CÁLCULO NUMÉRICO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PILAR
Facultad de Ciencias Aplicadas – Instituto Tecnológico
CÁLCULO NUMÉRICO
Segundo Curso de Ingeniería Industrial
Prof: Lic. Roberto Riveros Escurra
Algunos conceptos fundamentales:
El Calculo Numérico o Análisis Numérico consiste en procedimientos que resuelven
problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las
computadoras) que ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.
El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos
problemas del mundo real.
El análisis numérico es el desarrollo y el estudio de procedimientos para resolver
problemas con ayuda de una computadora.
La ventaja fundamental del análisis numérico es que puede obtenerse una respuesta
numérica, aun cuando un problema no tenga solución analítica.
La solución obtenida con análisis numérico siempre es numérica.
Los resultados numéricos pueden trazarse en forma de grafica para mostrar el
comportamiento de la solución.
El resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden
hacerse tan exactos como se quiera. A fin de obtener la máxima exactitud es necesario
efectuar una cantidad enorme de operaciones por separado.
Algunas operaciones que puede realizar el análisis numérico:
- Resolución para las raíces de una ecuación no lineal.
- Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales.
- Obtención de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales.
- Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos.
- Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones.
- Aproximación de derivadas de cualquier orden para funciones, incluso cuando la
función se conoce solo como una tabla de valores.
- Integración de cualquier función, aun cuando solo se conozca como una tabla de
valores. También es posible obtener integrales múltiples.
- Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias cuando se proporcionan
valores iniciales de las variables. Estas pueden ser de cualquier orden y
complejidad.
- Resolución de problemas con valor en la frontera y determinación de valores
característicos y vectores característicos.
- Obtención de soluciones numéricas para todos los tipos de ecuaciones
diferenciales parciales.
- Ajuste de curvas a datos mediante la aplicación de varios métodos.
Los métodos numéricos requieren operaciones aritméticas tan tediosas y repetitivas que
solo cuando se cuenta con una computadora que realice tantas operaciones por separado
es practico resolver problemas de esta forma.
Para que una computadora pueda realizar el análisis numérico debe escribirse un
programa.
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La iteración es un procedimiento que consiste en elaborar una sucesión de operaciones,
cada una de las cuales aplica los resultados de la operación precedente. Muchos
procedimientos de análisis numérico son iterativos.
Para resolver un problema científico o de ingeniería hay que seguir cuatro pasos
generales:
1. Plantear claramente el problema.
2. Obtener un planteamiento matemático del problema.
3. Resolver la ecuación o ecuaciones que resulten del paso 2.
4. Interpretar el resultado numérico para llegar a una decisión. Es la parte mas
difícil en la resolución de problemas.
Métodos numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay
muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común:
invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas.
Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas,
comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible
comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas
depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos
problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los
métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software
costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación
que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas,
porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta
su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.
Definiciones:
Algoritmo es un procedimiento sistemático para la resolución de problemas.
Ecuación: Es una proposición abierta que involucra una relación de equivalencia y que
no se cumple para cualquier valor de la variable o variables.
x2 – 5x + 6
es una expresión algebraica o polinomio
x2 – 5x + 6 > 0
es una inecuación
f(x) = x2 – 5x + 6
es una función
x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3) es una identidad
x2 – 5x + 6 = 0
es una ecuación
Raíces o soluciones de una ecuación, es el conjunto de todos los valores que verifiquen
la ecuación.
x2 – 5x + 6 = 0
es una ecuación cuyas raíces son (2 , 3)
x2 – 5x + 6
es un polinomio cuyos ceros son (2 , 3)
f(x) = x2 – 5x + 6
es una función cuyos ceros son (2 , 3)
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ERRORES
Error es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y la magnitud
obtenida.
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas
es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el
grado de aproximación de la solución que se obtiene.
Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:


Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.
Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del
problema.
Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición
matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos
errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los
efectos relativistas en la solución de un problema de mecánica clásica. En aquellos
casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solución será poco
precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones
numéricas.
Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos:
constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos
empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento
analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado
obtenido computacional-mente.
En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes
principales:
1.
Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta
fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos
manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha
reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan.
Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa
uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún,
la presencia de bugs no detectados en el compilador o en el software del sistema
no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es
razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de
bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más
nos va a preocupar.
2.
El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino
mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la
sustitución de un infinito (sumatoria o integración) o un infinitesimal
(diferenciación) por una aproximación finita. Algunos ejemplos son:



El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x) empleando
sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de
Taylor.
Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los
valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide.
Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por
una aproximación (diferencias finitas).
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
Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson:
proceso iterativo que, en general, converge sólo cuando el número de
iteraciones tiende a infinito.
Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento,
ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito.
Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en
cualquier procedimiento numérico.
3.
Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen
en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión
ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados
correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos.
Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas
operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones
pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar
lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al
redondear un número se denomina error de redondeo.
Cifras significativas: conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el
valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de
cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal.
Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras
que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas.
Ejemplos:
12345-
Longitud = 26 mm = 0,026 m = 0,000026 km (dos cifras significativas)
Estatura = 1,72 m = 17,2 dec. = 172 cm (tres cifras significativas)
40072 ( cinco cifras significativas)
3.001 ( cuatro cifras significativas)
0,000203 ( tres cifras significativas)
Medición del error:
La exactitud de cualquier calculo es importante para todo calculo. Hay dos formas
comunes para expresar el tamaño del error en un resultado calculado. El error absoluto
y el error relativo.
Error absoluto = | valor verdadero – valor aproximado |
Valor verdadero = valor aproximado + error
Error absoluto de x:
ea ( x)  x  x
x  0
error..absoluto
Error relativo =
valor..verdadero
Error relativo de x :
er ( x) 
ea ( x)
x
, en la practica: er ( x) 
ea ( x)
x
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x representa el valor verdadero
x
representa el valor aproximado
ea representa el error absoluto
er representa el error relativo
Un tamaño de error dado suele ser mas grave cuando la magnitud del valor verdadero es
pequeña.
Magnitud es el resultado de una medición.
Confiabilidad: porque dependen del instrumento de medición utilizado.
Necesarias: porque depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar
cantidades y/o operaciones. Esto da lugar a dos tipos de errores: errores de truncamiento
y errores de redondeo
Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto.
Esto genera errores de truncamiento durante el procedimiento.
Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son
exactos.
Esto genera errores de redondeo durante los cálculos.
Ejemplo.
Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado aproximado
de 19,999 cms. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de
9 cms. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000
cms. y 10 cms. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos.
Solución. Tenemos los siguientes resultados:
Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:
Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:
En ambos casos, el error absoluto es igual!, pero obviamente tiene mayor trascendencia
el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar
el error absoluto contra el valor verdadero y esto da lugar a las siguiente definición.