GUÍA8 8°

Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE QUIBDÓ
SUPERFICIE, PERÍMETRO Y ÁREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
SUPERFICIE
Se entiende por superficie, la parte exterior de un cuerpo o figura geométrica. También suele
considerarse como el contorno que delimita el espacio interior del exterior de un cuerpo o figura
geométrica. Hay superficies: Cuadradas, rectangulares, circulares, triangulares, etc.
CONTORNO: conjunto de líneas que delimitan una figura geométrica.
Veamos:
PERÍMETRO
El perímetro es la medida (longitud) del contorno de una figura o cuerpo geométrico.
El perímetro se halla, sumando todos los lados que posee una figura geométrica.
x
k
y
P=kxyz
P  perímetro
z
EJEMPLO
Para cada figura, hallemos el perímetro.
5cm
14c
4x  1
19cm
9cm
11,18cm
2x  2
15m
5x  4
Fig. a
Solución:
Fig. b
Suma vertical
Para la figura a :
Sea P = perímetro, entonces:
P  5cm  15cm  19cm  11,18cm  9cm  14cm  73,18cm
Para la figura b :
Sea P = perímetro, entonces:
P  4x  1  5x  4  2x  2  11x  1
1
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EJERCICIO
Para cada figura, halle el perímetro:
8,705cm
5m
11,18m
11m
5m
6,956cm
11,25cm
10m
3,45cm
3,98cm
5, 56m
3x 4
x1
2x  2
10, 64m
ÁREA
El área es la medida de la superficie de una figura geométrica. También puede considerarse el área,
como la región delimitada (comprendida) por líneas poligonales.
El área siempre involucra dos
dimensiones, por eso, se expresa en
unidades al cuadrado  u2.
u = unidad
El área se refiere al
tamaño de la figura
A
A
A
A
SUMA Y RESTA DE ÁREAS
Consideremos la siguiente figura:
A1
A2
A T = A 1  A 2. Suma de todas las áreas
A 1 = A T  A 2. Área total menos área dos
A 2 = A T  A 1. Área total menos área un
A T  Área total
EJEMPLO
Para cada figura, realicemos el cálculo exigido.
18m 2
15,24m 2
AT =?
Fig. a
Fig. b
2
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Solución:
A cada término del sustraendo
se le cambia el signo y se suma común y
corriente.
Para la figura a :
A1  18m 2
y
Sustracción vertical:
A2  15,24m 2
AT  A1  A2  18m 2  15,24m 2  33,24m 2
+
Para la figura b :
AT  2 x 2  3 x  14
y
A2  x 2  3 x  11
AT  A1  A2  A1  AT  A2  2 x 2  3 x  14  ( x 2  3 x  11)
A1  2 x 2  3 x  14  x 2  3 x  11  x 2  3
EJERCICIO
Para cada figura, halle el área exigida:
38,4 cm 2
15m 2
44 cm 2
8m 2
35 cm 2
AT = ?
AT = ?
A1 =?
A2 = ?
54 cm 2
25,8m 2
43,88m 2
A1 =?
AT =43,4 m 2
AT =79,56m
AT =135cm 2
2
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO
h
b
Base: Área sobre la cual descansa un
cuerpo o figura.
Altura: Es la distancia perpendicular que
hay desde la base hasta el punto más
alto que alcanza un cuerpo.
b  Base
h  Altura
A = bh. Base por altura
El área de un rectángulo se halla
multiplicando la base por la altura.
Como el perímetro es la suma de todos
los lados, entonces:
P = b  b  h  h = 2b  2h
P = 2b  2h
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EJEMPLO 1.
Hallemos el área y el perímetro de un rectángulo que tiene 5,64cm y 8cm de lado.
Solución:
A  ?.
P?
b  5,64cm.
h  8cm
A  bh  5,64cm8cm  45,12cm 2 .
P  2b  2h  25,64cm  28cm  11,28cm  16cm  27,28cm
EJEMPLO 2.
La siguiente figura muestra las dimensiones de un salón múltiple de un colegio.
6m
15m
Hallemos:
a) El área de la salón múltiple
b) Si se desea embaldosar el salón con baldosas de dimensiones:
51,5cm x 51,5cm, ¿cuántas baldosas aproximadamente se
necesitan?
c) Si cada baldosa tiene un costo de $120,86. ¿Cuánto dinero se
necesita par embaldosar el salón?
d) Un vagabundo que desee dar cuatro vueltas y media al salón,
¿cuántos metros recorre?
Solución:
a) Como el salón tiene forma rectangular, el área se calcula multiplicando la base (15m) por la
altura (6m)
A1  bh  15m(6m)  90m 2  900000cm 2 este es el área del salón
b) Las dimensiones de las baldosas indica que tienen forma cuadrada.
A2  51,5cm(51,5cm)  2652 ,25cm 2
51,5cm
área de cada baldosa
51,5cm
Para hallar la cantidad de baldosas que se necesitan para embaldosar el salón, aplicamos una regla de
tres simple directa entre el área A1 (salón) y A2 (una sola baldosa)
A1  90m 2  900000cm 2
Baldosa
1
x
cm 2
2652,25
900000
1  m 2  10000cm 2
De donde : x 
1  900000
 339,33  340 baldosas que se necesi tan
2652,25
c) Como cada baldosa cuesta $120,86. Para comprar las 340 baldosas se necesita:
340(120,86)  $41092,4  $42000
d) Para determinar los metros que recorre el vagabundo al dar 4 vueltas y ½ al salón, primero
calculamos el perímetro del salón:
P  15m  6m  15m  6m  42m dis tan cia que recorre en una sola vuelta
En media vuelta recorre : 21m
En las 4 vueltas y 1 / 2 recorre :
4(42m)  21m  189m
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EJERCICIOS
1. Halle el área y el perímetro de un rectángulo que tiene 5m y 3m de lado.
2. El lado mayor de un rectángulo mide 14,68cm. Si el lado menor mide la mitad del mayor, halle el
área y el perímetro.
3. El lado mayor de un rectángulo excede al menor en 5m. Si el menor mide 8m, halle el área y el
perímetro.
4. El lado menor de un rectángulo mide 2,04cm. Si el mayor es tres veces el menor, halle el área y el
perímetro.
5. Identifica los escenarios deportivos de tú ciudad que tienen forma rectangular, mide las
dimensiones, calcule el área y el perímetro.
6. Las dimensiones del piso de un coliseo miden 30,5m y 18,5m.
a)
b)
c)
d)
e)
Halle el área del piso del coliseo.
¿Cuántas baldosas de dimensión 49,35cm x 49,35cm se necesitan para cubrirlo?
Si un metro de baldosa trae 5 baldosas, ¿cuántos metros se necesitan?
Si cada metro de baldosa cuesta $ 30000, ¿cuánto dinero se necesita?
Una persona que desee recorrer 4Km alrededor de la pista del coliseo, ¿cuántas vueltas
debe dar?
7. Halle el área total de la parte sombreada (pintada):
4m
7, 4m
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
h
El área de un paralelogramo es
igual al producto de la base por la
altura.
b
EJEMPLO
El área de un paralelogramo mide 100m 2. Si la altura mide 12m, halle la base.
Solución:
A  100 m 2 .
h  12 m
b?
b
A
h

