Murguia Ochoa Jaime Ensayo 2 control I Ingeniería de control moderna Katsuhiko Ogata Para realizar el análisis en los sistemas de control al emplear ecuaciones diferenciales es bastante complicado debido a la multiplicidad de entradas y salidas ya que un sistema puede contar con centenares de entradas y salidas. Para simplificar las expresiones de los sistemas de ecuaciones, es ventajoso utilizar la notación vectorialmatricial, que es en el trabajo teórico una forma más sencilla. Una matriz se define como un conjunto rectangular de elementos que pueden ser valores complejos, números reales, funciones u operadores. Se dice que dos matrices son iguales si y solo si cada uno de los elementos correspondientes son iguales. Existen los vectores fila n y los vectores columna m. matriz cuadrada es aquella que el numero de filas es exactamente igual en cantidad al numero de columnas. La diagonal es: si los elementos que están afuera de la matriz principal de una matriz cuadrada A son cero se dice que A es una matriz diagonal. La matriz identidad o la matriz unidad es una matriz cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y los demás elementos son igual a cero. Las propiedades de una matriz son: 1. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas cualesquiera, el valor determinante cambia de signo. 2. Si cualquier fila o columna tiene todos sus elementos igual a cero, el valor del determinante es cero 3. Si los elementos de cualquier fila o columna son exactamente k veces los de otra fila o de otra columna, el valor del determinante es igual a cero. 4. Si a cualquier fila o columna se le suma otra fila o columna multiplicada por una constante, el determinante permanece inalterado. 5. Si se multiplica un determinante por una constante, solo una fila o columna es multiplicada por esa constante. Nótese, sin embargo, que el determinante de k veces una matriz A de n x n kn veces el determinante de A, o sea /kA/ = kn/A/. 6. El determinante de dos matrices cuadradas A y B es el producto de dos determinantes, o sea /AB/ = /A//B/. Se dice que cuando el determinante asociado es igual a cero es una matriz singular y la matriz no singular su determinante no asociado no es igual a cero, también existe la transpuesta, matriz simétrica, matriz anti simétrica, matriz conjugada, conjugada transpuesta, la hermitica y la anti-hermitica. En este tipo de matrices anteriormente señaladas se aplican todas las operaciones aritméticas. Los sistemas que se deberán cumplir para hacer un análisis de un sistema de control ya sea neumático, hidráulico, mecánico o eléctrico son: 1. Plantear la ecuación diferencial del sistema. 2. Tomar la transformada de Laplace de la ecuación diferencial suponiendo todas las condiciones iniciales en cero. 3. Hallar la relación de la salida Y(s) respecto a la entrada X(s), esto es la función de transferencia, desde luego el sistema deberá ser lineal e invariante en el tiempo. Para poder determinar que un sistema es lineal se toman los dos criterios de linealidad que sea homogéneo y lo que implica el principio de superposición. Es importante señalar que para sistemas de redes eléctricas a menudo se encuentra muy conveniente escribir directamente las ecuaciones transformadas de Laplace sin plantear directamente las ecuaciones diferenciales. En un sistema de control es necesario diseñar un diagrama de bloques. Un diagrama de bloques es la representación grafica del sistema, y muestra la interrelación que existe entre los componentes del sistema, señalando también el sentido del flujo de las señales de tal forma que tendremos un acercamiento mas próximo al flujo real. Existen diferentes tipos de análisis en diagrama de bloques por ejemplo el de un sistema de lazo cerrado, el de lazo cerrado sometido a una perturbación, etc. Para trazar un diagrama de bloques de un sistema primero se escriben las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente, luego se toman las transformadas de Laplace de esas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales de cero y se representan individualmente cada ecuación de transformada de Laplace en forma de bloques y finalmente se juntan los elementos en un diagrama de bloque completo. Gráficos de flujo de señal, para un sistema muy complicado de proceso de reducción del diagrama de bloque se hace muy laborioso, una alternativa para resolver este tipo de problemas es el proceso grafico de flujo de señal debido a S. J. Masón. Gracias a que existe la formula de ganancia denominada formula de ganancia de Masón la cual da las relaciones entre las variables del sistema sin requerir una reducción de grafico. Las partes de un grafico de flujo de señal son: nudo, transmitancía, rama, nudo de entrada o fuente, nudo de salida o sumidero, nudo mixto o trayecto, lazo, ganancia de lazo, lazos disjuntos, trayecto directo, ganancia de trayecto directo.