UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CARRERA/S: Analista en Computación, Profesorado en Ciencias de la Computación y Licenciatura en Ciencias de la Computación. PLAN DE ESTUDIOS: 1999 ASIGNATURA: Cálculo I CÓDIGO: 1978 DOCENTES RESPONSABLES: *Dra. Claudia Gariboldi (Primer Cuatrimestre) *Mg. Cecilia Elguero (Segundo Cuatrimestre) EQUIPO DOCENTE: *Prof. Norma Gallardo – Dra. Albina Priori – Prof. Andrea Maero (Primer Cuatrimestre) *Prof. Sabina Bigolìn (Segundo Cuatrimestre) AÑO ACADÉMICO: 2014 REGIMEN DE LA ASIGNATURA: Anual CARGA HORARIA TOTAL: 224 hs TEÓRICAS: 112hs PRÁCTICAS: 112hs LABORATORIO:--hs CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria A. CONTEXTUALIZACIÓN DE LA ASIGNATURA Esta asignatura se cursa durante el primer y segundo cuatrimestre de primer año. En la misma se estudian temas correspondientes al análisis en una variable. B. OBJETIVOS PROPUESTOS Que los alumnos: Adquieran destrezas algebraicas para la resolución de problemas. Desarrollen la intuición en el proceso de construcción de las nociones de análisis. Establezcan relaciones entre la representación formal de los conceptos trabajados con la interpretación geométrica de los mismos. 1 Reconozcan y apliquen herramientas del cálculo infinitesimal en situaciones problemáticas de diferentes disciplinas. Conozcan distintas maneras de abordar una situación problemática. Descubran que en algunas situaciones obtienen resultados exactos en tanto que en otras solo pueden lograr resultados aproximados. Analicen las diferentes formas de resolución de un problema, sus ventajas y desventajas. C. CONTENIDOS BÁSICOS DEL PROGRAMA A DESARROLLAR Números reales. Funciones. Algunas funciones especiales. Definición de límite de una función en un punto. Propiedades. Definición de continuidad. Tipo de discontinuidades. Derivadas: definición, ecuación de recta tangente, reglas de derivación, interpretación física de la derivada. Aplicaciones de la derivada: gráfico de funciones, problemas de optimización, Regla de L’Hopital.. Integrales Indefinidas. Noción de primitiva. Métodos de integración. Integrales definidas. Definición y propiedades. Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Integración numérica. Cálculo de áreas planas, longitud de curvas planas, volumen de sólido de revolución. Integrales impropias. Sucesión de números reales. Series infinitas. Criterios de Convergencia. Series alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterio de Leibniz. Polinomio de Taylor. Teorema de Taylor para el resto. Series de potencias. Radio de convergencia. Desarrollo de funciones en serie de potencias. D. FUNDAMENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS Los contenidos de esta asignatura, propios del cálculo infinitesimal, forman parte de las herramientas básicas para el estudio de una gran cantidad de problemas de aplicación a distintas ciencias, tales como la física, química, economía, etc. Es por ello que en el desarrollo de la asignatura, tanto en las clases teóricas como prácticas se introducen ejemplos y problemas de aplicación. No obstante, se destaca que la formalización matemática y la visualización geométrica de los conceptos, no son de menor importancia en el tratamiento de los temas. E. ACTIVIDADES A DESARROLLAR En las clases teóricas se introducen los conceptos fundamentales de la materia: definiciones, interpretaciones geométricas, propiedades y ejemplos ilustrativos. Se pone énfasis en el desarrollo de la intuición geométrica. Se incentiva la participación de los alumnos, induciéndolos a relacionar los nuevos temas, con los conocimientos que ya poseen. En las clases prácticas se abordan actividades que contienen diversos tipos de ejercitaciones relacionados con los objetivos planteados: ejercicios que permiten fomentar la destreza en los cálculos, ejemplos y contraejemplos de los diferentes contenidos y problemas de aplicación a diferentes áreas. 