determinantes. A.1

CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Parte A: determinantes.
A.1- Definición.
Por simplificar, consideraremos que a cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado
determinante que se calcula siguiendo un conjunto de propiedades.
A.2- Matriz inversa.
Se define la matriz inversa de
y se denota por
a aquella matriz que verifica
y
siendo la matriz identidad.
La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea regular (es decir, que
) es que
su determinante sea distinto de cero.
A.3- Propiedades de los determinantes
Sea
una matriz cuadrada. Se verifican las siguientes propiedades:
Al multiplicar una fila o columna de
es igual al producto
por un escalar
el determinante de la matriz resultante
.
, siendo
- Ejemplo: calcular el determinante de una matriz
Tomando determinantes en la igualdad
antisimétrica de orden impar.
resulta
la matriz. Como n es impar la igualdad anterior equivale a
, siendo n el orden de
de donde se sigue que
.
- Ejemplo: ¿Existe una matriz antisimétrica de orden 5 que verifique la ecuación
?
(indicación: tomar determinantes a ambos lados de la igualdad)
Si la suma de todos los elementos de cada fila (o columna) de una matriz es múltiplo de n,
entonces el determinante de dicha matriz es múltiplo de n.
Si se cambia el orden de dos filas (o columnas) de una matriz, el determinante cambia de
signo:
Si en un determinante una fila (o columna) se puede descomponer como la suma de dos
elementos entonces el determinante se puede descomponer como la suma de dos
determinantes tal como se indica a continuación:
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El determinante de una matriz vale cero si y solo sí una fila (o columna) es combinación lineal
de las restantes filas (o columnas) de la matriz.
El determinante de una matriz no varía si a una fila (o columna) se le suma una combinación
lineal de las restantes fila (o columnas) de la matriz.
A.4- Menor complementario.
Dada una matriz
se denomina menor complementario del elemento
al determinante
obtenido al suprimir la fila y la columna del determinante inicial. Se denotará
.
A.5- Adjunto de un elemento.
Dada una matriz
se denomina adjunto de un elemento y se denota por
al valor
A.6- Cálculo de determinantes.
Matriz de orden 2:
Matriz de orden 3:
A.7- Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna.
Si tenemos una matriz
su determinante se puede obtener desarrollando por la fila :
También se puede obtener desarrollando por la columna j:
A.8- Regla de Chio o del elemento pivote.
Para calcular un determinante de orden n podemos hacer que todos los elementos menos uno de una
fila o columna sean cero empleando las propiedades de los determinantes. Después, se desarrolla dicho
determinante por la fila o columna en cuestión.
A.9- Triangulación.
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Podemos transformar un determinante en otro triangular utilizando las propiedades de los
determinantes. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal
principal.
A.10 Determinantes y matrices.
A.10.1- Rango de una matriz
El rango de una matriz de orden mxn es el número de columnas o filas linealmente independientes de
dicha matriz. Se puede demostrar que el número de columnas de una matriz que son linealmente
independientes de una matriz es igual al número de filas linealmente independientes de dicha matriz,
por lo que la definición anterior es consistente.
A la hora de hacer cálculos, el rango de una matriz es el orden del mayor determinante no nulo que se
puede formar con sus filas y columnas.
A.10.2- Inversa de una matriz
Dada una matriz cuadrada
Siendo
de determinante no nulo su inversa viene dada por la siguiente expresión:
la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.
Otra forma de calcular la inversa de una matriz consiste en realizar transformaciones de tipo fila a la
matriz hasta obtener la matriz identidad. Si hacemos las mismas transformaciones a la matriz identidad
obtendremos la inversa de dicha matriz.
A.10.3- Determinante de un producto.
Si
son matrices cuadradas de orden :
A.10.4- Menores principales
Sea
una matriz cuadrada de orden . Se denomina menor principal de orden
obtenido al suprimir
a todo determinante
filas y columnas correspondientes a elementos de la diagonal principal.
- Ejemplo: los menores principales de orden 2 de la matriz
son
.
Los menores principales de orden 1 de la matriz anterior son 1,1,2.
Parte B: Sistemas de ecuaciones.
B.1- Definición
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto definido de la siguiente forma:
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Se dice que este sistema tiene m ecuaciones y n incógnitas.
B.2- Representación matricial y vectorial.
