Matemáticas II 2º Bachillerato CONTROL ÁLGEBRA a 1.- Sabiendo que b c 1 1 1 = −2 , aplica las propiedades de los determinantes para calcular, x y z sin desarrollar: a −1 − x a) − b 1 y −c 1 z 1 b) 1 b + 2y c + 2z a + 2x 1 1 1 x y z c) 2a 1 1 2b 2c x −1 y −1 z −1 2.- Resuelve la ecuación X ⋅ A = B + C ⎛1 1 0 ⎞ ⎛2 ⎟ ⎜ ⎜ siendo A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , B = ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 1⎠ ⎝2 0 1 0 0⎞ ⎛1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ y C = ⎜0 1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝0 1 2 ⎠ 3.- Discute, según los valores de m, el rango de las matrices: ⎛1 2 m ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜2 m 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 6 12 ⎠ 1 ⎞ ⎛−1 m 1 ⎜ ⎟ A = ⎜2 − 1 − 2 − 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ m − 3 − 1 − 3⎠ ⎛a 1 ⎞ ⎟ siendo a un número real. 4.- Considera la matriz A = ⎜⎜ ⎟ ⎝0 − a⎠ ⎛ 12 − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 0 20 ⎠ a) Calcula el valor de a para que A2 − A = ⎜⎜ b) Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y At 5.- Discute el siguiente sistema según los valores de a y resuélvelo cuando sea compatible: 5x − 11y + 9z = a ⎫ ⎪ x − 3y + 5z = 2 ⎬ 3x − 7 y + 7z = 3 ⎪⎭ Matemáticas II 2º Bachillerato SOLUCIONES a a b c −1 − x 1.- 1 1 1 = −2 → a) − b x y z 1 −c − a −1 − x y = ( −1) b 1 z c a 1 x 1 y = ( −1)( −1) b 1 1 z 1 y = 1 1 1 = −2 z x y z c a b c t (teniendo en cuenta que A = A a + 2x b + 2y c + 2z 1 x b) 1 y 1 c) 2a 1 2b 2c x −1 y −1 b = 1 1 z 1 a 1 2x 2y 2z 1 1 + 1 y z x x 1 c 1 1 1 1 = −2 + 0(F1 y F3 proporcionales) = −2 y z 1 1 1 = 2a 2b 2c + 2a 2b 2c = 2 a x z −1 y −1 −1 −1 x 1 b y a c + 0 F2 ↔ F1 2( −1) 1 z x b 0 ahora los adjuntos: A11 = 1 1 0 1 A23 = − = 1; A12 = − 1 1 0 0 A 1 0 1 = 0; A31 = t −1 0 = 0; A13 = 1 0 1 1 0 1 0 0 = 1; A32 = − = 0; A21 = − 1 0 0 1 ⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 − 1 1 ⎞ ⎛3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎜ = ⎜ − 1 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 − 1 ⎟ → X = ⎜1 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 1 − 1 1⎠ ⎝2 ⎝0 0 1 ⎠ 1 0 0 1 = −1; A33 = = −1; A22 = 1 1 0 1 1 0 0 1 0 ⎞⎛ 1 − 1 1 ⎞ ⎛ 3 − 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 1 1 ⎟ 2 2 ⎟⎜ 0 1 − 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 1 3 ⎠⎝ 0 0 1 ⎠ ⎝ 2 − 1 4 ⎠ 1 1 ⎞ ⎛− 1 m 1 ⎜ ⎟ 1 1 3.