Lím_cont_2

Funciones. Límites y continuidad
ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN
Problema
Dominio de una
función
Funciones
lineales
Datos
La ecuación de
la función
Ecuación
y=mx+n.
“m” es la
pendiente
“n” es la
ordenada del
origen.
Procedimiento
Casos en los que en dominio no es IR:
Irracionales (excluir valores
que hagan negativo el
radicando.
Logarítmicas (como en
irracionales además del cero).
Racionales (excluir valores
que anulen el denominador)
Casos:
Funciones
cuadráticas
Ecuación
y=ax2+bx+c
-
Ejemplo
Dominio de
-3
Transformación
de funciones
Ecuación
-
-
Funciones
homográficas o
hiperbólicas
Ecuación:
ax + b
y=
cx + d
-
-
+
2
+
-
+
+
+
Dom( y ) = ]−∞, −3[ ∪ [ 2, +∞[
m>0 y n>0 (corta a Y por
encima del origen y forma con
X ángulo agudo)
m>0 y n<0 (corta a Y por
debajo del origen y forma con
X ángulo agudo)
m<0 y n>0 (corta por encima
y ángulo obtuso)
m<0 y n<0 (corta por debajo y
ángulo obtuso)
La gráfica es una parábola.
Vértice en el punto de absica
Corta eje X (cuando lo hace)
en las soluciones de la
ecuación de 2º grado
asociada)
Corta al aje Y en (0, c)
Si a>0 es cóncava
Si a<0 es convexa
y=f(x)+k es como f(x)
desplazada k unidades hacia
arriba.
y=-f(x) es simétrica de f(x)
respecto al eje X
y=(x+a) es como f(x)
desplazada “a” unidades
hacia la izquierda o derecha
según “a” sea + ó -.
Y=f(-x) es simétrica de f(x)
respecto al eje Y
La gráfica es una hipérbola.
Tiene como asíntotas las
rectas y=a/c (horizontal) y=d/c (vertical)
Si a=d=0 y c=1 la hipérbola
tiene por asíntotas los ejes.
y=
x-2
X+3
(x-2)/(x+3)
m>0
n>0
m>0
n<0
m<0
n>0
m<0
n<0
40
10
35
5
30
b
x=−
2a
-
x−2
. Se trata de una irracional:
x+3
0
0
25
-5
20
-10
15
-15
10
-20
5
-4
-2
4
6
8
10
-25
0
-6
2
-30
0
2
4
6
-5
-35
a>0
a<0
Vemos las gráficas de y=x2 (trazo grueso) y la de
y=(x-2)2 (trazo fino) desplazada 2 unidades a la derecha:
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-6
-4
-2
0
2
4
Representar la función
6
y=
x −1
:
x+2
8
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
Sus asíntotas son x=-2, y=1
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Funciones. Límites y continuidad
Funciones “a
trozos”
Su dominio está Su forma es (en el dominio [a, d]:
dividido en
 g ( x) si a < x ≤ b
varios

intervalos en
f ( x) =  h( x) si b < x ≤ c
los que la
 i ( x) si c < x ≤ d

ecuación de la
función cambia
Se representa cada tramo por separado sobre los mismos
ejes, pudiendo los tramos de gráfica juntarse o no en los
puntos de separación de los intervalos.
Gráfica de:
3x − 2 si −3 < x ≤ 1
f ( x) = 
2
si 1 < x ≤ 4
 −x
2
0
-4
-2
-2
0
2
4
6
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
Funciones en
valor absoluto
Su ecuación:
y = f (x)
Se interpreta como una función definida
en dos trozos así:
 f ( x) si
y=
 − f ( x) si
f ( x) ≥ 0
f ( x) < 0
Hay que resolver la inecuación:
f ( x) ≥ 0 para determinar los límites

