considérese primero la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden con coeficientes constantes: A dy + By = 0 dx −Bx mx Esta ecuación tiene solución general y = Ce A , es decir y = Ce donde m = − BA es constante. Por mx comparación, esto sugiere intentar una solución de prueba y = e para la ecuación de segundo orden. Sustituyendo esta solución de prueba en la ecuación de segundo orden: a d 2 mx d 0 e ) + b ( e mx ) + c ( e mx ) = 2 ( dx dx a ( m 2 e mx ) + b ( me mx ) + c ( e mx ) = 0 ( am Ya que, en general, 2 + bm + c ) e mx = 0 e mx ≠ 0 , entonces se llega a la conclusión que: am 2 + bm + c = 0 Este polinomio se conoce como ecuación característica. Aún cuando se debería obtener siempre sustituyendo la solución de prueba en la ecuación diferencial, se puede observar que la potencia de m en cada término de la ecuación característica corresponde con el orden de la derivada de cada término de la ecuación diferencial, se suele deducir la ecuación característica directamente de la ecuación diferencial. Las raíces de este polinomio son los valores de m que satisfacen la ecuación característica, generalmente identificados como m1 y m2 . Las raíces se obtienen por factorización (cuando es posible) o aplicando la fórmula general para la ecuación cuadrática. La solución general de la ecuación diferencial dependerá entonces del tipo de estas raíces, de acuerdo con los casos siguientes: CASO 1: Raíces reales diferentes. Si las raíces son dos números reales diferentes, la solución general está expresada en términos de funciones exponenciales de la siguiente forma: = y C1e m1x + C2 e m2 x CASO 2: Raíces reales repetidas. Si las dos raíces son iguales, es decir, m = m= m , entonces la solución general tiene la 1 2 siguiente forma: = y C1e mx + C2 xe mx REVISIÓN 1 – 63897.55 Página 2-4 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR CASO 3: Raíces complejas conjugadas. Si las dos raíces son de la forma m1 = α + β i y m2 = α − β i (a veces expresado como iθ m = α ± βi ), entonces puede aplicarse la fórmula de Euler e= cos θ + i sen θ para escribir la solución en la forma: = y C1eαx sen ( βx ) + C2 eαx cos ( βx ) CASO ESPECIAL 1: Raíces imaginarias puras. Si las raíces son de la forma m1 = ki y m2 = − ki (o bien m = ± ki ) la solución no tiene parte exponencial y sólo está formada por funciones trigonométricas: = y C1 sen ( kx ) + C2 cos ( kx ) CASO ESPECIAL 2: Raíces reales iguales pero de signo opuesto. Si las raíces son de la forma m1 = k y m2 = − k (o lo que es equivalente, m = ± k ) la solución puede expresarse en términos de funciones trigonométricas hiperbólicas en vez de exponenciales: = y C1 senh ( kx ) + C2 cosh ( kx ) Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: y C1e3 x + C2 e −2 x y′′ − y′ − 6 y = 0 = y C1e3 x + C2 xe3 x y′′ − 6 y′ + 9 y = 0 = y′′ − 4 y′ + 13 y = 0 sujeta a y ( 0 ) = 1 y y′ ( 0 ) = 4 = y e 2 x ( cos 3 x + 2sen 3 x ) 2.7 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior Considérese la ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior con coeficientes constantes: dny d n −1 y d2y dy an n + an −1 n −1 + + a2 2 + a1 + a0 y = 0 dx dx dx dx donde an ≠ 0 . Esta ecuación se resuelven de modo análogo a la ecuaciones de segundo orden: a partir de la ecuación diferencial, se deduce la ecuación característica, que se factoriza para encontrar las raíces m1 , m2 , …, mn . La solución general está dada por la combinación lineal de todas las soluciones, de acuerdo a los siguientes casos, que son una extensión de los casos para ecuaciones de segundo orden. En cualquier situación, la solución general de la ecuación de orden n deberá estar formada por la combinación lineal de n soluciones linealmente independientes y contener n constantes arbitrarias. CASO 1: Raíces reales diferentes. Si la ecuación característica tiene k raíces reales diferentes no repetidas, la solución general debe contener la combinación lineal de cada una de las funciones exponenciales correspondientes a esas raíces: e m1x , e m2 x , e m3 x , , e mk x REVISIÓN 1 – 63897.55 Página 2-5 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR CASO 2: Raíces reales repetidas. Cuando m j es una raíz real de multiplicidad k (es decir, k raíces son iguales a solución debe contener la combinación lineal de las siguientes k soluciones: e mjx , xe mjx , x 2e mjx , , x k −1e m j ), la mjx Es decir, se agregan soluciones con potencias de x hasta tener k soluciones. CASO 3: Raíces complejas conjugadas repetidas. Cuando m j = α + β i es una raíz compleja de multiplicidad k , entonces su conjugada α − β i también es una raíz de multiplicidad k . En este caso, la solución general de