Topología de (II)

Topología de 
El conjunto de los números Reales
2
.
El conjunto de los números Reales es el conjunto que engloba a los siguientes números:
Los números Naturales
Los números Enteros
N
Z
Los números Racionales
Q
I
y los números Irracionales
, hasta formar lo que conocemos como la Recta Real, que
contiene una representación de todos los números rellenando completamente la recta.
Estos números se representan sobre una recta por varios motivos:
Es la única forma que tenemos de representar infinitos números en cada uno de los
intervalos (hacemos corresponder cada punto de una recta con cada uno de los números).
Es una forma de mantener las propiedades relativas al orden existente en los números
reales:
a  b  b  a     0
o también:
a < b  b  a  +
Valor absoluto de un número Real
Se llama valor absoluto de un número real
entre a y -a. Además,
a y se representa |a| al número positivo de
|0|=0.
Es decir:
 a
a 
a
si a  0
si a  0
Intervalos y entornos en la recta real
Vamos a enumerar distintas formas de nombrar subconjuntos dentro de los números reales.
Para comenzar, si a la recta real se le añaden los dos elementos
obtenemos la recta real ampliada que se representa por
:
  y+  ,
 =    , + 
Además de la definición anterior, utilizaremos en adelante los siguientes subconjuntos:
Intervalo abierto: El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales
comprendidos entre a y b:
a,b  = x   | a < x < b 
Intervalo cerrado: El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, incluyendo a a y a b:
a,b  = x   | a  x  b 
Intervalo semiabierto o semicerrado:
(a,b] = x   | a < x  b 
[a,b) = x   | a  x < b 
Entorno simétrico:
E a,r  = a  r, a + r  =
= x   | x  a  < r =
= x   | a  r < x < a + r 
Entorno reducido:
E  a,r  = E a,r   a
Entorno lateral a la izquierda:
E  a,r  = a  r, a 
Entorno lateral a la derecha:
E + a, r  = a, a + r 
Conjuntos acotados en la recta real
Un conjunto C de números reales se dice que está acotado superiormente si existe un
número real K que es más grande que todos y cada uno de los elementos del conjunto, es
decir:
C está acotado superiorme nte 
 K   | x  C x  K
A ese número K se le llama cota superior de C.
Un conjunto C de números reales se dice que está acotado inferiormente si existe un
número real P que es más pequeño que todos y cada uno de los elementos del conjunto, es
decir:
C está acotado inferiorme nte 
 P   | x  C x  P
A ese número P se le llama cota inferior de C.
Un conjunto C de números reales se dice que está acotado si está acotado tanto superior
como inferiormente.
C está acotado 
 K,P   | x  C P  x  K
La menor de las cotas superiores de un conjunto (y la mayor de las cotas inferiores de
un conjunto) recibe el nombre de extremos superior o supremo (extremo inferior o ínfimo)
si esta cota no pertenece al conjunto, y recibe el nombre de máximo (mínimo) si la cota
pertenece al conjunto.
Ejemplos y Ejercicios
1º Estudiar la acotación de los siguientes conjuntos:
3, 8 
x   | 2x  6
x   | x < 6
 1
A =  | n  N 
 n

2º Convierte las siguientes funciones con valor absoluto en funciones definidas a trozos
(sin valor absoluto):
f  x  = x  2
f  x  = x  2 + 3
f  x  = x x  2
f  x  = x  2+ x  3  x + 5
f  x  = x 2  2 + 3
f  x  = x 
f  x  = x 2 
Soluciones:
3, 8 

El intervalo
3, 8 
es un conjunto acotado (tanto superior como inferiormente) y que
tiene como supremo al valor 8 y como ínfimo el valor 3. No tiene ni máximo ni mínimo.

x   | 2x  6
Este conjunto se corresponde con los valores que hacen que
x
x3
6
2
, es decir,
Por tanto, el conjunto está acotado superiormente, pero no está acotado inferiormente.
Además, el 3 es un máximo.

x   |
x < 6
Este conjunto se corresponde con los valores que hacen que
x  6.
Por tanto, el conjunto está acotado superiormente, pero no está acotado inferiormente.
Además, el 6 es un supremo.

 1
A =  | n  N 
 n

Este conjunto se corresponde con los valores siguientes:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
 , , , , , , , , ,...
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y al representarlos sobre la recta real, obtenemos que el conjunto está acotado (superior e
inferiormente). Tiene como mínimo el -1 (pertenece al conjunto) y como supremo al 0 (no
pertenece al conjunto, pues por muy grande que sea el denominador, nunca será igual a 0)