100 m 2
12 m
 8,33m.
La base mide 8,33m
EJERCCIOS
1. Halle el área de un paralelogramo que tiene 6m de base y 2m de altura.
2. El área de un paralelogramo mide 80m 2. Si la altura mide 13m, halle la base.
3. El área de un paralelogramo mide 54,88cm 2. Si la base mide 9m, halle la altura.
4. Un paralelogramo tiene una base 123,48cm. Si su altura es 2/5 de la base, halle el
área.
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ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Consideremos el siguiente rectángulo:
r
H
B
B
r
h
R
b
H
h
R
b
La diagonal BH divide el rectángulo en dos triángulos
iguales, por eso, el área de un triángulo es la mitad del
área de un rectángulo.
El área de todo triángulo es la mitad del área del rectángulo que lo contiene.
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Hipotenusa: Lado más largo.
Hipotenusa
Cateto El área de un triángulo rectángulo es igual al
semiproducto de los catetos.
Semiproducto: Es la mitad del producto.
Cateto
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA
B
a
c
1
A
El área de cualquier triángulo se
halla multiplicando la base por la
altura y dividiendo este producto
por dos
h
b
P=abc
C
B
h
A
b
C
ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS
Consideremos el triángulo (1), la siguiente expresión permite calcular el área en función de
los lados a, b y c: A  P( P  a)( P  b)( P  c) . Donde P es el semiperímetro del triángulo.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS
h  b2 P( P  a )( P  b)( P  c) . Altura con respecto al lado b. El denominador es c, para el
lado c y a, para el lado a. Donde P es el semiperímetro del triángulo.
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EJEMPLO
Para cada triángulo, hallemos el área.
20m
8m
5,4cm
12,4cm
16m
Fig. a
Fig. b
Solución:
Para el triángulo a : conocemos la base y la altura.
Sea b  12,4cm
y h  5,4cm. Entonces :
(12,4cm)(5,4cm) 66,96cm2
A  bh