la ecuación diferencial correspondiente debe contener una combinación lineal de las siguientes 2k soluciones: eαx cos βx, xeαx cos βx, x 2 eαx cos β x, , x k −1eαx cos β x eαx sen βx, xeαx sen βx, x 2 eαx sen βx, , x k −1eαx sen βx De la misma manera, se ve que se están agregando soluciones con potencias cada vez mayores de x hasta obtener el número necesario de soluciones. La etapa más difícil en el proceso de resolver una ecuación diferencial de orden superior homogénea con coeficientes constantes es encontrar las raíces de la ecuación característica. Hay dos herramientas algebraicas que pueden ayudar en este paso: la regla de los signos de Descartes y la división sintética. Regla de los signos de Descartes Sea la función polinomial f ( m= ) an m + an−1m + + a1m + a0 , se desea encontrar valores de m que satisfacen f ( m ) = 0 , es decir, se busca las raíces del polinomio. n n −1 1. Se cuentan las variaciones de signo de los términos de f ( m ) , que constituirán el número de raíces positivas o ese número disminuido en un número par. 2. El número de raíces negativas será el número de variaciones de signo de los términos de f ( −m ) o ese número disminuido en un número par. 3. P será el conjunto de los divisores exactos del coeficiente del término independiente ( a0 ). 4. Q será el conjunto de los divisores exactos del coeficiente del término de mayor grado ( an ). 5. R será el conjunto de todas las posibles combinaciones de divisiones de los valores de P entre los valores de Q , tanto positivas como negativas, sin repeticiones, y forma el conjunto de las posibles raíces reales. 6. Estas posibles raíces se prueban mediante división sintética y se va reduciendo así el grado del polinomio. 7. Si, después de ensayar todas las posibles raíces reales no se han encontrado un número de raíces igual al grado del polinomio, las raíces restantes son raíces complejas (que aparecen en número par pues siempre son pares conjugados). REVISIÓN 1 – 63897.55 Página 2-6 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR División sintética Éste es un procedimiento rápido para dividir un polinomio f ( m= ) an m + an−1m factor de la forma ( m − a ) . n n −1 + + a1m + a0 entre un 1. Si a0 = 0 se debe eliminar un factor común m que representa una raíz m = 0 . 2. Se escriben los coeficientes de las potencias de m en orden descendente de acuerdo a la potencia de m . Si algún término falta en el polinomio, su coeficiente es cero. Escribir a continuación de los coeficientes una casilla, y colocar una línea un renglón abajo de los coeficientes. Ejemplo: 1 m3 − 5m 2 + 2m + 8 = 0 −5 2 8 3. En la casilla se anota el valor a de la raíz a probar, que corresponde al divisor ( m − a ) . 1 −5 2 8 2 4. Se copia el primer coeficiente por debajo de la línea. 1 −5 2 8 2 1 5. Se multiplica ese número debajo de la línea por el número de la casilla, y el resultado se anota en la siguiente columna arriba de la línea. 1 −5 2 2 8 2 1 6. Se suman esa columna y el resultado se anota debajo de la línea. 1 −5 2 8 2 2 1 −3 7. Se repite desde el paso 5 hasta completar todas las columnas. 1 1 REVISIÓN 1 – 63897.55 −5 2 2 −6 −8 −3 −4 8 2 0 Página 2-7 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 8. Si el último número es cero, entonces el número de la casilla sí es una raíz del polinomio y los números del último renglón corresponden a los coeficientes de un polinomio de grado menor. Si el último número no es cero, entonces el número de la casilla no es una raíz, los números del último renglón no tienen significado particular y el proceso debe repetirse probando otra raíz. 9. Con los números del último renglón puede repetirse todo el proceso para encontrar todas las raíces del polinomio. Como puede haber raíces múltiples, es conveniente probar una determinada raíz hasta que se encuentre que ya no es raíz del polinomio. 1 1 1 1 Entonces, la factorización de −5 2 −3 −1 −4 4 0 2 −6 −4 4 0 8 −8 0 2 −1 4 m3 − 5m 2 + 2m + 8 = 0 es ( m − 2 )( m + 1)( m − 4 ) = 0 , o bien m1 = −1 , m2 = 2 y m3 = 4 2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden superior no homogénea de coeficientes constantes es: an dny d n −1 y d2y dy a a g ( x) + + + + a1 + a0 y = n −1 2 n n −1 2 dx dx dx dx donde an ≠ 0 . La solución de esta ecuación está formada por dos partes, una solución complementaria y una solución particular (también llamada integral particular) = y yC + yP donde yC es la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada: an dny d n −1 y d2y dy + + + + a1 + a0 y = a a 0 n −1 2 n n −1 2 dx dx dx dx La solución particular no debe tener constantes arbitrarias, y puede obtenerse por el método de coeficientes indeterminados o por el método de variación de parámetros. 