HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO: EJERCICIO4 (CORTANTE) Patricia Santos Sánchez DNI. 70889545-A EJERCICIO 4: La viga indicada está sometida a una carga permanente uniforme de 10kN/m, y a una carga de uso de 100kN, en el centro del vano. Se puede considerar que el control de ejecución fue intenso. La sección es 0,50·0,45 (ancho * canto). Definir las armaduras longitudinales y transversales necesarias, es decir, su armadura. HA25, B400S. Se apoya en los extremos en sendos de apoyos cuadrangulares de 0,30·0,30. SOLUCIÓN: Aplicación de los niveles de control (95.5): Lo primero que hay que hacer es mayorar las cargas, para ello tenemos el dato del enunciado que nos dice que el nivel de control de ejecución ha sido intenso. Mirando la tabla 95.5 obtenemos entonces: Carga de 10kN/m es una carga permanente: G= 1,35 10kN/m · 1,35= 13,5kN/m Carga de 100Kn es una carga permanente de valor no constante: G*= 1,50 100kN · 1,50= 150kN Cálculo de las reacciones: F=0 Ax=Bx Ay + By= 150 + (13,5 · 8)=258 MA=0 (By· 8) = (150 · 4) + (13,5 · 4 · 8)= 1.032 By= 1.032/8= 129kN Ay + By= 258, Ay = 258 - By = 258 – 129= 129kN Ay = By = 129kN Estamos ante un sistema hiperéstatico de grado uno. Quitamos un apoyo Ax = 0. Cálculo de momentos flectores: Tenemos dos tramos: 0 x 4: F=0 V= Ay – (13,5 · x)= 129 – (13,5 · x) -RECTA- MG=0 M= (Ay · x) – (13,5 · x · x/2)= = (129 · x) – (13,5 · x2/2) Para x= 0 -PARÁBOLA- V= 129kN M= 0 Para x= 4 V= 75kN M= 408 kN·m 4 x 8: F=0 V= Ay – (13,5 · x) – 150 = 129 – (13,5 · x) -150 -RECTAMG=0 M= (Ay · x) – (13,5 · x · x/2) – [150 · (x-4)]= = (129 · x) – (13,5 · x2/2) - [150 · (x-4)] -PARÁBOLA- Para x= 4 V= - 75kN M= 408kN·m Para x= 8 V= - 129kN M= 0 Representación gráfica: Como no hay esfuerzos normales, nos encontramos en un caso de flexión simple (excentricidad= 0). Con este dato, ya podemos realizar el dimensionamiento correspondiente, siguiendo las fotocopias para este caso FOTOCOPIAS: Dimensionamietno para un Md conocido. (Sección rectangular, flexión simple). Realizamos los cálculos para la sección más débil, que es aquella en la que se da el mayor momento flector: M= 408kN·m: Suponemos un recubrimiento de 3cm, luego: d= 0,45 – 0,03= 0,42m Resistencia de cálculo del hormigón (39.4): fcd= fck/c fck: resistencia característica de proyecto= 25N/mm2 (Por ser un hormigón HA-25). c: coeficiente parcial de seguridad= 1,5 fcd= fck/c= 25/1,5= 16,67N/mm2 Como los datos del ejercicio vienen expresados en kN, ponemos todo en las mismas unidades: fcd= 16.667kN/m2 = 408 / (0,50 · 0,422 · 16.667)= 0,278 Como = 0,278 > 0,252, estamos en el caso 1-d de las fotocopias (canto inferior al mínimo). Por lo tanto, hay que colocar armadura de compresión. Cuantía de la armadura de compresión: ’= d2/d= 0,03 / (0,50-0,03)= 0,03 / 0,42= 0,0714 U’= ’· b · d · fcd= 0,0280 · 0,50 · 0,42 · 16.667= 98,001 Miramos en la tabla para fyk= 400N/mm2, y obtenemos que: 410 410 Cuantía de la armadura de tracción: = ’ + 0,310 = 0,0280 + 0,310= 0,338 U= · b · d · fcd= 0,338 · 0,50 · 0,42 · 16.667= 1.183,024 Miramos en la tabla para fyk= 400N/mm2, y obtenemos que: 725 725 El esfuerzo cortante va a producir un incremento en la armadura longitudinal de tracción debido a un componente de aportación de cortante: a efectos de cálculo de la necesidad de las armaduras de tracción se desplaza la curva de momentos más desfavorable una distancia igual al canto útil. Las