Examen de matrices y determinantes. Curso 2007/08

Examen de matrices y determinantes
29/04/2008
Opción A
Ejercicio 1.
(Puntuación máxima: 3 puntos)
Halla la matriz X que satisface la siguiente ecuación: A ⋅ X ⋅ B + C = D , siendo ⎛ 1 0 0⎞
⎛ 1 0⎞
⎛ 1 2 3⎞
⎛ 3 1 2⎞
⎜
⎟
A=⎜
⎟ , B = ⎜ 0 1 0⎟ , C = ⎜
⎟ y D=⎜
⎟ ⎝ −1 1⎠
⎝ −1 2 −3⎠
⎝ 0 1 0⎠
⎜
⎟
⎝ 0 −1 1⎠
⎛a
X ∈ M 2×3 , por tanto X = ⎜
⎝d
b
e
c ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ a b
y f ⎟⎠ ⎜⎝ −1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ d e
⎛1 0 0⎞
c ⎞⎜
⎟ = ⎛3 1 2⎞ − ⎛ 1 2 3 ⎞
0
1
0
⎟
⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ −1 2 −3 ⎟
f ⎠ ⎜⎜
⎠ ⎝
⎠
⎟ ⎝
⎝ 0 −1 1 ⎠
b−c
c ⎞ ⎛ 2 −1 −1⎞
⎛ a
⇒⎜
⎟=⎜
⎟ , igualando las matrices obtenemos el sistema ⎝ −a + d −b + e + c − f −c + f ⎠ ⎝ 1 −1 3 ⎠
⎧a = 2
⎪b − c = −1
⎪
⎪c = −1
⎛ 2 −2 −1⎞
y resolviéndolo nos queda que X = ⎜
⎨
⎟ ⎝3 0 2 ⎠
⎪ −a + d = 1
⎪ −b + e + c − f = −1
⎪
⎩ −c + f = 3
Otra forma de resolver la ecuación matricial, muy interesante cuando las matrices que intervienen en el producto no tienen tantos ceros, es la siguiente: A ⋅ X ⋅ B + C = D ⇒ A ⋅ X ⋅ B = D − C ⇒ A−1 ⋅ A ⋅ X ⋅ B ⋅ B −1 = A−1 ⋅ ( D − C ) ⋅ B −1 ⎛1 0 0⎞
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2 −1 −1⎞ ⎜
⎟
⇒ X = A ⋅ ( D − C ) ⋅ B y calculando las inversas de A y B X = ⎜
⎟ ⋅ ⎜ 1 −1 3 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1 0 ⎟ 1
1
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎜0 1 1⎟
⎝
⎠
⎛ 2 −2 −1⎞
⇒ X =⎜
⎟ ⎝3 0 2 ⎠
−1
Ejercicio 2.
−1
(Puntuación máxima: 2 puntos)
⎛x
⎜
0
Sea la matriz A = ⎜
⎜0
⎜
⎝y
y
x
0
0
0
y
x
0
0⎞
⎟
0⎟
, dedúzcase cuándo A no tiene inversa. y⎟
⎟
x⎠
A no tiene inversa cuando su determinante es igual a cero, por tanto desarrollemos ese determinante: IES Pedro de Tolosa
[1] Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
29/04/2008
x
0
0
y
y
x
0
0
0
y
0
x
0
1+1
= x ⋅ ( −1) ⋅ 0
y
0
x
x
0
y
x
0
y
x
0
0
0
1+ 2
y + y ⋅ ( −1) ⋅ 0
x
y
0
y = x ⋅ x3 − y ⋅ y 3 = x4 − y 4
x
⎧x = y
x4 − y4 = 0 ⇒ ( x2 − y2 ) ⋅ ( x2 + y2 ) = 0 ⇒ x2 − y 2 = 0 ⇒ ( x − y ) ⋅ ( x + y ) = 0 ⇒ ⎨
⎩x = − y
Entonces A no tiene inversa cuando x = y o x = − y Ejercicio 3.
(Puntuación máxima: 3 puntos)
a
1 3
a b c
2
t
t −1
‐ Sabiendo que A = 3 0 5 = 1 ; calcula el valor de A , 2 AA , ( A ) y 3b 3 0 1 1 1
a+c 2 8
* A2 = A ⋅ A = A ⋅ A = 1 ⋅ 1 = 1
( A es una matriz 3 × 3)
* 2 A ⋅ At = 2 A ⋅ At = 23 ⋅ A ⋅ A = 23 ⋅ 1 ⋅ 1 = 8
1
A
Como A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = 1 ⇒ A−1 =
* ( At )
−1
a
=
1
1
1
=
= =1
t
A
1
A
1 3
a
a b a+c
1 3
* 3b 3 0 = 3 ⋅ b
1 0 = 3⋅ 1 1
a+c 2 8
a+c 2 8
3 0
1 2 3
a b a+c
= −3 ⋅ 3 0
1 1
2
8
1
1 4
8
2
a b c
C3 =C3 −C1
= − 3 ⋅ 3 0 5 = −3
1 1 1
1 2 3
‐ Sin desarrollar, probar que 4 5 6 + −1 2 5 = 4 5 6 7 8 9 0 3 6 8 7 9
1 2 3
1
1 4
1 2 3
1 −1 0
4 5 6 + −1 2 5 = 4 5 6 + 1
7 8 9 0 3 6 7 8 9 4
IES Pedro de Tolosa
2
5
1 2 3
1
2
3
1 2 3
1
2
3
1
2
3
1 2 3
3 = 4 5 6 − 1 −1 0 = 4 5 6 + 4 5 6 = 4
5
6 =4 5 6
6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 1 −1 0 7 + 1 8 − 1 9 + 0 8 7 9
[2] Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
Ejercicio 4.