2.8.1 Método de coeficientes indeterminados n Usando la notación D y para la n -ésima derivada, se puede escribir una combinación lineal de derivadas de la siguiente forma: y y sus an D n y + an −1 D n y + + a1 Dy + a0 y (a D n Donde n + an −1 D n + + a1 D + a0 ) y an D n + an −1 D n + + a1 D + a0 se llama operador diferencial lineal de orden n. Como es un polinomio en REVISIÓN 1 – 63897.55 D , a menudo se abrevia P ( D ) y tiene las siguientes propiedades: Página 2-8 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 1. P ( D ) puede ser factorizado en operadores diferenciales de orden menor, tratándolo como si fuera un polinomio ordinario. 2. Los factores de P ( D ) pueden conmutarse. Un operador diferencial anulador es aquél polinomio P ( D ) que puede reducir una cierta función a cero. La siguiente tabla muestra los operadores anuladores más comunes y las funciones que pueden anular: Operador diferencial D ( D − α) (D 2 anula a cada una de las funciones x n −1 , …, x 2 , x , 1 x n −1eαx , …, x 2 eαx , xeαx , eαx n n + β2 ) n D 2 − 2αD + ( α 2 + β2 ) x n −1 cos βx , …, x 2 cos βx , x cos βx , cos βx x n −1 sen βx , …, x 2 sen βx , x sen βx , sen βx n x n −1eαx cos βx , …, x 2 eαx cos βx , xeαx cos βx , eαx cos βx x n −1eαx sen βx , …, x 2 eαx sen βx , xeαx sen βx , eαx sen βx Aplicación del método de coeficientes indeterminados: 1. Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada para encontrar la solución complementaria yC . 2. Buscar operadores diferenciales que anulen a las funciones que constituyen g ( x ) , observando que cuando un operador dado pueda anular a más de un término de g ( x ) no es necesario repetirlo. 3. De cada operador diferencial se genera una ecuación característica y se determinan sus raíces. 4. Con las raíces obtenidas en el paso anterior, escribir la forma de la solución particular yP , empleando A , B , C , etcétera, como constantes arbitrarias. Si alguna de las raíces para la solución particular ya había aparecido también en la solución complementaria, dichas raíces se tomarán en cuenta para la multiplicidad. 5. Ya que la solución particular no debe tener constantes arbitrarias, hay que determinar los valores de las constantes A , B , C , etcétera. Para esto, se sustituye la solución particular en la ecuación diferencial y se genera una ecuación algebraica con los coeficientes de cada clase de términos semejantes. El número de ecuaciones obtenidas debe ser el mismo que el número de constantes buscadas. 6. Se resuelve el sistema de ecuaciones del paso anterior y los valores determinados para las constantes A , B , C , etcétera, se sustituyen en la solución particular. 7. La solución general de la ecuación diferencial no homogénea será la suma de la solución complementaria y la solución particular. Ejemplo: y′′ − 3 y′ = 8e3 x + 4sen x Se resuelve C1 + C2 e3 x . Luego, y′′ − 3 y′ = 0 para encontrar y= C se buscan operadores anuladores para la parte no homogénea: sen x yP =Axe3 x + B sen x + C cos x la ecuación diferencial es REVISIÓN 1 – 63897.55 ( D − 3) anula a e3x , ( D 2 + 1) anula a yP =83 xe3 x − 52 sen x + 65 cos x . Por lo tanto, la solución de y= C1 + C2 e3 x + 83 xe3 x − 52 sen x + 56 cos x . Página 2-9 UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 2.8.2 Método de variación de parámetros La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden lineal no homogénea de coeficientes constantes: a es = y d2y dy + b + cy = g ( x) 2 dx dx yC + yP donde yC se obtiene a partir de la ecuación diferencial homogénea asociada: a d2y dy + b + cy = 0 2 dx dx y= yP u1 y1 + u2 y2 donde y1 y y2 son las soluciones obtenidas en yC . u1 y u2 se obtienen como: u1 = − ∫ donde y2 f ( x ) dx W y u2 = ∫ y1 f ( x ) dx W f ( x ) = g ( x ) / a y W es el wronskiano de y1 y y2 . Ejemplo: y ′′ − 4 y ′ + 4 y =( x + 1) e 2x y =C1e 2 x + C2 xe 2 x + 12 x 2 e 2 x + 16 x3e 2 x Este método se generaliza a ecuaciones no homogéneas de orden n con coeficientes constantes: an dny d2y dy + + a + a1 + a0 y = g ( x) 2 n 2 dx dx dx La solución general está dada por = y yC + yP , donde yC es la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada y yP = u1 y1 + u2 y2 + + un yn , donde u1 = ∫ W1 dx W u2 = ∫ W2 dx W … un = ∫ Wn dx W W es el wronskiano de las soluciones y1 , y2 , …, yn de la solución complementaria y Wi es un determinante con los mismos elementos que el W excepto la i -ésima columna que se sustituye por 0, 0, 0,…., f ( x ) , con f ( x ) = g ( x ) / a . Ejemplo: y′′′ − 2 y′′ − y′ + 2 y = e 3x REVISIÓN 1 – 63897.55 yC = C1e 2 x + C2 e x + C 3e − x y = C1e 2 x + C2 e x + C 3e − x + e3 x 8 Página 2-10