 33,48cm 2
2
2
2
Para el triángulo b : conocemos los tres lados.
Sea a  26m, b  16m
y c  8m. Entonces :
8  44  22m. Luego :
P  a 2bc  2016
2
2
A  P ( P  a )( P  b)( P  c)  22( 22  20)(22  16)(22  8)
A  22(2)(6)(14)  3696  60,79m 2
Altura de un triángulo equilátero
EJERCICIOS
3 l
h
1. Halle el área y el perímetro de cada triángulo:
 Base 9cm, altura 10cm.
 Base 6,23m, altura 5,45m.
 Catetos: 7cm y 4cm.
 Lados 9m.
 Lados 16cm.
2
3  1,73
Área:
3 l 2
A
4
2. Utilice los datos presentados y calcule el dato desconocido:
 A = 8m 2,
b = 3m,
h = ?.
 A = 9,4m 2, b = ? ,
h = 2m.
2A
2
b
.
 A = 25m , b = 4m, h = ?.
h
2
 A = 36cm , b = ?,
h = 6cm.
h
2A
b
3. Para los lados de cada triángulo, halle el área y la altura con respecto a un lado
 Lados: 5cm, 16cm y 25cm
 Lados: 10m, 8m y 7m


19
25
Lados : 12
5 cm, 4 cm y 4 cm
Lados: 10,5m; 7,8m y 17,86m
4. Halle el área total de la región sombreada (pintada):
5m
10m
5m
8m
14m
10m
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ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CUADRADO
k
A=k

