Examen de matrices y determinantes . Curso 2009/2010

Examen de matrices y determinantes
5/05/2010
Ejercicio 1.
Halla la matriz X que satisface la siguiente ecuación: A ⋅ X ⋅ B − C = D , siendo
 1 2 −1
2 3
 −4 2 1 
 3 4 −8 
A=
, B =  −1 0 1  , C = 
y D=



 −1 −2 
 3 −2 4 
 2 0 −1 
 0 1 −1


X ∈ M 2×3 . La mejor forma de resolver esta ecuación matricial, dado que las matrices que intervienen en el producto
tienen pocos ceros, es la siguiente:
A ⋅ X ⋅ B − C = D ⇒ A ⋅ X ⋅ B = D + C ⇒ A−1 ⋅ A ⋅ X ⋅ B ⋅ B −1 = A−1 ⋅ ( D + C ) ⋅ B −1
⇒ X = A−1 ⋅ ( D + C ) ⋅ B −1
A=
2
3
−1 −2
, entonces calculamos las inversas de A y B
= −4 + 3 = −1
A11 = −2
A12 = − ( −1) = 1
A21 = −3
A22 = 2
⇒ A−1 =
1  −2 −3   2 3 
⋅
=
−1  1 2   −1 −2 
1 2 −1
B = −1 0 1 = 1 − 1 − 2 = −2
0 1 −1
B11 =
0 1
= −1
1 −1
−1 1
B12 = −
= −1
0 −1
B13 =
−1 0
= −1
0 1
B21 = −
2 −1
=1
1 −1
1 −1
B22 =
= −1
0 −1
B23 = −
1 2
= −1
0 1
B31 =
2 −1
=2
0 1
1 −1
B32 = −
=0
−1 1
B33 =
1 2
=2
−1 0
 −1 1 2 
1 
⇒ B = − ⋅  −1 −1 0 
2 

 −1 −1 2 
−1
 −1 1 2 
 −1 1 2 
 2 3   −1 6 −7  
 1   13 6 −5  
 1

X =
⋅
⋅ −1 −1 0 ⋅  −  = 
⋅ −1 −1 0  ⋅  −  =




  2  −9 −2 1 
  2
 −1 −2   5 −2 3  

 


−
1
−
1
2
−
1
−
1
2




 −14 12 16   1 
 7 −6 −8 
=
⋅−  ⇒ X = 


 10 −8 −16   2 
 −5 4 8 
IES Pedro de Tolosa
[1]
Matemáticas II
Examen de matrices y determinantes
5/05/2010
Ejercicio 2.
2 b 3
Sabiendo que a 0 1 = 5 . Calcula, sin desarrollar, los siguientes determinantes:
1 5 c
b
4
5
c+2
0
2
2 − 3a
2
,
a + 2 2a + 1 2a
b
b
0
3
2b + 5 c + 6
5
Aplicando las propiedades de los determinantes:
b
5
0
b
4
a+2
b
4
a+2
4
c+2 2
= 5 c + 2 2a + 1
=−0
2
2a
=
a + 2 2a + 1 2a trasponemos 0
2
2a intercambiamos
5 c + 2 2a + 1 intercambiamos
filas
a+2
= − 2a
b
0
a+2 b 4
= − 2a 0 2
4
2
2a + 1 5 c + 2 F = F − F
3
2 − 3a
2
5
b
b
3
1
a+2 b 4
= −2 ⋅ a
0 1
5 c sacamos factor
2
0
3
columnas 2 veces
1
2b + 5 c + 6 intercambiamos
filas
5
b
b
3
0
1 5 c
5 c F =F −F
1
común en F2
2
= − 2 − 3a
2 b 3
= −2 ⋅ a 0 1 = −2 ⋅ 5 = −10
1
2
2 b 3
= − −3a 0 −3
2b + 5 c + 6 F2 = F2 − F1
F3 = F3 − 2 F1
1
5
c
=
sacamos factor
común en F2
2 b 3
= − ( −3) ⋅ a 0 1 = 3 ⋅ 5 = 15
1 5 c
Ejercicio 3.
Sea H el subespacio de ℝ 4 generado por los vectores u1 = ( −1,2,1,0) , u2 = ( 2, − 1,0,3) ,
u3 = ( 3,0, 2,2 ) , u4 = ( 2, − 1, 2, a ) .
− Encontrar a sabiendo que H ≠ ℝ 4
− Hallar la dimensión y una base de H y calcular el valor de b para que el vector v = ( b ,5,7,7 )
pertenezca a H .
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[2]
Matemáticas II
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5/05/2010
Como el subespacio generado por los cuatro vectores no coincide con el espacio total, éstos deben ser linealmente
dependientes, puesto que en caso contrario serían base de R4 y generarían todo el espacio.
Entonces se tiene que cumplir :
2
5
−1 2 3 2
2 −1 0 −1
1
0
2
2
0
3
2
a
−1 2 3 2
2 −1 0 −1
=0
1
0
2
2
0
3
2
a
=
F1 = F1 + F3
F2 = F2 − 2 F3
0 2 5 4
0 −1 −4 −5
1
0
2
2
0
3
2
a
=
desarrollamos
por C1
4
= −1 −4 −5 = −8a − 8 − 75 + 48 + 20 + 5a ⇒ − 3a − 15 = 0 ⇒ a = 5
3
2
a
Ya sabemos que los cuatro vectores son linealmente dependientes, veamos cuántos de ellos son
linealmente independientes :
 −1 2
 2 −1