Si tomamos
,
entonces el sistema anterior se puede
.
expresar en la forma
Si
,
tomamos
,
,…,
y
entonces el sistema admite la representación vectorial
La matriz
se denomina matriz de coeficientes y la matriz
- Ejemplo: sea el sistema
y
Si
se denomina matriz ampliada.
un conjunto de soluciones del mismo. Determinar la
para que
condición que deben verificar
= .
sea solución del sistema.
es solución del sistema tenemos que
operando la parte izquierda de la igualdad y teniendo en cuenta que
igualdad
,
,
,… se obtiene la
de donde se sigue inmediatamente que la condición pedida es
si
cualquier valor de
. Si
entonces
es solución del sistema para
.
B.3- Solución de un sistema
Una solución del sistema
es un vector
tal que se verifica
. Un sistema de ecuaciones
lineales puede tener 0,1 o infinitas soluciones.
Si el sistema tiene 1 solución diremos que es compatible determinado, si tiene 0 soluciones diremos que
es incompatible y si tiene infinitas soluciones diremos que es compatible indeterminado.
B.4- Sistemas equivalentes
Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para obtener
sistemas equivalentes de ecuaciones se pueden emplear las mismas operaciones que para obtener
sistemas equivalentes de vectores (sumarle a una ecuación una combinación lineal de las demás,
multiplicar una ecuación por un escalar,...)
Un método muy usual consiste en transformar un sistema en otro lo más triangular posible (método de
Gauss). Al triangular un sistema podemos obtener tres situaciones diferentes:
- La última ecuación tiene una incógnita con coeficiente distinto de cero. En ese caso el sistema es
compatible determinado.
- La última ecuación tiene más de una incógnita con coeficientes distintos de cero. En ese caso el
sistema es compatible indeterminado.
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- La última ecuación es de la forma
, siendo
. En este caso el sistema es
incompatible.
B.5- Solución de un sistema de ecuaciones.
Los sistemas de Krammer son sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas con
, o también por
(compatibles). Su solución viene dada por
obtiene al sustituir la i-sima columna de
siendo
la matriz que se
por el vector de términos independientes .
Teorema de Rouche-Frobenius.
Si tenemos un sistema representado en forma vectorial
dicho sistema tiene solución si y solo sí
y
= es fácil ver que
es combinación lineal de
se deduce que
.
Como
si el sistema tiene
solución (es compatible).
Enunciado: Un sistema
es compatible si y solo si
. Además se tiene que:
- Si nº incógnitas=
el sistema es compatible determinado.
- Si nº incógnitas>
el sistema es compatible indeterminado.
B.6- Sistema homogéneo.
El sistema
se dice que es homogéneo si
.
Todo sistema homogéneo admite solución trivial, y si
=0 el sistema es compatible indeterminado y
admite soluciones distintas de la trivial.
B.7- Determinante de Vandermonde
Se dice que un determinante es de Vandermonde si es de la forma:
(Es aconsejable simplificar el determinante y desarrollarlo por la primera fila para ver que se obtiene la
parte izquierda de la igualdad)
La definición es análoga para matrices
.
-Resumen capítulo 3
Igual que en el capítulo 1, muchas cosas de este tema deberían ser conocidas del bachillerato.
Si es así, basta con que practiquéis haciendo cuestiones y problemas de examen de otros años
para coger una cierta soltura de cara a los exámenes.
Por otra parte, suelen aparecer cuestiones que valen entre 1 y 1.5 puntos tanto en el examen
intercuatrimestral como en el cuatrimestral.
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Las cuestiones del examen de octubre se suelen centrar más en la parte A del tema y también
emplean propiedades sobre la transposición de matrices para su resolución (como ya vimos en
el resumen del capítulo 1), aunque también puede aparecer alguna cuestión en la que sólo
haya que emplear propiedades de los determinantes. Un ejemplo sería:
CUESTIÓN 2 (intercuatrimestral noviembre 2009, 1.5 puntos)
Calcular el orden del siguiente determinante para que se verifique la igualdad:
- Solución 1: en un principio esta cuestión puede ser un poco “intimidante” en el sentido de
que tenemos que calcular un determinante de una matriz de orden , donde puede ser todo
lo grande que se desee (a priori al menos). Sin embargo, al tratarse de una cuestión de 1.5
puntos tiene que haber alguna forma fácil de calcular el determinante anterior. En efecto, si le
restamos la primera fila al resto de filas el determinante queda:
Como todos los elementos por debajo de la diagonal principal del último determinante son
cero se sigue que el valor del determinante es igual al producto de los elementos de la
diagonal principal, es decir,
Simplemente “a ojo” se obtiene que
por lo que el orden pedido es .
