PROGRAMA TOPOLOGÍA, ANÁLISIS FUNCIONAL Y PROCESOS ESTOCASTICOS EN ECONOMÍA. LEONARDO DUARTE I.
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I. PROGRAMA TOPOLOGÍA, ANÁLISIS FUNCIONAL Y PROCESOS ESTOCASTICOS EN ECONOMÍA. LEONARDO DUARTE JUSTIFICACIÓN: El desarrollo formal del conocimiento en la frontera y más allá de la frontera en teoría económica, econometría y finanzas requiere del manejo de teorías y conceptos matemáticos que no son cubiertos en los cursos tradicionales de matemáticas que se dictan en las universidades, incluyendo el nivel de maestría. Esto no solo dificulta a la comunidad interesada el ingreso y permanencia a los programas de doctorado, sino la incorporación de los nuevos desarrollos al acervo de conocimiento. En la actualidad, muchos textos al nivel de doctorado han optado por incluir capítulos especiales cuyo objetivo específico es suplir esta deficiencia. Por ejemplo, el libro Recursive Methods in Economics Dynamics de Stokey, N., y Lucas, R., ocupa casi la mitad del libro en los requerimientos matemáticos. Estos cubren tópicos como teoría de la medida, el estudio de los espacios de Banach, recopilación de teoremas de punto fijo, teoría de contracciones, entre otros. En general, la modelación formal en estos niveles del conocimiento necesita del manejo de estructuras matemáticas distintas y más generales a las involucradas en los espacios lineales euclideos R n, usualmente estudiados en los cursos tradicionales de matemáticas. Estas estructuras se estudian en la topología, teoría de la medida y en el análisis funcional y los prototipos básicos que las satisfacen y que son su objeto de estudio, son los espacios de Hilbert y de Banach, extensiones naturales de los Rn. A continuación se presentan algunos ejemplos específicos de las aplicaciones a la economía y finanzas de estas estructuras: - - II. El estudio riguroso de los procesos estocásticos y del cálculo estocástico, necesario para modelar situaciones dinámicas con incertidumbre, muy frecuentes en macroeconomía, teoría del crecimiento, econometría y finanzas, requiere de la teoría de la medida y de la integral de Lebesge. La solución de ecuaciones diferenciales o en diferencias no lineales puede llevar a casos de equilibrios múltiples, ciclos, caos, etc., en los cuales el espacio solución no se asemeja al espacio euclideo R n. La búsqueda de soluciones y su caracterización requiere del análisis funcional. Por lo general el universo de las posibles soluciones son espacios de Banach. La extensión de la teoría del equilibrio general y de la teoría del bienestar al caso de un continuo de agentes o mercancías, requiere de los espacios de Banach para reemplazar el tradicional espacio euclideo Rn. En especial, la demostración del segundo teorema del bienestar en este caso, requiere de un resultado fundamental del análisis funcional como es el teorema de representación Hann-Banach, extensión natural del teorema del hiperplano separador en Rn. Adicionalmente, las extensiones que involucren incertidumbre requieren además del manejo de la teoría de la medida e integración. Generalmente la existencia de solución en los problemas de optimización dinámica se traslada a la existencia de puntos fijos sobre operadores entre funcionales y se trabaja sobre espacios de Hilbert o de Banach. La teoría de la medida, los espacios de probabilidad y los espacios de Hilbert conforman el universo para estudiar aspectos teóricos de la econometría. OBJETIVOS: 1. Presentar de una manera natural y sencilla los conceptos y resultados básicos de la topología de puntos en R n y espacios métricos en general, la teoría de la medida y el análisis funcional. 2. Profundizar en los espacios prototipos específicos sobre los cuales se construyen las aplicaciones. En particular, estos prototipos se basan en los requerimientos matemáticos desarrollados en los siguientes libros: - Stokey, N., y Lucas, R.. Recursive Methods in Economics Dynamics .Capítulos 3-7-8 -15 y 17. - Malliaris, A.G.,y W.H. Brock “Stochastic Methods in Economics and Finance”, Capítulos 1-2-3. 3. Desarrollar los ejercicios y algunas aplicaciones expuestas en los libros enunciados en el objetivo anterior, buscando que cubran el mayor número de áreas y que generen las condiciones para que el estudiante por si mismo aborde las aplicaciones de su interés. 4. Dotar al asistente de las herramientas matemáticas mínimas necesarias para poder abordar por su propia cuenta el estudio de temas en economía y finanzas al nivel de doctorado, así como facilitarle el acceso y la permanencia en programas de doctorado. III. PERFIL DEL ESTUDIANTE 1. Pos graduados en economía, con buen conocimiento en matemáticas, que deseen realizar estudios de doctorado o deseen profundizar sus conocimientos en economía y finanzas a través de lecturas de artículos de o más allá de la frontera. 2. Ingenieros, matemáticos, físicos, estadísticos y profesionales con un muy buen nivel de matemáticas que deseen estudiar aplicaciones de las matemáticas a la economía. IV. PROGRAMA: 1. Análisis Matemático a. Introducción a la topología y la noción de espacio topológico. b. El cuerpo de los números reales c. El espacio lineal euclideo Rn d. La topología de puntos en Rn y en espacios métricos - Conceptos de punto interior, punto de acumulación, cerrado, abierto. - Conjuntos compactos, caracterización de los compactos en Rn - Sucesiones, series, funciones continuas, derivadas e integral de Riemman 2. Introducción a la teoría de medida e integración a. Concepto de medida y de espacios medibles. Ejemplos. b. Funciones medibles e integración. c. Comparación entre la integral de Riemman y la de Lebesge d. Concepto de convergencia para medidas. e. Convergencia fuerte y débil f. Algunos teoremas importantes. 3. Procesos estocásticos a. Espacios de probabilidad b. Definiciones y ejemplos de procesos estocásticos c. Limite en probabilidad y otras definiciones de límite d. Valor esperado y valor esperado condicional. e. Procesos Brownianos y martingalas. f. Procesos de Markov g. Ecuaciones de Kolmogorov. 4. Introducción al cálculo estocástico a. Integral estocástica. b. La diferencial estocástica y los procesos de Ito. c. El lema de Ito. d. Algunas aplicaciones. 5. Introducción al análisis funcional a. Espacios vectoriales normados completos de dimensión infinita. b. Ejemplos especiales y prototipos c. Espacios de funciones y espacios de Banach d. Producto interno y espacios de Hilbert. e. Los espacios Lp y lp f. Espacios duales g. El teorema de representación de Hann-Banach h. Algunos teoremas de punto fijo: el de Brouwer y el de Schauder. i. Puntos fijos de operadores monótonos VI. Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6. Dixit,A., and R. Pindyck.1993. Investment under incertainty. Princeton Kolmogorov, A.N.,and S.V. Fomin. 1970. Introductory Real Analysis. Trans. R. Silvermanm. Prentice-Hall Malliaris,A.G. y W.H. Brock Stochastis Methods in Economics and Finance.. North Holland. 1982. Rudin,W. Mathematical analysis. Mcgraw-Hill Stokey,N y Lucas,R.,Jr.Recursive Methods in Economics Dinamics.Harvad University Press. 1989. -Takayama,A."Mathematical Economics".Dryden.1985.