1 0

0 3
3 2
−1 2
0 −1 
 ; buscamos menores distintos de cero :
≠0 ,
2 2
2 1

2 5
−1
2
2
−1 0 = −3 ≠ 0
1
0
3
2
Las tres primeras columnas de la matriz son linealmente independientes ⇒ los vectores {u1 , u2 , u3 }
son linealmente independientes , entonces {u1 , u2 , u3} forman una base de H y dim H = 3
Para que el vector v = ( b ,5,7,7 ) pertenezca a H , v tiene que ser combinación lineal de {u1 , u2 , u3}.
⇒ debe cumplirse
−1
2
2
−1 0 5
1
0
0
3
−1
2
2
1
−1 0 5
=0
0 2 7
0
3
3 b
0
2 7
2 7 F1 = F1 + F3
F2 = F2 − 2 F3
=
3 b
2 7
2
5
b+7
0 −1 −4
−9
1
0
7
7
0
3
2
2
2 5 b+7
= −1 −4 −9 = 10b − 50
3
2
7
desarrollamos
por C1
10b − 50 = 0 ⇒ b = 5
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Ejercicio 4.
-
Sea A una matriz 3 × 3 tal que A = 3 , calcula, justificando la respuesta:
5 A ; 2 ( A2 )
-
−1
;
M ⋅ A ⋅ M −1 ;
Adj ( A)
Si A es una matriz 3 × 3 que verifica la igualdad A2 = 2 A , ¿cuánto vale A ?
* 5 A = 53 ⋅ A = 125 ⋅ 3 = 375
( A es una matriz 3 × 3)
Como A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = 1 ⇒ A−1 =
* 2 ( A2 )
−1
= ( 2 ) ⋅ ( A2 )
3
−1
=
8
8
8
8
=
=
=
2
A⋅ A
A⋅ A 9
A
* M ⋅ A ⋅ M −1 = M ⋅ A ⋅ M −1 = M ⋅ A ⋅
Como A−1 =
1
A
1
= A =3
M
t
t
t
1
1
1
⋅  Adj ( A)  ⇒ A−1 =
⋅  Adj ( A)  ⇒ A−1 = 3  Adj ( A)  ⇒
A
A
A
t
1
3
* Adj ( A) =  Adj ( A)  = A−1 ⋅ A = ⋅ 27 = 9
3
A ∈ M 3 x 3 y A2 = 2 A ⇒ A2 = 2 A ⇒ A ⋅ A = 23 ⋅ A ⇒ A = 8
Ejercicio 5.
 m −1 4 
Calcula para qué valor, o valores, de m no admite inversa la siguiente matriz A =  3 m 0  .


 −1 0 1 


Halla A −1 para m =0 y comprueba el resultado.
m
A= 3
−1
−1 4
m
0 = m 2 + 4m + 3
0
1
 m = −1
A−1 existe ⇔ A ≠ 0 ; m 2 + 4m + 3 = 0 ⇒ 
⇒ A no admite inversa si m = −1 o m = −3
 m = −5
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Examen de matrices y determinantes
 0 −1
para m = 0 ⇒ A =  3 0
 −1 0

0 0
A11 =
=0
A21 = −
0 1
3
A12 = −
A13 =
0
−1 1
−1 4
0
0
= −3
=0
A22 =
A23 = −
Comprobación : A ⋅ A−1 = I
5/05/2010
4
0  ; A = 3
1 
−1 4
−1 4
=1
A31 =
=0
0 1
0 0
0
4
=4
−1 1
0
−1
−1
0
A32 = −
=1
0 4
= 12
3 0
0 −1
A33 =
3
0
0 1 0
1
⇒ A =  −3 4 12 
3

 0 1 3
−1
=3
0 1
0
3
 0 −1 4  
 1 0 0
 3 0 0  ⋅  −1 4
4  =  0 1 0 

 
3
 
 −1 0 1 
0 0 1 


 0 1
1 
3


Ejercicio 6.
Probar que:
−1
0
1
0
a
0
−1 0
0
1 1
0
0 0 −d
b −c 0
−1
0
0
−1
1
1
0
−1
1
0
1
0
0
0
−1
a
0
0
b
0
−c
−d
0
0
0
0
0
0
=−
a
1
0
b −c
0
IES Pedro de Tolosa
0
−1 = ac − bd
0
0
−1
0
−1
1
1
= 0
0
1
0
1
0
0
0
−1
a
0
a
b
0
−c
−d
0
0
0
C2 =C2 −C1
1
0
1
−1
−1 −1
−d 0
0
−1
0
desarrollamos
por F1
=−
1
−1
0
1
0
=a
0
−d
=a
0
−d
b −c
0
[5]
0
1
−1 1
0 −1
a
0
−d
0
b
−c
0
0
desarrollamos
por F2
0
C3 =C3 + C2
−1
1
b −c
=−
−c desarrollamos
=
C1 =C1 +C4
C3 =C3 + C4
a −d a d
=
= ac − bd
b −c b c
por F1
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