ASIGNACION 1: Ecuaciones de Diferencias Universidad de Puerto Rico en Humacao MECOBI 2004 26 de Agosto del 2004 Fecha de Entrega: Martes 7 de Septiembre (1) Supongamos que la densidad de moscas en un pantano esta descrita por la siguiente ecuación: xt 1 R xt R xt2 2000 Considere tres valores de R, seleccionados de los siguientes rangos: (a) 1 R 3.00 (b) 3.00 R 3.449 (c) 3.570 R 4.00 Para cada valor de R construya el diagrama de cobweb. Describa cualitativamente el comportamiento en cada caso y trace la gráfica xt vs, t. NOTA: Utilice un número de iteraciones (t) que le permita observar el comportamiento general de la ecuación. (2) La siguiente ecuación describe la población de insectos en un manglar en años sucesivos: xt 1 α xt exp( β xt3 ), donde y son números positivos y xt 0. (a) Construya el diagrama de cobweb para 2.720.33yx137 (b) Determine los puntos fijos y su estabilidad. (c) ¿Cuál será una posible dinámica del sistema para el límite t ? (3) Como parte del proyecto LTER (Long Term Ecological Research) de Luquillo se viene realizando un monitoreo de la población de camarones de río en Quebrada Prieta (El Verde) desde el 1988 hasta el presente. El monitoreo se realiza cada dos meses y consiste del número de camarones para cada una de las tres especies: Atya lanipes, Xiphocaris elongata, y Macrobrachium spp. Los datos originales están disponibles en la página del LTER http://luq.lternet.edu/data/lterdb54/metadata/lterdb54.htm. Para este ejercicio utilizaremos un archivo de datos llamado camarones.txt el cuál esta organizado de la siguiente manera: 1 2 3 4 . . . 184 435 530 547 . . . 182 337 358 300 . . . 7 10 14 11 . . . 373 782 902 858 . . . La primera columna comienza en 1 y es en orden ascendente y corresponde al número del muestreo o el tiempo (recordando que transcurren dos meses entre cada muestreo). La segunda columna es el número de camarones de la especie Atya lanipes, la tercera es el número de Xiphocaris elongata, y la tercera es el número de Macrobrachium spp. La cuarta columna corresponde al total de camarones de las tres especies. El archivo camarones.txt lo pueden bajar de la página del curso en la localización que se indique en clase. (a) Utilizando la función ImportMatrix grafique Nt vs. t para cada una de las tres especies de camarones. Para simplificar las cosas en el eje de x pueden utilizar los datos de la columna 1 como si fuera el tiempo. Recuerden rotular los ejes de las gráficas e incluir títulos que muestren la especie que se esta graficando. (b) Proponga un modelo de diferencias finitas lineal para describir aproximadamente los datos para cada especie. Trace la gráfica de la solución del modelo lineal y superpóngasela a los datos. La gráfica resultante deberá mostrar los datos para cada especie y una línea continua con el modelo correspondiente. (c) Evalué críticamente los modelos propuestos en términos de su capacidad de descripción de la dinámica poblacional. ¿Será mejor la capacidad de descripción del modelo si en lugar de los datos bimensuales utilizamos un promedio anual?