necesidades de armaduras las definimos con las líneas ya desplazadas (cambia la longitud de las barras). Este cálculo lo realizamos gráficamente: Damos valores a x para definir nuestra parábola: M= (129 · x) – (13,5 · x2/2) X= 0, M= 0 X= 1, M= 122,25 X= 2, M= 231 X= 3, M= 326,25 X= 4, M= 408 Anclaje de armaduras pasivas (66.5): atendiendo a la posición que ocupa la barra en la pieza: Posición I: de adherencia buena, para armaduras que durante el hormigonado forman con la horizontal un ángulo comprendido entre 45º y 90º o que en el caso de formar un ángulo inferior a 45º, están situadas en la mitad inferior de la sección o a una distancia igual o mayor a 30cm de la cara superior de una capa de hormigonado. Anclaje de las barras corrugadas (66.5.2): utilizamos la expresión de este apartado para barras en posición I: = diámetro de la barra= 2,5 m: coeficiente numérico, con los valores indicados en la tabla 66.5.2.a en función del tipo de acero, obtenido a partir de los resultados experimentales realizados con motivo del ensayo de adherencia de las barras m= 12, por tener un hormigón HA25 y un acero B400S. fyk: límite elástico garantizado del acero en N/mm2, en este caso fyk= 400 N/mm2 lbl= 12 · 2,52= 75 (fyk / 20) · = (400 / 20) · 2,5= lbl < (fyk / 20) · = 20 · 2,5= 50 Seguimos con nuestros cálculos, pasamos ahora a la longitud neta de anclaje, que se define como: =1 (tabla 66.5.2.b, por ser prolongación recta) As,1= 3 (gráfica) As,2= 5 (gráfica) As,real= 7 lb,neta,1= 75 · 1 · (3/7)= 32,143 lb,neta,2= 75 · 1 · (5/7)= 53,57 Estos datos los añadimos a nuestra gráfica. De este modo quedaría lo siguiente: 325: hasta el final 525: aproximadamente 3,30m desde el centro 725: aproximadamente 2,30m desde el centro DIMENSIONAMIENTO PARA ESFUERZOS CORTANTES (ARTÍCULO 44): El estado límite último de agotamiento viene definido por la expresión: Vrd= Vd + Vdp + Vcd Vd= valor del cortante de cálculo. Vdp= componente paralela, como no hay fuerzas de pretensado su valor es cero. Vcd= valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la resultante de tensiones normales a la sección. Lo primero que hacemos son las comprobaciones: Compresión oblicua del alma (44.2.3.1): en los apoyos no se comprueba en el eje del apoyo, sino en el borde. Tracción: se comprueba a una distancia del borde del apoyo igual al canto útil. Hay que ver que no se supera el estado límite por compresión ni por tracción: Vrd Vu1 Vrd Vu2 COMPROBACIÓN DEL AGOTAMIENTO POR COMPRESIÓN OBLICUA EN EL ALMA: x= 0,15 (borde del apoyo): Valor del cortante de cálculo: Lo obtenemos del cálculo de momentos flectores que realizamos antes: V= 129 – (13,5 · x) V= 129 – (13,5 · 0,15)= 129 – 0,025= 126,975= Vd Valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la resultante de tensiones normales a la sección: Vcd= (M/z) tg M: momento flector de cálculo para la sección. z: brazo de la biela, que es igual a: 0,8 · canto= 0,8·h. : ángulo de la cara inferior con el eje de la pieza. Es positivo cuando el canto crece en el mismo sentido que crece el valor absoluto del momento flector. Para x= 0,15 tendremos que: M= (129 · x) – (13,5 · x2/2)= (129 · 0,15) – (13,5 · 0,152/2)= = 19,35 – 0,152= 19,198kN·m h’= tg15 · 0,5= 0,134m h= 0,45m (nos lo da el enunciado) Canto total= h+h’= 0,45 + 0,134= 0,584m Vcd= (M/z) tg= [19,198 / (0,8·0,584)]·tg15= = 41,092·tg15=11,010kN COMPROBACIÓN DEL AGOTAMIENTO POR TRACCIÓN