 2 x + 1 si
Gráfica de y = 2 x + 1 = 
−2 x − 1 si

1
2
1
x<−
2
x≥−
Donde el valor -1/2 sale de resolver la inecuación:
2x +1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −
de cada trozo
1
2
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4
Composición de
funciones
Las funciones:
y=f(x)
y=g(x)
-1
0
La función compuesta de ambas es:
La función compuesta
Es decir se sustituye la “x” en la función
f por la función g(x).
Puede calcularse también:
2
x
g ( x) = 3x + 4
( f g )( x) = f [ g ( x) ]
( g f )( x) = g [ f ( x) ]
Donde ahora se sustituye la “x” de g por
la función f(x)
Función recíproca La función
o inversa
y=f(x)
-2
La función recíproca de y=f(x) se
obtiene (caso de existir), despejando x
en función de y e intercambiando las
variables en el resultado. Se ha de
cumplir que:
( f f −1 )( x) = ( f −1 f )( x) = I D ( x)
Donde la función i(x) llamada identidad
es:
I(x)=x
Es decir, asocia a cada valor él mismo.
-1
Las gráficas de f(x) y f (x) son
simétricas respecto a la bisectriz del
primer cuadrante.
2
4
( g f )( x) de las funciones:
f ( x) =
Es:
2
( g f )( x) = g [ f ( x)] = 3 ⋅ + 4 =
x
6
6 + 4x
= +4 =
x
x
Inversa de
y=
3x − 2
= f ( x)
4x
Despejamos “x” en función de “y”:
4 xy = 3x − 2 ⇒ 4 xy − 3x = −2 ⇒
⇒ (4 y − 3) x = −2 ⇒ x =
−2
4y − 3
Cambiando ahora las variables:
y=
−2
= f −1 ( x )
4x − 3
Vemos que la composición es la identidad:
( f f −1 )( x) = f  f −1 ( x)  =
−6 − 8 x + 6
=x
−8
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Funciones. Límites y continuidad
Función
exponencial
La ecuación:
-
y = ax
a≠0
Con
Pasan por (0, 1) y (1, a)
Si a>1 es creciente
Si a<1 es decreciente.
x
1
y =   es:
2
La gráfica de
4,5
a ≠1
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-4
Función
logarítmica
La ecuación:
-
y = log a x
Es inversa de la exponencial
Pasa por (1, 0) y (a,1)
Si a>1 es creciente
Si 0<a<1 es decreciente
Si dominio es IR+
-2
0
2
4
y = log x es:
La gráfica de
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
- 0,2
- 0,4
Trigonométricas
inversas
y=arc sen x
y=arc cos c
y=arc tg x
Si sen x=a, entonces x=arc sen a
Si cos x=b entonces x= arc cos b
Si tg x=c entonces x= arc tg c
La gráfica de cualquiera de las
funciones trigonométricas inversas es la
simétrica respecto a la bisectriz del
primer cuadrante, de la gráfica de la
función trigonométrica correspondiente
Límite de una
función en un
punto.
Límites por la
izquierda y por la
derecha.
Ecuación de la
función y punto
en estudio
Para calcular
1
sen(arccos( )) =
2
3
= sen60º =
2
O bien:
= sen300º = −
lím f ( x) se
3
2
6
x→a
Calcula lím .
x →0 x
escribe una sucesión de
valores de “x” que se acerque Veamos las sucesiones:
a “a”, se calcula la sucesión
de los valores de f(x) y se
-1
-0,1
-0,01
-0,001
comprueba si se acerca ésta
-6
-60
-600
-6000
última a algún valor real.
Si se toma una sucesión de
Por tanto:
valores que crezca
indefinidamente y la sucesión
6
de f(x) tiende a “l”, escribimos:
lím f ( x) = l
x →∞
Calcula:
Si una sucesión de valores de
“x” tiende a “a” y la sucesión
de f(x) crece indefinidamente,
escribimos:
lím
x → 0−
x
→
→
0
−∞
= −∞
Veamos ahora:
1
0,1
0,01
6
...
...
60
0,00
1
600
0
...
→
0
...
→
+∞
100
100
0
...
→
∞
5
97
5 ...
997
→
0
600
lím f ( x) = ∞
x→a
Si la sucesión de valores de
“x” se aproxima a “a” pero se
mantiene siempre menor que
“a”, escribimos (límite por la
izquierda):
lím f ( x) = l
x → a−
Si la sucesión de valores de
“x” se aproxima a “a” pero se
mantiene siempre mayor que
“a”, escribimos (límite por la
derecha):
lím+ f ( x) = l
x→a
Por tanto:
lím
x → 0+
6
= +∞
x
Calcula
lím
x →+∞
Sucesiones:
1
10
−
5
2
5
7
5
x −3
Cálculo práctico
de límites
Ecuación de la
función y punto.
La CNyS para que una
función tenga límite cuando x
tiende a “a” es que los límites
por la derecha y por la
izquierda coinciden.
Si una función es continua para calcular
lím f ( x) , en realidad calculamos f(a)
x→a
Calcula
lím
x →−2
x + 1 −2 + 1 1
=
=
x − 4 −2 − 4 6
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Funciones. Límites y continuidad
Límites infinitos
Ecuación de la
función y punto.
Si aplicando el método
anterior a una función
obtenemos
a
; a ≠ 0 , se
0
calculan los límites laterales.
x+3
x+3
 + 
= lim+
=
 = −∞
x − 4 x + 3 x →1 ( x − 1)( x − 3)  + ⋅ − 
lim+
2
x →1
Límites en el
infinito
Ecuación de la
función
Si obtenemos ∞ / ∞ nos
quedamos con los monomios
de mayor grado de
numerador y denominador
Calcula:
x+3
4
lim 2
=
x →1 x − 4 x + 3
0
x+3
x+3
 + 
lim− 2
= lim−
=
 = +∞
x →1 x − 4 x + 3
x →1 ( x − 1)( x − 3 )
 −⋅− 
Calcula:
4 x2 − 6 x + 1
lím
x →∞ 2 x 2 + x − 9
Para x= ∞ tenemos
∞ / ∞ . Dividiendo todo por x2:
4x − 6x + 1
4 x2
=
lím
=2
x →∞ 2 x 2 + x − 9
x →∞ 2 x 2
2
lím
Si obtenemos ∞ − ∞ , en una
función con radicales,
multiplicamos y dividimos por
el conjugado
Calcula:
(
lím ( x − 1 − x ) = lím
x →∞
x −1 − x
2
(
x →∞
Para calcular límites en
cambiamos x por –x y
−∞ por +∞
−∞ ,
= lím
)
x →∞
Calcula:
)(
x2 − 1 − x
x2 − 1 − x
1
(
x2 −1 − x
(
)
)
)
=0
2
x2 − 1 − x4
 x −1
x3 
lím 
− 2
=
lím
=0