2 CLASES TEÓRICAS: presencial - 4hs CLASES PRÁCTICAS: presencial – 4hs F. NÓMINA DE TRABAJOS PRÁCTICOS Se desarrollan 12 guías de trabajos prácticos: Trabajo Práctico 1: Números Reales Trabajo Práctico 2: Funciones (Primera Parte) Trabajo Práctico 3: Funciones (Segunda Parte) Trabajo Práctico 4: Límites Trabajo Práctico 5: Continuidad Trabajo Práctico 6: Derivadas Trabajo Práctico 7: Aplicaciones de la Derivada Trabajo Práctico 8: Integrales Indefinidas Trabajo Práctico 9: Integrales Definidas Trabajo Práctico 10: Aplicaciones de las Integrales Definidas Trabajo Práctico 11: Sucesiones y Series Numéricas Trabajo Práctico 12: Polinomios de Taylor y Series de Potencias G. MODALIDAD DE EVALUACIÓN: Evaluaciones Parciales: 4 parciales escritos, 4 recuperatorios y 2 recuperatorios globales. Evaluación Final: Escrita, sobre contenidos impartidos en la teoría. Para aprobarlo deberá responder al menos al 50% de las consignas. H. CONDICIONES DE REGULARIDAD: Para obtener la regularidad de la materia se deberá cumplimentar con el Régimen de Estudiantes y de Enseñanza de Grado de la Universidad Nacional de Río Cuarto. Res. C.S.356/10: a) Aprobar dos parciales en cada cuatrimestre o sus respectivos recuperatorios, acreditando un mínimo del 50% de los conocimientos solicitados en cada examen. En ese porcentaje deben estar incluidos los temas fundamentales de la asignatura. Aquellos alumnos que no hayan regularizado cada etapa en las instancias antes mencionadas podrán rendir un recuperatorio global, teniendo acceso al mismo los que hayan aprobado un parcial o un recuperatorio en la etapa correspondiente. Acceden a cursar la segunda etapa de la asignatura sólo los alumnos que regularicen la primera. b) Tener una asistencia a las clases prácticas de al menos el 75%. 3 PROGRAMA ANALÍTICO A. CONTENIDOS UNIDAD 1: Números Reales Números reales. Operaciones y Propiedades. Orden y Desigualdades. Valor absoluto. Propiedades. UNIDAD 2: Funciones Definición de función. Clasificación de las funciones. Función Inversa. Función Lineal. Sistemas Lineales. Función Cuadrática. Sistemas Mixtos. Funciones Exponenciales y Logarítmicas. Funciones Trigonométricas. Resolución de Triángulos. UNIDAD 3: Límite y Continuidad Definición de límite de una función en un punto. Propiedades de los límites. Indeterminaciones. Asíntotas. Límites notables. Definición de función continua en un punto: ejemplos. Tipos de discontinuidades: ejemplos. Definición de funciones continuas en un intervalo abierto (a, b) y en un intervalo cerrado [a,b]. Teorema de conservación de signo. Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados. Aplicación del teorema de Bolzano: Método de Bisección. UNIDAD 4: Derivadas Definición de la derivada de una función en un punto. Ecuación de la recta tangente. Cálculo de derivadas. Ejemplos de funciones no derivables. Relación entre derivabilidad y continuidad. Derivadas de suma, producto y cociente de funciones. Derivada de la composición de funciones (Regla de la Cadena). Interpretación física de la derivada. UNIDAD 5: Aplicaciones de la Derivada Búsqueda de máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Corolarios. Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. Teorema del valor medio de Cauchy. Regla de L'Hopital. UNIDAD 6: Integrales Indefinidas Noción de primitiva. Métodos de integración: por sustitución, por partes y por fracciones parciales. Otras sustituciones para funciones racionales. UNIDAD 7: Integrales definidas Integral de Riemann en un intervalo. Definición y propiedades. Integrabilidad de funciones continuas sobre un intervalo cerrado. La integral definida como función. Propiedades. Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Integración numérica: Regla del punto medio. Regla del trapecio. UNIDAD 8: Aplicaciones de las integrales definidas Cálculo de áreas planas, longitud de una curva plana, volumen de un sólido de revolución. Integrales impropias. UNIDAD 9: Sucesiones y Series Numéricas Definición de sucesión de números reales. Sucesión convergente y divergente. Propiedades elementales. Sucesiones monótonas. Sucesiones acotadas. Criterios de convergencia. Series infinitas. Sucesión de sumas parciales. Series convergentes y divergentes. Condición del resto. 