EN EL ALMA: La norma nos dice, en el apartado (44.2.3), que la comprobación se efectúa para una sección situada a una distancia de un canto útil del borde del apoyo directo. Esto nos indica el valor de x, que en nuestro caso será: x= 0,42 + 0,15= 0,57 x= 0,57: Valor del cortante de cálculo: Lo obtenemos del cálculo de momentos flectores que realizamos antes: V= 129 – (13,5 · x) V= 129 – (13,5 · 0,57)= 129 – 7,695= 121,305= Vd Valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la resultante de tensiones normales a la sección: Vcd= (M/z) tg z= 0,8 · h= 0,8 · 0,45= 0,36m M= (129 · x) – (13,5 · x2/2)= (129 · 0,59) – (13,5 · 0,592/2)= = 76,11 – 2,350= 73,760kN·m Vcd= (73,760 / 0,36) · tg15= 54,90kN EL ESTADO LÍMITE ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO VIENE DEFINIDO POR LA EXPRESIÓN: Vrd= Vd + Vcd Agotamiento por compresión: Vd= 126,975kN Vcd= 11,010kN Vrd= 126,975 - 11,010= 115,965kN. Restamos porque el cartabón decrece. Agotamiento por tracción: Vd=121,305kN Vcd= 54,90kN Vrd= 121,305 - 54,90= 66,405kN. Restamos porque el cartabón decrece. Realizamos ahora los cálculos de Vu1 y Vu2. Según el apartado 44.2.3.1. Usamos la expresión de los comentarios: Vu1= 0,30·fcd·b0·d Vu1= 0,30 · 16.667 · 0,50 · 0,42= 1050,021 Comparamos con el valor del agotamiento por compresión: Vrd= 115,965kN < 1050,021kN= Vu1 Según el apartado 44.2.3.2. Como tenemos una pieza con armadura de cortante, seguimos los pasos de 44.2.3.2.2: El esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma vale: Vu2= Vcu + Vsu Vcu: contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante. Calculamos su valor con la expresión de los comentarios: Vcu= 0,10·(100·l·fck)1/3·b0·d Para calcular tenemos que tener nuestras unidades en N y mm: fck= 25 N/mm2 = 1 + (200/d)1/2= 1+ (200/420)1/2= 1,690 l: cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada, pasiva y activa adherente, anclada a una distancia igual o mayor que d a partir de la sección de estudio. Tenemos 3 barras de 25, entonces: As= 3··(25/2)2= 1.472,622mm2 Ap= 0 b0= 500mm d= 420mm l= 1.472,622/(500·420)= 7,012*10-3 Como l= 7,012*10-3 > 0,02 Vcu= 0,10·(100·l·fck)1/3·b0·d= = 0,10 · 1,690·(100 · 7,012*10-3 · 25)1/3· 500 · 420= = 92.193,430N= 92,193kN Vsu: contribución de la armadura transversal de alma a la resistencia a esfuerzo cortante. Vsu= A90·fy90,d·0,90d A90·fy90,d= U90 Vsu= U90 · 0,90d= U90 · 0,90 · 0,42 Vu2, como poco ha de valer Vrd= 66,405kN. Con este valor límite efectuamos nuestros cálculos: Vu2= Vrd Entonces: Vu2= Vcu + Vsu 66,405= 92,193 + (U90 · 0,90 · 0,42) U90= 68,222 Hay que restar Vsu: Vsu= U90 · 0,90 · 0,42= -(68,222 · 0,90 · 0,42)= -25,787 Vu2= Vcu + Vsu= 92,193 - 25,787= 66,405kN Vrd= 66,405kN 66,405kN = Vu2 Con el valor vamos al apartado 44.2.3.4 (Disposiciones relativas a las armaduras). Realizaremos ahora los cálculos para nuestro caso: Armaduras transversales (4.3.2.4.1): Este apartado nos dice que la separación st entre armaduras transversales deberá cumplir unas condiciones determinadas para asegurar un adecuado confinamiento del hormigón sometido a compresión oblicua: Si Vrd < (1/5) . Vu1 st= 0,80d > 300 Realizamos esta primera comprobación par aver encontramos en este caso: Vu1= 1050,021kN (1/5) Vu1= (1/5)· 1050,021= 210,004 kN Vrd= 115,965kN Vrd= 115,965kN < 210,004 kN= (1/5) Vu1 si nos Como se cumple lo anterior podemos calcular st con la expresión st= 0,80d > 300: st= 