Integral de Riemann

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> 1.INTEGRAL DE RIEMANN
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> DEFINICIÓN.Un conjunto de puntos P=(x0,x1,...,xn)es una partición
> del intervalo [a,b] si
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> a= xo<x1...<xn=b
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> DEFINICIÓN. Sea f una función acotada en [a,b] y P=(xo,x1....,xn)una
> partición de [a,b]. Definimos las siguientes cantidades para
> i=1,2,...,n,
>
> Mi= sup(f(x):xE(E=pertenece)[xi−1,xi])
> mi =inf(f(x):xE[xi−1,xi])
> ^xi(^=variación)=xi−xi−1
>
> La suma superior asociada a P de f y la suma inferior asociada a P
> de f son,respectivamente,
>
> Uf(P)=EE(=sumatorio)Mi^xi, Lf(P)=EEmi^xi
>
> TEOREMA 1.1 Sea una función acotada en [a,b]. Entonces
>
> sup(P)Lf(P)<=inf(P)Uf(P),
>
> donde el supremo y el ínfimo se toman sobre todas las posibles
> particiones P del intervalo [a,b]
>
> DEFINICIÓN. Si f es una función acotada en [a,b] tal que existe un
> número real I verificando
>
> sup(p)Lf(P)=inf(P)Uf(P)=I,
>
> diremos que f es integrable en [a,b]. Al número I lo llamaremos
> integral (definida)de f en [a,b] y lo escribiremos
>
> I=$(=integral)f=$f(x)dx
>
> OBSERVACIÓN. Si f es integrable en el intervalo, el número I es el
> único que verifica
>
> Lf(P)<=I<=Uf(P) para toda partición P de [a,b].
>
> TEOREMA 1.2 Si f es una función acotada en [a,b] y existe una
> sucesión de particiones (Pn) de [a,b] tales que
>
> lim(n−>inf)Uf(pn)=lim(n−>inf)Lf(pn),
>
1
> entonces f es integrable en [a,b] y además
>
> lim(n−>inf)Uf(pn)=lim(n−>inf)Lf(pn)=$f
>
> TEOREMA 1.3 Si f, g son funciones integrables en [a,b] y cER,
> entonces
>
> 1. f+g es integrable en [a,b] y $f+g= $f+$g
> 2. cf es integrable en [a,b] y $cf= c$f
> 3. /f/(=valor absoluto de f) es integrable en [a,b] y
> $/f/=>/$f/
> 4. fg es integrable en [a,b] y ($fg)**2<=($f**2)($g**2)
>
> OBSERVACIONES. Las propiedades 1 y 2 nos indican que el conjunto de
> las funciones integrables en [a,b] es un espacio vectorial y la
> integral es un operador lineal en este espacio. La propiedad 4 se
> denomina desigualda de Cauchy−Schwarz
>
> TEOREMA 1.4 Si f es una función continua en [a,b], entonces f es
> integrable en [a,b]. De hecho, se tiene el siguiente resultado:
>
> lim(n−>inf)EEf(yi)^xi= $f
>
> donde dada una partición P llamamos delta a la mayor de las longitudes
> ^xi y elegimos puntos cualesquiera yiE[xi−1,xi]. En particular, si
> ^xi=(b−a)/N para i=1,...,n se tiene
>
> lim(n−>inf)(b−a)/nEEf(a+i((b−a)/n))=$f
>
> OBSERVACIÓN. Este teorema también es cierto si f es una función
> continua a trozos.
> DEFINICIÓN. Si a<b y f es una función integrable en [a,b] definimos
>
> b$a f=−a$b f (b y a son los extremos. En los anteriores
> y posteriores casos se entiende que los extremos son estos)
>
> TEOREMA 1.6 Si f es integrable en [a,b], entonces es integrable en
> cualquier intervalo contenido en [a,b]. Además, para todo
> c,d,eE[a,b](sin importar cómo estén ordenados)se tiene
>
> d$c f+ e$d f= e$c f
>
> TEOREMA 1.7 Si f es integrable en [a,b] y m<=f(x)<=M para todo
> xE[a,b+, entonces
>
> m(b−a)<=$f<=M(b−a)
>
> COROLARIO 1.1 Sean f,g funciones integrables en [a,b]
>
> 1. Si f(x)=>0 para todo xE[a,b], entonces $f=>0
> 2. Si f(x)=>g(x) para todo xE[a,b], entonces $f=>$g
>
2
>
> TEOREMA 1.8 (Teorema del valor medio de la integral). Sean f continua
> en [a,b] y g integrable en [a,b] con g(x)=>0 para todo xE[a,b].
> Entonces
>
> 1. Existe c1E[a,b] tal que $f= f(c1)(b−a)
> 2. Existe c2E[a,b] tal que $fg= f(c2)$g
>
>
> TEOREMA 1.9 Si f es integrable en [A,B], aE[A,B] y F(x)=$f(t)dt para
> todo xE[A,B] entonces:
>
> 1. F es continua en [A,b]
> 2. Si f es continua en x entonces F es derivable en x,
> y d(=derivada)F(x)=f(x)
>
> OBSERVACIÓN La parte 2 de este teorema se conoce como teorema
> fundamental del Cálculo.
>
> COROLARIO 1.2 Si f es continua en [a,b] y g y h son derivables en
> [c,d] y con valores en [a,b], entonces la función
>
> A(x)= h(x)$g(x) f(t)dt
>
> es derivable en [c,d] y su derivada es dA(x)=
> f(h(x))dh(x)−f(g(x))dg(x)
>
> TEOREMA 1.10 (regla de Barrow). Sean f y g continuas en [a,b] y g
> derivable en (a,b). Entonces
>
> $f=g(b)−g(a)=:g(x)] con límites b y a
>
> TEOREMA 1.11 (integración por partes). Si df y dg son funciones
> continuas en [a,b] entonces
>
> $f(x)dg(x)dx= f(b)g(b)−f(a)g(a)−$df(x)g(x)dx
>
> TEOREMA 1.12 (cambio de variable). Sea g una función tal que dg es
> continua en [a,b] y sea f integrable en [g(a),g(b)]. Entonces
>
> g(b)$g(a) f(x)dx= $f(g(t))dg(t)dt.
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3