x →∞
x − 1  x →∞ x x 2 − 1
 x
2
2
x2 − 1 − x
Si obtenemos ∞ − ∞ , en
funciones racionales,
efectuamos la operación.
(
x →∞
= lím
x2 − 1 − x
(
)
Calcula:
4(−x) − 6 (−x) +1
4x − 6x + 1
= lím
=
2
2
x →−∞ 2 x + x − 9
x →+∞
2(−x) + (−x) − 9
2
2
lím
4 x2 + 6 x + 1
4 x2
lím
=
=2
x →+∞ 2 x 2 − x − 9
x →−∞ 2 x 2
= lím
Casos de
indeterminación
0/0, ∞ / ∞ e
Ecuación de la
función y punto.
∞−∞
Calcula:
Si aplicando el método
anterior a una función racional
x−7
obtenemos el valor 0/0,
lím 2
x →7 x − 8 x + 7
factorizamos numerador y
denominador, simplificamos
Haciendo x=7 se obtiene 0/0
los factores comunes y
Factorizando el denominador:
calculamos el límite de lo que
x−7
1
resta.
= lím
lím
x →7
( x − 1)( x − 7)
•
Si la indeterminación 0/0
procede de funciones con
radicales, multiplicamos y
dividimos por el conjugado,
simplificamos los factores
comunes y calculamos el
límite de lo que resta.
lím
x →0
x →7
x −1
=
1
6
Calcula:
1− 1− x
x
Haciendo x=0 se obtiene 0/0
(
)(
)
1− 1− x ⋅ 1+ 1− x
1− 1− x
= lím
=
x →0
x →0
x
x ⋅ 1+ 1− x
lím
= lím
x →0
= lím
x →0
12 −
(
(
1− x
)
(1 +
1− x
)
)
2
x ⋅ 1+ 1− x
1
(
)
=
= lím
x →0
(
x
x ⋅ 1+ 1− x
1
2
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)
=
)=
Funciones. Límites y continuidad
Continuidad de
una función
La ecuación de
la función
Una función y=f(x) es continua en el
punto x=a si se cumplen las
condiciones:
1. Existe f(a)
2. Existe lím f ( x)
Estudia la continuidad de la función:
y=
3
x 2 − 3x + 2
x→a
3.
Los dos valores anteriores
coinciden.
Si una función cumple:
a) ∃f ( a ) y ∃ lím f ( x) pero ambos
x→a
valores son distintos, decimos que en
“a” hay una discontinuidad evitable.
b) Si los límites laterales en x=a existen
pero no coinciden y ambos son finitos,
esto es:
lím f ( x) ≠ lím f ( x) existe en “a”
x→a
−
x →a
+
una discontinuidad de salto finito.
c) Si alguno de los límites laterales es
infinito, hay discontinuidad de salto
infinito.
Asíntotas
Ecuación de la
función
-Sí
lím f ( x) = k , la recta y=k es una
x →∞
asíntota horizontal.
-Si lím f ( x) = ∞ , la recta x=k es una
x→k
asíntota vertical
-La recta y=mx+n es una asíntota
oblicua si se cumple que:
f ( x)
x
n = lím [ f ( x) − mx ]
m = lím
x →∞
x →∞
-Si existen asíntotas horizontales no
pueden existir asíntotas oblicuas hacia
el mismo lado.
Ecuación de la
función
(funciones
racionales)
Si
grado ( P( x) ) ≥ grado ( Q( x) )
Las asíntotas verticales u oblicuas se
obtienen efectuando la división
f ( x) =
P( x)
r ( x)
= c( x) +
Q( x)
Q ( x)
Veamos qué valores de x anulan el denominador:
1
x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒ x = 
2
En x=1 y en x=2 la función no está definida y como
además:
lím
x →1
3
=∞
x 2 − 3x + 2
En x=1 hay una discontinuidad de salto infinito.
Sea ahora la función:
 x − 1 si
f ( x) = 
si
 5
x≠3
x=3
Como f(3)=5 y
lím f ( x) = 2
x →3
En x=3 hay una discontinuidad evitable
Encuentra las asíntotas de la función:
f ( x) =
x+3
x2 − 4 x + 3
Como:
lím f ( x) = 1 = m
x →∞
x2 − 4 x + 3
−7 x + 3
− x = lím
= −7 = n
x →∞
x →∞ x + 3
x+3
lím
La recta y=x-7 es una asíntota oblicua.

