TRIGONOMETRÍA ETIMOLOGÍA Trigonometría viene de Tri-gonos = tres ángulos = triángulo y de metros = medir Es decir, significa medida de ángulos DEFINICIÓN La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. MEDIDAS DE ÁNGULOS: •SISTEMA SEXAGESIMAL •SISTEMA CENTESIMAL •RADIANES •SISTEMA SEXAGESIMAL La circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada una de ellas es un grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En la calculadora aparece con la denominación DEG Notación: 30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’ RADIANES Un radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia Una circunferencia mide 2p radios y como cada radio da lugar a un radián: R R 360º equivalen a 2p radianes ¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián? 360º ___________ 2p rad xº ___________ 1 rad x = 360º/2p = 57,29º SISTEMA CENTESIMAL 100º Cada cuadrante se divide en 100 partes. 0º En la calculadora aparece con la denominación GRA. 200º 400º 300º Actualmente apenas se utiliza. p De la misma manera, los siguientes ángulos son equivalentes : 0 p p 180º ________ p rad p 90º 30º ________ ________ p/2 rad p p p6 p/6 rad 0 p p 60º ______ 2p/6 =p/3 rad p p 0 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS p/3 p/6 triángulo rectángulo definimos las En un siguientes razones trigonométricas del ángulo 0 $1$ agudo 2p a: cateto opuesto y sen α hipotenusa h 3p/2 cos α tg α cateto contiguo x x hipotenusa h cateto opuesto y sen α cateto contiguo x cos α h y a x p 0 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS p/3 p/6 Así mismo definimos las razones trigonométricas recíprocas: 0 $1$ 2p 1 h cosec α sen α y 3p/2 sec α 1 h cos α x x 1 x cotg α tg α y h y a x 3 p /2 Construimos triángulos rectángulos semejantes que contengan al ángulo a. Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que: y a x tg α y y' y' ' x x' x' ' Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se calculen. Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo diferencian de los demás ángulos. x' y' y'' x'' Circunferencia goniométrica De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la unidad. De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos: y sen α 1 x 1 cos α tg α y sen α R=1 x cos α y y' aplicando Thales tg α tg α y' x 1 IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad: +cos2a sen2a = 1 Dividiendo ambos miembros entre sen2a: 1 + cotg2a = cosec2 a Y dividiendo entre cos2a: tg2a + 1 = sec2a Como consecuencia de la primera igualdad se cumple: -1 ≤ sen a≤ 1 -1 ≤ cos a ≤ 1 RAZONES DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES DEL 1er CUADRANTE •ÁNGULO DE 60º Consideremos un triángulo equilátero de lado la unidad. Calculamos su altura h aplicando Pitágoras: 1 1 3 3 h 1 1 4 4 2 2 2 2 Hallamos las razones del ángulo de 60º en el triángulo rectángulo de la izquierda: sen60º h h 1 cos60º 1/2 1 1 2 tg60º h 1/2 3 2 3 2 1/2 3 •ÁNGULO DE 30º Consideramos el mismo triángulo rectángulo que para el ángulo de 60º ya que su complementario es el de 30º: 12 1 sen 30º cos 60º 1 2 h 3 cos 30º h sen 60º 1 2 12 1 tg 30º ctg 60º 3 2 3 •ÁNGULO DE 45º Consideramos un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa la unidad Aplicando Pitágoras: 1 x 1 2x 2 x + 2 x 2 2 1 2 2 2 Las razones del ángulo de 45º serán: x 2 sen 45º cos 45º x 1 2 x tg 45º 1 x R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 Y A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 sen a a sen 0º = 0 radio=1 O cos a Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, P(x,y) sen a sen a sen a sen a cos 90º = 0 X cos 0º = 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º (0,1) Ángulo coseno seno tangente 0º 1 0 0 90º 0 1 ∞ 180º -1 0 0 270º 0 -1 ∞ (-1,0) (1,0) (0,-1) SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. Y1 B sen g b g a cos b O d C cos a -1 sen a cos g -1 A cos d D 0 1 1 sen a 1 1 sen d sen b El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 X 1 cos a 1 + _ + _ _ + _ + SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO -1 TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. cotg d cotg b cotg g Y cotg a tg g B A a 1 d La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor . D tg b tg d O C tg a + tg a b g X cot g a + _ + _ + TANGENTE Y COTANGENTE REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS a+b90º b90º - a sen a = cos ( 90º - a ) cos a = sen ( 90º - a ) tg a = ctg ( 90º - a) b) ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE b1) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS a+b180º b180º - a sen (180º - a ) = sen a cos (180º - a ) = - cos a tg (180º - a ) = - tg a GEOGEBRA HTML b2) ÁNGULOS a y p/2 + a sen ( p/2 + a ) = cos a cos ( p/2 + a ) = - sen a tg ( p/2 + a ) = - cotg a c) ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE c1) a y 180º + a sen (180º + a ) = - sen a cos (180º + a ) = - cos a tg (180º + a ) c2) a y = tg a 270 - a sen (270º-a) = - cos a cos (270º-a) = - sen a tg (270º-a) = cotg a d) ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE d1) a y 270 + a sen (270 + a) = - cos a cos (270 + a) tg (270 + a) d2) a y = sen a = - ctg a 360 – ao a sen (360º - a) = - sen a cos (360º - a) = tg (360º - a) cos a = - tg a FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y = cos x y = tg x y = sen x