Espacios uniformemente no cuadrados. Coeficiente de James en

Espacios uniformemente no cuadrados.
Coeficiente de James en espacios de
Banach. Estructura normal
Introducción
En un anterior artículo se comentaron los llamados problemas del milenio de
las matemáticas [8], de los que se ha hablado en diversos artículos. Recordemos que
son siete problemas matemáticos cuya resolución está premiada por el Clay
Mathematics Institute, con la suma de un millón de dólares cada uno. Sólo uno de ellos
se ha podido resolver hasta la fecha: La conjetura de Poincaré [9]. Son todavía
problemas abiertos:
1. La hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en
1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de
Riemann. Por su relación con la distribución de los números primos en el
conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes
en la matemática contemporánea. [10]
2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación
que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe
una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o
infinito de soluciones racionales. [11]
3. La conjetura de Hodge dice que para variedad algebraicas proyectivas, los
ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos. [12]
4. La teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que
poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de
masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un
salto de masa.
5. Decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.
6. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y
gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen
todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las
ecuaciones y los múltiples términos acoplados.
Hablemos del problema (o la teoría) de Yang-Mills. Las leyes de física cuántica son al
mundo de las partículas elementales lo que las leyes de la mecánica clásica de
Newton son al mundo macroscópico. Hace casi medio siglo, Yang y Mills descubrieron
que la física cuántica revela una relación entre las partículas elementales y las
estructuras geométricas de ciertos objetos.
Estas descripciones geométricas (teóricas) han sido comprobadas experimentalmente
en laboratorio y también obtenidas mediante simulación computacional, pero no existe
edificada una teoría matemática que establezca un fundamento para las mismas.
En particular, la hipótesis de "abertura de masa", la cual es tomada como cierta por los
la mayoría de los físicos y usada en la explicación de la invisibilidad de los
"quarks", nunca ha recibido una justificación matemática satisfactoria. Para obtener
progreso en este problema se requiere la introducción de nuevas ideas fundamentales
que revolucionarían la física y la matemática.
El Modelo Estándar de la física de partículas se apoya en la teoría del campo cuántico,
sin embargo, aún debe demostrarse que esta teoría satisface al mismo tiempo la
mecánica cuántica y la teoría de la relatividad especial, es decir, que obedezca las
leyes de la física que conocemos... Yang-Mills es el nombre que se le da a esta teoría
y lo del intervalo (gap) de masa se debe a que se debe demostrar que los gluones
tienen masa distinta de cero (ya que se consideraba que tenían carga de color pero no
masa)
Situemos el contexto matemático de este artículo ya que es muy específico. En
matemáticas, un teorema del punto fijo es un resultado sobre si una función f tendrá
al menos un punto fijo (un punto x para el que f(x) = x), bajo algunas condiciones
generales sobre la función. De todos estos teoremas estudiaremos:
Teorema del Punto Fijo de Banach Si en un espacio métrico X completo tenemos una
función de X en X contractiva, es decir, tal que existe K<1 tal que
para cualesquiera
satisface f(x0) = x0.
, entonces existe un único punto fijo
, es decir, que
Aunque el primer teorema métrico del punto fijo fue dado por Stefan Banach en 1922,
podemos decir que la Teoría (métrica) del Punto Fijo se inicia en 1965 cuando
Browder, Göhde y Kirk prueban la existencia de puntos fijos para aplicaciones no
expansivas en espacios de Banach que verifican ciertas propiedades geométricas.
A partir de este momento muchos investigadores se preocupan por explotar esta
conexión, esencialmente considerando otras propiedades geométricas de los espacios
de Banach como la estructura normal, convexidad, suavidad…, que puedan ser
aplicadas para probar la existencia de puntos fijos para distintos tipos de operadores
lineales y “rebajar” otras propiedades más fuertes.
Para medir la estructura normal dábamos coeficientes introducidos por Bynum N(X),
BS(X) y WCS(X) [6] o Elisabetta Maluta D(X) [7].
De igual forma, Robert C. James definirá el coeficiente que lleva su nombre. Cuando el
coeficiente de James sea menor que 2, los espacios serán uniformemente no
cuadrados, estudiados en [4]. Este será objetivo de nuestro artículo.
Sepamos que estos espacios son reflexivos y además E. M. Mazcuñan probó en 2003
que tienen la propiedad del punto fijo. [13]
1. Definiciones y resultados previos.
Para hacer entendible al lector esta parte tan específica de las matemáticas
daremos unas definiciones previas que nos llevará a definir el coeficiente de
convexidad, introducido por Goebel, un buen parámetro para la teoría de punto fijo. Así
como los espacios con estructura normal tienen propiedades geométricas deseables
para los teoremas de punto fijo la convexidad también será un buen catalizador en
esta misión.
Definición 1.1 (Espacio de Banach) Un espacio de Banach es un espacio vectorial
normado ( , ||·||) sobre un cuerpo, tal que toda sucesión de Cauchy en
tiene un
límite en éste.
Definición 1.2 (Diámetro de un conjunto) Sea X un espacio de Banach y K un
subconjunto acotado de X. Definimos el diámetro de K por:
Definición 1.3 (Estructura normal) Un subconjunto convexo, acotado K de un
espacio de Banach X tiene estructura normal (n.s.) si cualquier subconjunto suyo
convexo H con más de un punto, contiene un punto no diametral, es decir, H contiene
un punto x 0 tal que
Definición 1.4 El módulo de convexidad de Clarkson de un espacio de Banach X es
una función:
Teorema 2.3 Si el módulo de convexidad de un espacio de Banach en el valor 1 es
positivo entonces X tiene estructura normal.