k = k2
A = k2
k
A
k
El área de un cuadrado es
igual al cuadrado de la
medida de su lado
P = k  k  k  k = 4k
P = 4k
k
EJEMPLO 1.
Hallemos el área de un cuadrado de 4,68cm de lado
Consideremos la siguiente figura.
Solución:
4,68cm
EJEMPLO 2.
Calculemos el lado del siguiente cuadrado.
Solución:
EJERCICIOS
1. Para cada cuadrado, halle el área y el perímetro:
a) Lado: 4cm. b) Lado: 3,64m. c) Lado: 9,642m.
2. Las áreas que se relacionan a continuación pertenecen a cuadrados, para cada una ,
halle el lado y el perímetro:
a) A = 25cm 2. b) A = 64 m 2. c) A = 90m 2.
4. Calcule el área de la región sombreada.
9,6m
4,8m
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ÁREA DE UN ROMBO
El área de un rombo es igual al
semiproducto de las diagonales
EJEMPLO
La diagonal mayor de un rombo excede a la menor en 4,25cm. Si la diagonal menor mide 5cm, hallemos
el área del rombo.
Solución:
. Como la diagonal mayor excede a la menor en
4,25cm, entonces:
Aplicando la fórmula:
EJERCICIOS
1.
Las diagonales de un rombo miden 9m y 4m. Halle el área.
2.
La diagonal mayor de un rombo excede en 9cm a la menor. Si la diagonal mayor
mide 15cm, halle el área del rombo.
3.
La diagonal mayor de un rombo mide 18m. si diagonal menor equivale a las dos
terceras partes de la mayor, calcule el área del rombo.
4.
El área de un rombo mide 400m 2. Si la diagonal menor mide 20m, halle la diagonal mayor.
5.
El área de un rombo mide 36,64cm 2. Si la diagonal mayor mide 14cm, calcule la
diagonal menor.
ÁREA DE UN TRAPECIO
b
h
B
El área de un trapecio es igual al
producto de la semisuma de las
bases por la altura
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EJEMPLO
Calculemos el área de un trapecio cuyas bases miden 4m y 10m , y tiene 5m de altura
Solución:
A  ?.
A
b  4m.
B  10 m.
h  5m
B  bh  10m  4m  5m  14m  5m  70m 2
2
2
2
2
 35m 2
EJERCICIOS
1.
Las bases de un trapecio miden 8m y 12m, si la altura mide 4m, halle el área.
2.
Si las bases de un trapecio miden 4,64cm y 8,04cm y su altura es de3,62cm, ¿cuál es la medida
del área?.
3.
La base mayor de un trapecio excede a la menor en 4. Si la base mayor mide 20cm y el trapecio
tiene una altura de 8cm, halle el área.
4.
El área de un trapecio mide 27cm2. Si la base mayor y la altura miden 12cm y 3cm,
respectivamente, determine el valor de la base menor.
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN POLÍGONO REGULAR
L
L
L
L
L
a
El área de un polígono regular es igual al
semiproducto del perímetro por la
apotema
L
Apotema: Segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados.
a  32L . Expresión que permite calcular la apotema de un hexágono regular.
EJEMPLO
Determinemos el área de un pentágono regular de 15m de lado y 6m apotema.
Solución:
15m
6m
15m
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EJERCICIOS
1.
2.
Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de14m de lado y 12m de
apotema.
Halla el área y el perímetro de un hexágono regular de 20cm de lado.
3.
Halla el área y el perímetro de un heptágono de 18m de lado y 18,72m de apotema.
4.
Halla el área y el perímetro de un pentágono de 13,8cm de apotema y 20cm de lado.
5.
Encuentra la medida del lado de un polígono de 12 lados, si se sabe que la apotema
mide 7cm y el área es de 168cm 2.
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CÍRCULO
r
Diámetro
El área de un círculo es igual al producto del número  por el radio al cuadrado.
EJEMPLO
Calculemos el área y el perímetro de un círculo de 4,7m de radio.
Solución:
A  ?.
P  ?.
r  4,7 m


A   r 2  3,144,7 m   3,14 22,09 m 2  69,362 m 2
2
P  2 r  23,14 4,7 m   29,516 m
EJERCICIOS
1.
Calcule el área y el perímetro de un círculo si se sabe que el radio mide 5m.
2.
El diámetro de un círculo mide 7cm, halle el área y el perímetro.
3.
Halle el área de un semicírculo de 9m de diámetro.
4.
El área de un círculo mide 50,24m 2. Halle: El radio, el diámetro y el perímetro.
5.
Si el radio de una circunferencia se duplica, ¿qué sucede con el área del círculo
Correspondiente?.
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ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR
R
r
El área de una corona circular es igual
Rr
al producto del número  por la
diferencia de los cuadrados de los
radios
EJEMPLO
Hallemos el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas cuyos radios miden
3cm y 5cm.
Solución:
A  ?.
R  5cm.
r  3cm.