 xlim
→1−

 lim
 x →1+
Como 
 lim
 x →3−

 lim
 x →1+
x+3
= +∞
x − 4x + 3
x+3
= −∞
2
x − 4x + 3
x+3
= −∞
x2 − 4x + 3
x+3
= +∞
x2 − 4x + 3
2
Las rectas x=1 y x=3 son asíntotas verticales.
No existen asíntotas horizontales
•
Encuentra las asíntotas de la función:
f ( x) =
x2 − 4 x + 3
x+3
Como:
f ( x) =
x2 − 4x + 3
24
= ( x − 7) +
x+3
x+3
La recta y=x-7 es una asíntota oblicua.
•
Encuentra las asíntotas de la función:
Si
grado ( P( x) ) < grado ( Q( x) ) la
recta y=0 (eje OX) es una asíntota
horizontal
x+3
x2 − 4 x + 3
Como grado ( P ( x) ) = 1 < grado ( Q( x) ) = 2
f ( x) =
y=0 es una asíntota horizontal.
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Funciones. Límites y continuidad
Ecuación de la
función y
asíntota
Posición de la curva:
f ( x) =
x2 − 4 x + 3
;
x+3
A.V. en x=-3:
Para las asíntotas verticales, se
estudian los límites laterales
lím− f ( x) = lím−
x2 − 4 x + 3  + 
=   = −∞
x+3
−
lím+ f ( x) = lím−
x2 − 4 x + 3  + 
=   = +∞
x+3
+
x →−3
x →−3
x →−3
x →−3
A.H. en y=x-7:
Para las asíntotas horizontales y
oblicuas se estudia el signo de
f(x)-asíntota
En el caso de funciones racionales,
esto coincide con el signo de
Ecuación de la
función y
asíntota
x2 − 4 x + 3
24 < 0 si
− ( x − 7) =

x+3
x + 3  > 0 si
r ( x)
Q ( x)
Puntos de corte de curva y asíntota
horizontal u oblicua :
Para funciones racionales se obtienen
igualando a cero el resto y despejando
x. r ( x ) = 0
f ( x) =
x2 − x
−x + 4
= 1+ 2
x2 − 4
x −4
Y=1 es una asíntota horizontal.
Punto de corte de curva y asíntota:
− x + 4 = 0 ⇒ x = 4; y = 1 ⇒ ( 4,1)
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x≪
x≫