Demostración en [4]
Definición 2.4 Se define la característica de convexidad de un espacio de Banach X
como el número real:
Lema 2.5 En un espacio de Banach X se cumple:
2. Coeficiente de James y espacios uniformemente no
cuadrados.
Los espacios uniformemente no cuadrados fueron introducidos por James en
1964. Ya vimos en un artículo anterior que estos espacios se pueden caracterizar a
través de la característica de convexidad. Queda pendiente relacionarlos con la
reflexividad del espacio.
En este apartado iremos un poco más allá definiendo el coeficiente de James y su
relación con los espacios uniformemente no cuadrados.
Definamos un coeficiente que nos permite clasificar los espacios de Banach con
respecto a su convexidad. Las demostraciones se encuentran en [1] y [12]
Definición 2.1 Un espacio de Banach X se dice uniformemente no cuadrado si para
cualquier delta mayor que cero, y dos valores x e y del espacio se verifica:
Los espacios uniformemente no cuadrados pueden caracterizarse por medio del
coeficiente de convexidad. Son aquellos que cuyo coeficiente (de convexidad) es
menor que 2. Este será el objetivo central de nuestro artículo.
Proposición 2.2 Un espacio de Banach X es uniformemente no cuadrado si y sólo si
su característica de convexidad es menor que 2.
Recordemos el resultado que da sentido a estos espacios:
Proposición 2.3 (Goebel) X espacio de Banach con característica de convexidad
menor que 1 entonces X tiene estructura normal (uniforme) y la propiedad del punto
fijo.
Definición 2.4 El coeficiente de James de un espacio de Banach X está dado por
Este coeficiente juega un papel fundamental en la demostración de que un espacio de
Banach es uniformemente no cuadrado si y solo su dual lo es. Para realizar la prueba
necesitamos la siguiente relación.
Lema 2.5 Si X es un espacio de Banach, entonces
D) Para dos puntos cualesquiera a y b se verifica:
Si tomamos un epsilon mayor que cero tenemos que
Por el teorema de Hahn-Banch existen dos valores del dual u y v que verifican
Por tanto
Así que
Para probar la otra desigualdad partiremos de dos valores del dual u y v y Epsilon
mayor que cero. Entonces existirán dos valores del espacio x e y tales que
Así que
De lo anterior se sigue
Pasemos a demostrar el principal resultado de nuestro artículo.
Proposición 2.6. Sea un espacio de Banach. Son equivalentes:
1. X es uniformemente no cuadrado.
2. El coeficiente de James es menor que 2.
3. El espacio dual de X es uniformemente no cuadrado.
Demostración.
Sea delta mayor que cero tal que para cualesquiera x e y se cumple que:
Entonces
Como
entonces existe delta mayor que cero tal que el coeficiente de James del espacio es
menor que 2 menos delta. Luego, para cualesquiera x e y se cumple que:
Como el coeficiente de James del espacio es menor que 2 usando el lema anterior
Ahora, como
por (2) implica (1) tenemos que el espacio dual es uniformemente no cuadrado
Como el dual de X es uniformemente no cuadrado, por (1) implica (2) tenemos que su
coeficiente de James del espacio dual es menor que 2. Usando el lema anterior
Por último comentar que todo espacio de Banach uniformemente no cuadrado es
reflexivo, resultado cuya demostración en [13] sobrepasa el objetivo de este artículo.
Bibliografía
[1] Rivera, Juan Antonio “Estructura Normal en Espacios de Banach”. Catálogo Fama
de la Universidad de Sevilla.
[2] Rivera, Juan Antonio “Espacios de Banach y teorema del punto fijo de Banach
dentro de las Matemáticas.” publicado el 17/03/2010 en la revista digital “Temas para
la educación nº7”.
[3] Rivera, Juan Antonio “¿Qué espacios de Banach tienen estructura normal?”
publicado el 17/05/2010 en la revista digital “Temas para la educación nº8”.
[4] Rivera, Juan Antonio “Módulos de convexidad y estructura normal.” publicado el
17/05/2010 en la revista digital Temas para la educación nº8.
[6] Rivera, Juan Antonio “Primeros coeficientes de Estructura Normal en espacios de
Banach” publicado el 17/09/2010 en la revista digital Temas para la educación nº10.
[7] Rivera, Juan Antonio “Coeficiente D(X) de Estructura Normal en espacios de
Banach” publicado el 17/11/2010 en la revista digital Temas para la educación nº11.
[8] Rivera, Juan Antonio Relación entre los coeficientes de estructura normal de N(X)
y WCS(X) y el módulo de convexidad publicado el 17/05/2013 en la revista digital
“Temas para la educación nº24”.
[9] Rivera, Juan Antonio Estructura normal uniforme publicado el 18/11/2013 en la
revista digital “Temas para la educación nº25”.
[10] Rivera, Juan Antonio Relación entre el coeficiente de estructura normal WCS(X) y
el módulo de suavidad en espacios de Banach publicado el 18/11/2013 en la revista
digital “Temas para la educación nº25”.
[11] Rivera, Juan Antonio Teorema de Kirk y estructura normal publicado el //2014 en
la revista digital “Temas para la educación nº28”.
[12] Rivera, Juan Antonio Espacios de Banach uniformemente no cuadrados.
Estructura normal publicado en la revista digital “Temas para la educación nº28”.
[13] Robert C. James, “Uniformily non-square Banach spaces” Ann. of Math. 80
(1964), número 2, 542-550-