Examen de matrices y determinantes 28/04/2009 Opción A Ejercicio 1. Resuelve la ecuación matricial A ⋅ X ⋅ B − C = D , siendo: 1 0 −3 −2 −5 −2 −3 − 5 −3 A = −1 2 1 , B = 3 y D = 4 1 , C = 4 1 1 −2 3 2 10 6 9 5 X ∈ M 3×2 . La mejor forma de resolver esta ecuación matricial, dado que las matrices que intervienen en el producto tienen pocos ceros, es la siguiente: A ⋅ X ⋅ B − C = D ⇒ A ⋅ X ⋅ B = D + C ⇒ A−1 ⋅ A ⋅ X ⋅ B ⋅ B −1 = A−1 ⋅ ( D + C ) ⋅ B −1 ⇒ X = A−1 ⋅ ( D + C ) ⋅ B −1 0 −3 1 A = −1 2 1 = 4 + 9 − 12 − 3 = −2 −2 3 2 1 A11 = 3 2 A13 = B = 2 =1 −1 1 A12 = − , entonces calculamos las inversas de A y B −2 2 −1 2 −2 3 −5 −3 1 1 A21 = − 0 −3 3 2 1 −3 −2 2 =0 A22 = =1 A23 = − 1 0 −2 3 = −9 0 −3 A31 = 2 = −4 A32 = − = −3 A33 = 1 =6 1 −3 −1 1 1 0 −1 2 =2 1 −9 6 1 ⇒ A = − ⋅ 0 −4 2 2 1 −3 2 −1 =2 = −5 + 3 = −2 B11 = 1 B21 = − ( −3) = 3 B12 = −1 B22 = −5 1 1 3 ⇒ B −1 = − ⋅ 2 −1 −5 1 −9 6 −4 −8 4 1 1 3 1 1 X = − 0 −4 2 ⋅ 8 4 ⋅ ⋅ − ⇒ X = 0 −3 2 19 11 −1 −5 2 2 5 1 − 3 2 IES Pedro de Tolosa [1] Matemáticas II Examen de matrices y determinantes 28/04/2009 Ejercicio 2. Probar, aplicando las propiedades de los determinantes, la siguiente igualdad: a−b−c 2a 2b b−a −c 2c 2a 2b = (a + b + c ) 3 c−b−a 2c Aplicando las propiedades de los determinantes: a−b−c 2a 2a 2b b−a−c 2b 2c 2c a+b+c a+b+c a+b+c = c − b − a F =F +F +F 1 a+b+c = 1 0 0 2b − (a + b + c) 0 2c 0 2 2b b−a−c 2c 2c = 2b c − b − a CC2 ==CC2 −−CC1 3 3 − (a + b + c) = (a + b + c) 3 1 3 Ejercicio 3. 1 1 x Calcula para qué valor, o valores, de x admite inversa la siguiente matriz A = x 0 −1 y halla −6 −1 0 A −1 para x =3. 1 x 1 0 x −1 = − x 2 + 6 − 1 = 5 − x 2 −6 −1 0 A−1 existe ⇔ A ≠ 0 ; 5 − x 2 = 0 ⇒ x = ± 5 ⇒ A admite inversa si x ≠ 5 y x ≠ − 5 1 1 para x = 3 ⇒ A = 3 0 −6 −1 0 −1 A11 = = −1 A21 = − −1 0 A12 = − A13 = 3 −1 −6 0 3 0 −6 −1 =6 A22 = = −3 A23 = − IES Pedro de Tolosa 3 −1 ; 0 1 3 A = −4 = −3 −1 0 1 3 −6 0 1 = 18 1 −6 −1 = −5 A31 = 1 [2] = −1 0 −1 A32 = − A33 = 3 1 3 3 −1 1 1 3 0 = 10 −1 −3 −1 1 ⇒ A =− 6 18 10 4 −3 −5 −3 −1 = −3 Matemáticas II Examen de matrices y determinantes 28/04/2009 (Puntuación máxima: 2 puntos) Ejercicio 4. Calcula el valor del determinante 1− a a a 1− a a a a a a a a a a a 1− a a a a a a a 1− a a a a a a 1− a a a a a a 1− a a a a a a 1− a a a a a a 1− a 1 − 2a 0 0 1 − 2a = 1− a a C = C −C a 1 − a C12 =C12 −C55 C3 =C3 −C5 C4 =C4 −C5 1 − 2a 0 0 0 a 0 1 − 2a 0 0 a 0 0 0 0 0 0 = 1 − 2a 0 0 1 − 2a 0 0 a a 0 0 0 0 0 0 a a 1 − 2a 0 a 0 0 0 1 − 2a 2a − 1 2a − 1 2 a − 1 2a − 1 a 1− a = F5 = F5 + F1 + F2 + F3 + F4 = (1 − 2a ) ⋅ (1 + 3a ) 4 1 + 3a Opción B Ejercicio 1. Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 = I − 2 A , donde - Probar que det A ≠ 0 y encontrar A−1 . ( ) - Calcular dos números p y q tales que - Si I denota la matriz identidad. A4 = p ⋅ I + q ⋅ A . −2 1 cumple la relación de partida, calcular el valor de k. 1 k A= Sabemos que se cumple A2 = I − 2 A ⇒ A2 + 2 A = I ⇒ A ( A + 2 I ) = I ⇒ A ( A + 2 I ) = I ⇒ ⇒ A A + 2 I = 1 ⇒ A ≠ 0. Como tenemos A ( A + 2 I ) = I ⇒ A−1 = A + 2 I A4 = A2 ⋅ A2 = ( I − 2 A) ⋅ ( I − 2 A) = I − 4 A + 4 A2 = I − 4 A + 4 ( I − 2 A) = 5I − 12 A , entonces p = 5 y q = −12 IES Pedro de Tolosa [3] Matemáticas II Examen de matrices y determinantes −2 1 A= 1 k 1 I − 2A = 0 28/04/2009 −2 + k −2 1 −2 1 5 A2 = ⋅ = 2 1 k 1 k −2 + k 1 + k 0 −4 2 5 −2 −2 + k 5 −2 5 − = ⇒ = 2 1 2 2k −2 1 − 2k −2 + k 1 + k −2 1 − 2k ⇒ −2 + k = −2 2 1 + k = 1 − 2k entonces k = 0 2 k + 2k = 0 ⇒ k = 0 , k = −2 ⇒ ⇒ k =0 Ejercicio 2. - Sea A una matriz 4 × 4 tal que A = −2 , calcula, justificando la respuesta: 3 A ; − A−1 ; A4 ; 2 A ⋅ A−1 ; A ⋅ At ; ( At ) ; ( A−1 ) −1 - t Demostrar que si A es una matriz 3 × 3 tal que At = − A , entonces A = 0 . ¿Y si A es una matriz n × n , se verifica lo anterior? * 3 A = 34 ⋅ A = 81 ⋅ ( −2 ) = −162 ( A es una matriz 4 × 4 ) Como A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = 1 ⇒ A−1 = * − A−1 = ( −1) ⋅ A−1 = 4 1 A 1 1 =− A 2 * A4 = A ⋅ A ⋅ A ⋅ A = A ⋅ A ⋅ A ⋅ A = ( −2 ) = 16 4 * 2 A ⋅ A−1 = 2 I = 2 4 ⋅ I = 16 * A ⋅ At = A ⋅ At = A ⋅ A = ( −2 ) = 4 2 * ( At ) −1 = 1 1 1 = =− t A 2 A * ( A−1 ) = A−1 = t 1 1 =− A 2 Sabemos que se cumple A = At ; como A ∈ M 3×3 ⇒ − A = ( −1) ⋅ A = − A , entonces 3 At = − A ⇒ At = − A ⇒ A = − A ⇒ A = 0 Si A ∈ M n×n ⇒ − A = ( −1) A ⇒ si n es impar A = 0 , si n es par no se puede asegurar que A = 0. n IES Pedro de Tolosa [4] Matemáticas II Examen de matrices y determinantes 28/04/2009 Ejercicio 3. 1 0 0 1 0 0 Hallar una matriz X tal que A ⋅ X ⋅ A = B , siendo A = −3 1 −1 , B = 0 −1 0 . 5 −1 2 0 0 0 t X = A−1 ⋅ X ⋅ ( At ) , pero ( At ) = ( A−1 ) −1 A ⋅ X ⋅ At = B ⇒ −1 t ⇒ X = A−1 ⋅ X ⋅ ( A−1 ) t A =1 A11 = 1 −1 −1 2 A12 = − A13 = =1 −3 −1 5 =1 A22 = = −2 A23 = − 2 −3 1 5 −1 A21 = − 0 0 −1 2 1 0 5 2 1 =0 =2 0 5 −1 A31 = A32 = − =1 A33 = 0 0 1 −1 1 =0 0 =1 −3 −1 1 0 −3 1 1 0 0 ⇒ A = 1 2 1 −2 1 1 −1 =1 1 −2 1 0 0 1 0 0 1 1 −2 1 X = 1 2 1 ⋅ 0 −1 0 ⋅ 0 2 1 = 1 −3 −4 −2 1 1 0 0 0 0 1 1 −2 −4 3 Ejercicio 4. 5 Resuelve la siguiente ecuación: x x 3 x 5 3 x x 3 5 x =0 3 x x 5 5 x x 3 ⇒ x 5 3 x x 3 5 x 3 5 x x = x x 5 C4 =C4 −C1 3 C3 =C3 −C2 4 ( 64 − 4 x 2 ) = 0 IES Pedro de Tolosa x 0 −2 8 2x 5 −2 0 2x 8 = 3 2 0 x 3 x 0 2 F1 = F1 + F4 3 x F2 = F2 + F3 ⇒ 16 − x 2 = 0 0 0 2 0 0 8 2x 0 0 8 2x = 2 ⋅ 2x 8 0 = 4⋅ = 4 ⋅ ( 64 − 4 x 2 ) 0 2x 8 x 3 2 desarrollo por C 3 2 desarrollo por C 4 x = 4 ⇒ x = −4 [5] Matemáticas II