29/04/2008
(Puntuación máxima: 2 puntos)
⎛0
Sea A = I − ⎜ −1
⎝ 4
2⎞
2
⎟ , donde I es la matriz unidad. Comprueba que A es proporcional a A y 3
2⎠
deduce la expresión general de A n .
2 ⎞ ⎛ 1
−2 ⎞
=
⎟
⎜
3 ⎟ ⎜1
−1 ⎟⎟
2⎠
2⎠ ⎝ 4
⎛1 0⎞ ⎛ 0
A=⎜
⎟−⎜
⎝ 0 1 ⎠ ⎝⎜ −1 4
−2 ⎞ ⎛ 1
−2 ⎞ ⎛ 1 2 − 1 ⎞
⎛ 1
⎜
⎟
A =⎜
−1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1
−1 ⎟⎟ = ⎜ 1
⎜1
−1 ⎟
⎝ 4
2⎠ ⎝ 4
2⎠ ⎝ 8
4⎠
⇒
2
1
⋅ A ⇒ A2 es proporcional a A
2
⎛1
−1 ⎞ ⎛ 1
−2 ⎞ ⎛ 1 4 −1 2 ⎞
2
3
2
⎜
⎟
⎟ ; también A3 = A2 ⋅ A = 1 ⋅ A ⋅ A = 1 ⋅ A2 = 1 ⋅ A
A = A ⋅A=
⋅⎜ 1
⎟=⎜
−
1
⎟ ⎜1
⎜1
−1 ⎟ ⎜
−1 ⎟
2
2
4
2 ⎠ ⎝ 16
4⎠ ⎝ 4
8⎠
⎝ 8
1
1
1
1
del mismo modo A4 = A3 ⋅ A = ⋅ A ⋅ A = ⋅ A2 = ⋅ A ⇒ An = n −1 ⋅ A entonces
4
4
8
2
⎛ 1 n −1 −1 n −2 ⎞
2 ⎟
n
A =⎜ 2
⎜⎜ 1
−1 n ⎟⎟
2 ⎠
⎝ 2n +1
⇒ A2 =
Opción B
Ejercicio 1.
‐
(Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcula el siguiente determinante de orden n: 1 n n " n
n 2 n " n
n n 3 " n #
#
#
n
n
n
%
"
#
n
1
n
n
"
n
1− n
n
n
#
n
2
n
#
n
n
3
#
n
"
"
%
"
n
n
#
n
0
0
#
0
=
C1 =C1 −Cn
C2 =C2 −Cn
C3 =C3 −Cn
...............
Cn −1 =Cn −1 −Cn
0
0
2−n
0
0
3− n
#
#
0
0
"
n
"
"
%
"
n
n
#
n
=
= (1 − n ) ⋅ ( 2 − n ) ⋅ ( 3 − n )" ( n − 2 − n ) ⋅ ( n − 1 − n ) ⋅ n = n ⋅ (1 − n ) ⋅ ( 2 − n ) ⋅ ( 3 − n )" ( −2 ) ⋅ ( −1) = ( −1)
IES Pedro de Tolosa
[3] n −1
⋅ n!
Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
‐
29/04/2008
Demostrar que si A es una matriz 3 × 3 tal que At = − A , entonces A = 0 . ¿Y si A es una matriz n × n , se verifica lo anterior? Sabemos que se cumple A = At ; como A ∈ M 3×3 ⇒ − A = ( −1) ⋅ A = − A , entonces
3
At = − A ⇒ At = − A ⇒ A = − A ⇒ A = 0
Si A ∈ M n×n ⇒ − A = ( −1) A ⇒ si n es impar A = 0 , si n es par no se puede asegurar que A = 0.
n
Ejercicio 2.
(Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcula los valores del parámetro λ para los que las matrices A ⋅ B y B ⋅ A son invertibles, siendo ⎛ 1 3⎞
⎛1 2 λ ⎞
⎟
⎜
A=⎜
⎟ , B = ⎜ λ 0⎟ . Calcula la inversa de las matrices en función de λ. ⎝1 −1 −1⎠
⎟
⎜
⎝ 0 2⎠
⎛ 1 3⎞
⎛1 2 λ ⎞ ⎜
⎛ 1 + 2λ 3 + 2λ ⎞
; ( AB ) es invertible ⇔ AB ≠ 0
⋅ ⎜ λ 0 ⎟⎟ = ⎜
A⋅ B = ⎜
⎟
1 ⎠⎟
⎝ 1 −1 −1⎠ ⎜ 0 2 ⎟ ⎝ 1 − λ
⎝
⎠
1
⎧
1 + 2λ 3 + 2λ
⎪λ =
2
2
= 1 + 2λ − ( 3 + 2λ ) ⋅ (1 − λ ) = 2λ + 3λ − 2 ; 2λ + 3λ − 2 = 0 ⇒ ⎨
2
1− λ
1
⎪⎩λ = −2
1
( AB ) tiene inversa si λ ≠ y λ ≠ −2
2
t
1
1+1
2 +1
−1
⋅ ⎡⎣ adj ( AB ) ⎤⎦
( AB ) =
( AB )11 = ( −1) ⋅ 1
( AB )21 = ( −1) ⋅ ( 3 + 2λ )
AB
( AB )12 = ( −1)
1+ 2
( AB )
−1
=
⋅ (1 − λ )
( AB )22 = ( −1)
2+ 2
⋅ (1 + 2λ )
−3 − 2λ ⎞
⎛ 1
1
⋅⎜
2λ + 3λ − 2 ⎝ λ − 1 1 + 2λ ⎟⎠
2
⎛ 1 3⎞
⎛ 4 −1 λ − 3 ⎞
⎛1 2 λ ⎞ ⎜
⎜
⎟
B ⋅ A = ⎜λ 0⎟ ⋅ ⎜
= ⎜ λ 2λ λ 2 ⎟⎟ ;
⎟
⎜ 0 2 ⎟ ⎝ 1 −1 −1⎠ ⎜ 2 −2 −2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
( BA) es invertible ⇔
BA ≠ 0
−1 λ − 3
λ 2λ λ 2 = −16λ − 2λ 2 − 2λ 2 + 6λ − 4λ 2 + 12λ + 8λ 2 − 2λ = 0
2 −2 −2
4
BA = 0, independientemente del valor de λ ⇒ ( BA) no tiene inversa ∀ λ ∈ \
IES Pedro de Tolosa
[4] Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
Ejercicio 3.
29/04/2008
(Puntuación máxima: 2 puntos)
Resuelve la ecuación: 1 1 1
2 x 2
3 5 x
4 4 4
1 1 1
x
1 1 1
x
2 x 2
3 5 x
2
3
2 x 2
=
3 5 x
2
3
4 4 4
x + 3 F = F −4 F
4
4
1
2
=0
3
x+3
1 1 1
= ( 3 − 3x ) ⋅ ( −1)
0 0 0 3 − 3x
( 3 − 3x )( x − 2 )( x − 3) = 0
Ejercicio 4.
x
⇒
4+ 4
1
0
2 x 2
= ( 3 − 3x ) ⋅ 2 x − 2
3 5 x C3 =C3 −C1
3
2
C2 =C2 −C1
0
0 = ( 3 − 3x )( x − 2 )( x − 3)
x−3
⎧x = 1
⎪
⎨x = 2
⎪x = 3
⎩
(Puntuación máxima: 2 puntos)
⎛ a b⎞
⎛ 3 −4 ⎞
Dada la matriz A = ⎜
encontrar las matrices B = ⎜
⎟ tales que AB = − BA . ⎟
c
0
2
3
−
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛3
AB = ⎜
⎝2
⎛a
BA = ⎜
⎝0
⇒
−4 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 3a 3b − 4c ⎞
⎫
⋅⎜
=⎜
⎪
⎟
⎟
⎟
−3 ⎠ ⎝ 0 c ⎠ ⎝ 2a 2b − 3c ⎠
⎛ 3a 3b − 4c ⎞ ⎛ −3a − 2b 4a + 3b ⎞
⎪
⇒
⎬ AB = − BA ⇒ ⎜
⎟=⎜
3c ⎟⎠
b ⎞ ⎛ 3 −4 ⎞ ⎛ 3a + 2b −4a − 3b ⎞ ⎪
⎝ 2a 2b − 3c ⎠ ⎝ −2c
⋅
=
c ⎠⎟ ⎝⎜ 2 −3 ⎠⎟ ⎝⎜ 2c
−3c ⎠⎟ ⎭⎪
⎧3a = −3a − 2b
⎪3b − 4c = 4a + 3b
⎪
⎨
⎪ 2 a = −2 c
⎪⎩2b − 3c = 3c
IES Pedro de Tolosa
⇒
⎧b = −3a
⎨
⎩c = −a
⇒
[5] ⎛ a −3a ⎞
B=⎜
⎟
⎝ 0 −a ⎠
Matemáticas II