- Solución 2: si no se nos ocurre restarle la primera fila a todas las demás todavía podemos
contestar correctamente la cuestión y obtener toda la puntuación. Una buena estrategia a la
hora de contestar cuestiones donde aparece un genérico (aquí es el orden de un
determinante) consiste en resolver el problema para valores pequeños de
Notad que en realidad no nos piden calcular el determinante para todo
encontrar un concreto. Para el caso
Para el caso
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y ver qué pasa.
sino que nos piden
el determinante queda:
el determinante queda:
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Para el caso
el determinante queda:
Para calcular este determinante necesitamos tener una fila (o columna) cuyos elementos sean
todos ceros menos uno para poder desarrollar el determinante por dicha fila (o columna). Para
cambiar un poco respecto a la otra solución vamos a desarrollar el determinante por la cuarta
columna. Si le restamos a la segunda fila la primera, a la tercera la primera y a la cuarta cuatro
veces la primera el determinante queda:
Por lo que podríamos concluir que el valor pedido es
caso general. Incluso si no llegamos a resolver el caso
sin necesidad de haber hecho el
es preferible hacer los casos
antes que dejar la cuestión en blanco para rascar algunas décimas.
Las cuestiones del examen cuatrimestral se suelen centrar más en la parte B del tema y en
ocasiones es necesario emplear alguna propiedad de subespacios vectoriales para resolverlas
completamente. El siguiente ejemplo es un clásico (que es una forma sutil de decir que es
importante porque cae con una cierta periodicidad):
PROBLEMA 1 (cuatrimestral febrero 2011, 1.5 puntos)
Discutir para los distintos valores de los parámetros
Resolver el sistema para aquellos valores de
el sistema de ecuaciones lineales:
para los que sea compatible
indeterminado. ¿Es en este caso el conjunto de soluciones del sistema un subespacio vectorial
de ? Razonar la respuesta.
En primer lugar comentaré algo muy importante de este tipo de cuestiones: como el vector
nulo pertenece a todo subespacio vectorial la condición necesaria y suficiente para que las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales tengan estructura de espacio vectorial es que
en la columna de términos independientes todos los elementos sean cero. En este caso, sin
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embargo, la columna de términos independientes tiene términos no nulos
independientemente de los valores que tomen
por lo que vector nulo no es solución del
sistema (si hacemos
en la primera ecuación obtenemos
). Por tanto,
podemos afirmar que el conjunto de soluciones del sistema no va a ser un subespacio vectorial
en ningún caso y contestar la segunda parte de la cuestión de un golpe de vista y
de
haciendo una cuenta trivial.
Para estudiar el sistema calculamos primero el valor del determinante de la matriz de
coeficientes:
de donde se sigue que si
. Si
el sistema es compatible determinado para cualquier valor de
podemos expresar el sistema en forma matricial:
Es claro que los coeficientes de la última ecuación son la suma de los coeficientes de la primera
ecuación y la segunda ecuación por lo que para que el sistema tenga soluciones es necesario
que
. Si
podemos prescindir de la última ecuación y resolver el sistema:
haciendo
, pasando la variable
a la columna de términos independientes y resolviendo
el sistema resulta
, y hemos terminado.
Veamos otro ejemplo donde no aparecen subespacios vectoriales:
CUESTIÓN 2 (examen enero 2012, 1 punto)
Estudiar si el siguiente sistema de ecuaciones puede ser un sistema compatible indeterminado
para dos valores del parámetro real
En primer lugar calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
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Para que el sistema sea compatible determinado necesitamos que dicho determinante se
anule, por lo que nuestra única posibilidad es que tanto para
como para
el
sistema sea compatible indeterminado.
Veamos el caso
. El sistema queda:
que claramente es compatible indeterminado. Veamos el caso
. El sistema queda:
Si cambiamos las dos primeras ecuaciones de signo y las sumamos obtenemos la tercera
ecuación, por lo que podemos prescindir de la última ecuación y resolver el sistema pasando la
variable a la columna de términos independientes. Haciendo
se obtiene que las
soluciones del sistema son de la forma
por lo que el
sistema es compatible indeterminado y, por tanto, existen dos valores del parámetro
que
hacen que el sistema sea compatible indeterminado.
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