4 Series geométricas. Series de términos positivos: Criterios de Comparación, del Cociente, de la integral. Series alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterio de Leibniz. UNIDAD 10: Polinomios de Taylor y Series de Potencias Definición de Polinomio de Taylor de una función en un punto. Propiedades. Teorema de Taylor para el resto. Aplicaciones a la estimación de una función en un punto con una precisión dada. Series de potencias. Radio de convergencia de la serie. Dominio de la series de potencias. Serie de Taylor para una función. Desarrollo en serie de potencias de funciones conocidas. B. CRONOGRAMA DE CLASES Y PARCIALES Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Día/ Fecha Parciales / Recuperatorio 09/05 1er Parcial Práctica 7 04/06 Rec. 1er Parcial Práctico 7 13/06 24/06 2do Parcial Rec. 2do Parcial Teóricos Prácticos Unidad 1: Números reales. Valor absoluto Unidad 1: Propiedades. Inecuaciones Unidad 2: Funciones: Definición de función. Clasificación de las funciones Funciones Lineales. Funciones cuadráticas Unidad 2: Funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas. Unidad 3: Límite y Continuidad Definición de límite de una función en un punto. Propiedades de los límites Límites notables Unidad 3: Límite y Continuidad Definición de función continua en un punto: ejemplos. Práctica 1 Práctica 1 Práctica 2 Unidad3: Límite y Continuidad Tipos de discontinuidades: ejemplos. Definición de funciones continuas en un intervalo abierto (a, b) y en un intervalo cerrado [a,b]. Unidad 3: Límite y Continuidad Teorema de conservación de signo. Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados Unidad 4: Derivadas Definición de la derivada de una función en un punto dado. Ecuación de la recta tangente.. Cálculo de derivadas Unidad 4: Derivadas Ejemplos de funciones no derivables. Derivadas de suma, producto y cociente de funciones. Unidad 4: Derivadas Derivada de la composición de funciones (Regla de la Cadena)Relación entre derivabilidad y continuidad.. Interpretación física de la derivada Unidad 5: Aplicaciones de la Derivada Búsqueda de máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Corolarios. Unidad 5: Aplicaciones de la Derivada Convexidad y concavidad. Puntos de inflexión. Diferencial: su aplicación en aproximación de valores de una función. Teorema del valor medio de Cauchy. Regla de L’Hôpital. Práctica 4 Práctica 2 Práctica 3 Práctica 3 Práctica 4 Práctica 5 Práctica 5 Práctica 5 Práctica 6 Práctica 6 Práctica 6 Práctica 7 Clases de Consultas 5 2do. Cuatrimestre Semana Teóricos Prácticos 11/08 al 15/08 U6 Practica 8 19/08 al 23/08 U6 Practica 8 26/08 al 30/08 U6-U7 Práctica 8 02/09 al 06/09 U7 Práctica 9 09/09 al 13/09 U7- U8 Práctica 9 16/09 al 20/09 U8 Práctica 10 23/09 al 27/09 U8 Práctica 10 30/09 al 04/10 U9 Práctica 10 Día/ Fecha Parciales / Recup. Viernes 03/10 3er Parcial Martes 21/10 Recup 3er parcial Viernes 07/11 4to Parcial Jueves 13/11 Recup 4to Parcial Consulta 07/ al 11/10 U9 Práctica 11 14/10 al 18/10 U9 Práctica 11 Práctica 12 21/10 al 25/10 U10 U10 Práctica 12 Revisión Práctica 12 Consulta Consulta 28/10 al 01/11 04/11 al 08/11 11/11 al 15/11 Consulta 18/11 al 22/11 Revisión para examen final 6 C. BIBLIOGRFÍA PRECÁLCULO. Michael Sullivan. Editorial Prentice Hall. PRECÁLCULO. Faires/De Franza. Internacional Thomson Editores. CÁLCULO. Vol. 1 y CÁLCULO II- Larson/Hostetler/Edwards. Mc. Graw-Hill. CÁLCULO. Vol. 1 y 2- James Stewart. Thompson Learning, Cuarta Edición. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Vol. 1-Stein / Barcellos. Mc. Graw-Hill. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Bers (Tomos I y II). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Ricardo Noriega. Editorial Docencia. CÁLCULUS. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Editorial Reverté. S. A. 7