INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DE RIEMANN Definición: Dado un intervalo cerrado [a,b] llamamos partición de [a,b] a todo conjunto finito P={t0,t1,…,tn}⊆[a,b] con t0=a<t1<…<tn=b. Denotamos por P([a,b]) al conjunto de las particiones de [a,b] Definición: Dadas P1,P2∈P([a,b]), decimos que P2 es más fina que P1, denotado por P2 ≥P1, si P1⊆P2 Teorema: P1,P2∈P([a,b]), existe P3 ∈P([a,b]) con P1, P2≤ P3 Definición: Dada f : [a, b] → ℜ acotada y P={t0,t1,…,tn}∈P([a,b]) definimos los siguientes números • mi=Inf{f(x):ti-1≤x≤ti} para i=1,…,n • Mi=Sup{f(x):ti-1≤x≤ti} para i=1,…,n n • I(f,P)= ∑ mi (t i − t i −1 ) (Suma inferior de f para P) i =1 n • S(f,P)= ∑ M i (t i − t i −1 ) (Suma superior de f para P) i =1 Teorema: Dada f : [a, b] → ℜ acotada y P1,P2∈P([a,b]), tenemos i) I(f,P1)≤S(f,P1) ii) Si P1≤ P2 entonces I(f,P1)≤I(f,P2) y S(f,P1)≥S(f,P2) iii) I(f,P1)≤S(f,P2) Definición: Dada f : [a, b] → ℜ acotada definimos la integral inferior de f en [a,b] b como el nº ∫ f =Sup{I(f, P): P∈ P([a,b])} y la integral superior de f en [a,b] como el a b nº ∫ f = Inf{S(f, P): P∈ P([a,b])} a Teorema: En las condiciones anteriores b b a a ∫ f ≤∫ f Definición: En las condiciones anteriores diremos que f es integrable (Riemann) en [a,b] b si ∫ a b ∫ a b f = ∫ f , en este caso definimos también la integral de f en [a,b] como a b b a a f =∫ f =∫ f a Nota: Observemos que ∫ f =0, además, por convenio definiremos a b a a b ∫ f =− ∫ f si a>b FUNCIONES INTEGRABLES Teorema: (Criterio de Riemann) Dada f : [a, b] → ℜ acotada, son equivalentes i) f es integrable en [a,b] ii) ∀ε > 0 ∃P ∈ P([a, b]) t.q. S ( f , P) − I ( f , P) ≤ ε Curso 01/02 - 1er Curso - 1er Cuatrimestre 1/3 INTEGRAL DEFINIDA Definición: Dada f : [a, b] → ℜ acotada definimos para cada n∈ℵ la partición b−a b−a b−a Pn={ a, a + ,a + 2 ,...., a + n = b } y las sumas de Riemann n n n n (b − a ) n Rn ( f ) = ∑ f (ξ i )(t i −1 − t i ) = ∑1 f (ξ i ) donde ξ i ∈ [t i −1 , t i ] ∀i = 1,...n n 1 Teorema: Dada f : [a, b] → ℜ acotada, son equivalentes i) f es integrable en [a,b] ii) lim I ( f , Pn ) = lim S ( f , Pn ) (Además estos límites coinciden con la integral) n n iii) Existe lim Rn ( f ) y es independiente de la elección de los puntos ξ i (Además estos n límites coinciden con la integral) Teorema: Dada f : [a, b] → ℜ acotada y c∈[a,b], se tiene f integrable en [a,b] si y solo si f integrable en [a,c] y [c.d]. Además en este caso b c b a a c ∫ f =∫ f +∫ f Nota: Observemos que por los convenios anteriores la fórmula anterior es valida en todos los casos siempre que tenga sentido la integración. Teorema: Dadas f,g integrables en [a,b], λ,m,M∈ℜ tenemos b b i) λf es integrable en [a,b] y ∫ λf = λ ∫ f a a b ∫ ii) f+g es integrable en [a,b] y a b b f +g =∫ f +∫ f a a b iii) Si m≤f(x)≤M ∀x∈[a,b] entonces m(b-a)≤ ∫ f ≤M(b-a) a iv) Si f(x)≤g(x) ∀x∈[a,b] entonces v) |f| es integrable en [a,b] y b b a a ∫ f ≤∫g b b a a ∫ f ≤ ∫| f | Teorema: Las funciones continuas sobre [a,b] son integrables en [a,b]. Las funciones monotonas sobre [a,b] son integrables en [a,b]. Las funciones con una cantidad finita de discontinuidades sobre [a,b] son integrables en [a,b]. Las funciones con una cantidad infinita numerable de discontinuidades sobre [a,b] son integrables en [a,b]. Teorema: (Criterio de Lebesgue) Dada f : [a, b] → ℜ acotada, son equivalentes i) f es integrable en [a,b] ii) f es continua en casi todo punto de [a,b] Teorema: Como corolario dadas f,g integrables en [a,b] se tiene fg integrable en [a,b] Teorema: (TEOREMA VALOR MEDIO) Dada f : [a, b] → ℜ continua, existe c∈(a,b) con b ∫f = f (c)(b − a) a Curso 01/02 - 1er Curso - 1er Cuatrimestre 2/3 INTEGRAL DEFINIDA TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Definición: Dada f integrable en [a,b], se define la función integral como la función x F(x)= ∫ f definida en [a,b] a Teorema: (TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Dada f integrable en [a,b], tenemos: i) F es continua en [a,b] ii) Si f es continua en c∈[a,b] entonces F es derivable en c y F'(c)=f(c) iii) Si f es continua en [a,b] entonces admite primitiva en [a,b] iv) (REGLA DE BARROW) Si f es continua en [a,b] y G es una primitiva de f en b [a,b] entonces ∫f ( ) = F (b) − F (a) = F ]a b a v) (REGLA DE BARROW) Si f es integrable en [a,b] y G es una primitiva de f en b [a,b] entonces ∫f = F (b) − F (a ) a REGLAS DE INTEGRACIÓN Nota: Estudiar los análogos de integración por partes y cambio de variable para integrales definidas APLICACIÓN DE LA INTEGRAL AL CÁLCULO DE AREAS, LONGITUDES Y VOLUMENES Curso 01/02 - 1er Curso - 1er Cuatrimestre 3/3