0,80d= 0,80 · 420= 336 > 300, y como no puede ser mayor, tomamos 300mm. A continuación, vamos a las fotocopias de esfuerzo cortante de agotamiento que absorben los estribos de dos ramas para una fyk=400N/mm2: (U90= 68,222) S/d = 300 / 420 = 0,7 Armaduras: 4 x 25 [4·17,6= 70,4] 25 REALIZAMOS LA COMPROBACIÓN TAMBIÉN PARA LA ZONA EN LA QUE YA NO HAY CARTABÓN: Valor del cortante de cálculo: Lo obtenemos del cálculo de momentos flectores que realizamos antes: x= 0,15 + 0,50= 0,65 Repetimos nuestros cálculos para este valor: V= 129 – (13,5 · x) V= 129 – (13,5 · 0,65)= 120,225kN= Vd Valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la resultante de tensiones normales a la sección: Vcd= (M/z) tg z= 0,8 · h= 0,8 · 0,45= 0,36m M= (129 · x) – (13,5 · x2/2)= (129 · 0,65) – (13,5 · 0,652/2) = 83,85 – 2,852= 80,998kN·m =180º para este caso, porque ya no hay cartabón. Vcd=0 Estado límite último de agotamiento: Vrd= Vd + Vdp + Vcd Vrd= Vd Vrd= 120,225kN Realizamos ahora los cálculos de Vu1 y Vu2. Según el apartado 44.2.3.1. Usamos la expresión de los comentarios: Vu1= 0,30·fcd·b0·d Vu1= 0,30 · 16.667 · 0,50 · 0,42= 1050,021 Comparamos con el valor del agotamiento por compresión: Vrd= 120,225kN < 1050,021kN= Vu1 Según el apartado 44.2.3.2. Como tenemos una pieza con armadura de cortante, seguimos los pasos de 44.2.3.2.2: El esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma vale: Vu2= Vcu + Vsu Vcu: contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante. Calculamos su valor con la expresión de los comentarios: Vcu= 0,10·(100·l·fck)1/3·b0·d Para calcular tenemos que tener nuestras unidades en N y mm: fck= 25 N/mm2 = 1 + (200/d)1/2= 1+ (200/420)1/2= 1,690 l: cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada, pasiva y activa adherente, anclada a una distancia igual o mayor que d a partir de la sección de estudio. Tenemos 3 barras de 25, entonces: As= 3··(25/2)2= 1.472,622mm2 Ap= 0 b0= 500mm d= 420mm l= 1.472,622/(500·420)= 7,012*10-3 Como l= 7,012*10-3 > 0,02 Vcu= 0,10·(100·l·fck)1/3·b0·d= = 0,10 · 1,690·(100 · 7,012*10-3 · 25)1/3· 500 · 420= = 92.193,430N= 92,193kN Vsu: contribución de la armadura transversal de alma a la resistencia a esfuerzo cortante. Vsu= A90·fy90,d·0,90d A90·fy90,d= U90 Vsu= U90 · 0,90d= U90 · 0,90 · 0,42 Vu2, como poco ha de valer Vrd= 66,405kN. Con este valor límite efectuamos nuestros cálculos: Vu2= Vrd Entonces: Vu2= Vcu + Vsu 120,225= 92,193 + (U90 · 0,90 · 0,42) U90= 74,159 Vamos al apartado 44.2.3.4 (Disposiciones relativas a las armaduras). Realizaremos ahora los cálculos para nuestro caso: Armaduras transversales (4.3.2.4.1): Este apartado nos dice que la separación st entre armaduras transversales deberá cumplir unas condiciones determinadas para asegurar un adecuado confinamiento del hormigón sometido a compresión oblicua: Si Vrd < (1/5) . Vu1 st= 0,80d > 300 Realizamos esta primera comprobación par aver si nos encontramos en este caso: Vu1= 1050,021kN (1/5) Vu1= (1/5)· 1050,021= 210,004 kN Vrd= 120,225kN Vrd= 120,225kN < 210,004 kN= (1/5)Vu1 Como se cumple lo anterior podemos calcular st con la expresión st= 0,80d > 300: st= 0,80d= 0,80 · 420= 336 > 300, y como no puede ser mayor, tomamos 300mm. A continuación, vamos a las fotocopias de esfuerzo cortante de agotamiento que absorben los estribos de dos ramas para una fyk=400N/mm2: (U90=74,159) S/d = 300 / 420 = 0,7 Armaduras: 4 x 26 [4·25,3= 101,12] 26