- A = ⎜ 2 − 1 − 2 − 1 ⎟ → ≠ 0 ⇒ el rango de M puede ser 2 o 3 −2 −1 ⎜ ⎟ ⎝ m − 3 − 1 − 3⎠ orlamos el menor: m 1 1 =1 =1 ⎫ ⎪ − 1 − 2 − 1 = 6m + 3 + 1 − 6 − m − 3 = 5m − 5 = 0⎪ ⎪ −3 −1 −3 ⎪ ⎬⇒m=1 1 −1 1 ⎪ 2 − 2 − 1 = −6 − m − 2 + 2m + 1 + 6 = m − 1 = 0 ⎪ ⎪ ⎪⎭ m −1 −3 Para m = 1 el rango es 2 Para m ≠ 1 el rango es 3 c 1 1 =4 y z 0 ⎞ ⎛1 1 0 ⎞ ⎛ 3 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜1 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 2 ⎠ ⎝2 1 3 ⎠ → X = (B + C )A−1 , hallemos la inversa de la matriz A → A = 1 , ⎛2 ⎜ 2.- X ⋅ A = B + C → B + C = ⎜ 1 ⎜ ⎝2 X ⋅ A ⋅ A−1 = (B + C) ⋅ A−1 z 1 Matemáticas II 2º Bachillerato ⎛1 2 m ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 2 m 8 ⎟ → en principio no hay ningún menor de orden 2 distinto de cero, luego el ⎜ ⎟ ⎝ 3 6 12 ⎠ rango podría ser 1, 2 o 3, veamos el determinante (ya que es una matriz cuadrada): 1 2 m 2 m 8 = 12m + 12m + 48 − 3m2 − 48 − 48 = −3m2 + 24m − 48 = 0 ⇒ m2 − 8m + 16 = 0 3 6 12 →m=4 ⎛1 2 4 ⎞ ⎜ ⎟ Para m = 4 → B = ⎜ 2 4 8 ⎟ rango 1, las tres filas son proporcionales ⎜ ⎟ ⎝ 3 6 12 ⎠ Para m ≠ 4 el rango es 3, ya que el determinante de B es distinto de cero. 2 0 ⎞ ⎛ a 1 ⎞ ⎛ a2 − a − 1 ⎞ ⎛ 12 − 1 ⎞ ⎛ a 1 ⎞⎛ a 1 ⎞ ⎛ a 1 ⎞ ⎛⎜ a ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 4.-a) A − A = ⎜⎜ ⎟⎜ 0 − a ⎟ − ⎜ 0 − a ⎟ = ⎜ ⎜0 − a⎟ = ⎜ 2⎟ 2 ⎟ ⎜⎝ 0 20 ⎟⎠ 0 − a 0 a 0 a a + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a2 − a = 12 ⎫⎪ a2 − a − 12 = 0 ⎫⎪ a = 4, a = −3 ⇒ a = 4 para que sean iguales ⎬⇒ 2 ⎬ a2 + a = 20⎪⎭ a + a − 20 = 0⎪⎭ a = 4, a = −5 2 ⎛ 2a 2 ⎞ ⎟ ⇒ 2A = −4 a2 ⎟ ⎝ 0 − 2a ⎠ b) 2A = ⎜⎜ ⎛a 0⎞ ⎟ ⇒ At = − a 2 At = ⎜⎜ ⎟ ⎝1 − a ⎠ 5x − 11y + 9z = a ⎫ ⎛ 5 − 11 9 a ⎞ ⎛1 − 3 5 2 ⎞ ⎜ ⎟ F ↔F ↔F ⎜ ⎟ F −3F ⎪ 1 2 3 2 1 5.- x − 3y + 5z = 2 ⎬ → ⎜ 1 − 3 5 2 ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→⎜ 3 − 7 7 3 ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎯ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 3x − 7 y + 7z = 3 ⎭ ⎝3 − 7 7 3⎠ ⎝ 5 − 11 9 a ⎠ 2 2 ⎞ ⎛1 − 3 5 ⎞ ⎛1 − 3 5 ⎛1 − 3 5 2 ⎞ ⎟ F −2F ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ F − 5F ⎜ 3 1 3 2 → ⎜ 0 2 − 8 − 3 ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎯→⎜ 0 2 − 8 − 3 ⎯→⎜ 0 2 − 8 − 3 ⎟ ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 − 11 9 a ⎠ ⎝ 0 4 − 16 a − 10 ⎠ ⎝0 0 0 a − 4⎠ Para a = 4 → Sistema Compatible Indeterminado Lo resolvemos: x − 3y + 5z = 2 ⎫ 8z − 3 8z − 3 4 − 10z + 24z − 9 14z − 5 → x = 2 − 5z + 3 = = ⎬⇒y= 2y − 8z = −3⎭ 2 2 2 2 14t − 5 ⎧ ⎪x = 2 ⎪ 8t − 3 ⎪ SOL : ⎨y = 2 ⎪ ⎪z = t ⎪ ⎩ Para a ≠ 4 Sistema Incompatible