 
A   25cm  9cm   16 cm .
A   R 2  r 2   5cm  3cm
2
2
2
2
2
EJERCICIOS
1.
Los radios de dos circunferencias concéntricas miden 2m y 6m. Calcule el área de la corona
circular que forman.
2.
Los diámetros de dos circunferencias concéntricas miden 4m y 7m. Halle el área de la corona
circular que forman.
3.
Halla el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas de 7cm y 14cm
de diámetros, respectivamente.
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
A
1
3
r
S
º
B
El área de un sector circular es igual al semiproducto del
cuadrado del radio por el ángulo central
  ángulo central
12
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EJEMPLO 1.
Calculemos el área del siguiente sector circular.
Solución:
Como el ángulo central está expresado en grados, hacemos uso de
5m
70 º
la fórmula:
, donde:
EJEMPLO 2.
Hallemos el área del siguiente sector circular.
Solución:
Como el ángulo central está expresado en radianes, hacemos uso de
la fórmula:
, donde:
EJERCICIOS
1.
El ángulo central de un círculo de 4cm de diámetro mide 60º. Halle el área y la
longitud del arco que forma.
2.
El radio de un sector circula mide 10m. Si el ángulo central mide rad., calcule el
área y la longitud del arco.
3.
Calcule la longitud del arco y el área de un sector circular, si el radio mide 3m y el ángulo central

4
4.
rad .
La longitud del arco de un sector circular mide 20m. Si el ángulo central mide

6
rad , halle el radio y el área.
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
R
º
r
Rr
El área de un trapecio circular es igual al semiproducto del
ángulo central por la diferencia de los cuadrados de los
radios
13
  ángulo central
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EJERCICIOS
1.
Los radios de dos circunferencias concéntricas miden 8m y 16m. Si el ángulo central que forman
los radios mide 80º, halle el área del trapecio circular que forman.
2.
Halle el área de un trapecio circular limitado por dos circunferencias concéntricas de 4m y 10m
de radios, si el ángulo central que forman mide 120°
3.
Los diámetros de dos circunferencias concéntricas miden 4cm y 16cm. Halle el área del trapecio
circular que forman los radios, si el ángulo central mide
2
.
3
ÁREA DE UNA LÚNULA
El área de un huso esférico se calcula mediante la fórmula: A  2 R 2 .
De donde  (en radián) es el ángulo diedro formado por las dos medias
circunferencias máximas, y R es el radio.

R
Para  en grados: A 
 R 2
90
.
Cuando  = 2, es decir, si la segunda circunferencia se ha movido una circunferencia entera, el área es:
A  4 R 2 , o sea, la de una esfera.
ÁNGULO DIEDRO: Ángulo formado por dos semiplanos.
EJERCICIOS
1. Dos círculos de 7cm de diámetros se intersecan formando un ángulo de 90°. Grafique la situación y
halle el área de la lúnula formada.
2. Dos círculos de 9,25m de radios se intersecan formando un ángulo de 2/3. Grafique la situación y
halle el área de la lúnula formada.
3. Halle el área de la lúnula mostrada en la figura:
17,5cm
70°
ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA EMBECADURA
EJERCICIOS
r
r
 El radio de una embecadura mide
4cm. Halle el área y el perímetro.
 Halle el área y el perímetro de una
embecadura de 5m de radio
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ÁREA DE UNA ELIPSE
EJERCICIOS
1.
Los diámetros de una elipse miden 7cm y 14cm. Halle el área y el perímetro
2.
Calcule el área y el perímetro de una elipse cuyos radios miden 3,6m y 4,9m.
3.
El diámetro mayor de una elipse excede en 3m al menor. Si el diámetro mayor mide 8,54m, halle
el área y el perímetro de la elipse.
Ruta 1
A
R
56,80m

6,80m
u
3,5m
2,60m
10,70m
t
5,60m
4m
a
2m
11,30m
3,80m
1,8m
31,10m
7,20m
5m
5,40m
B
10,50m
¿Qué
ruta
recomendarías
visitante?
8,50m
3m
4,20m
4,20m
Un
visitante
se
encuentra en el
punto A, y desea
desplazarse al punto
B.
Pero,
quiere
escoger la distancia
más corta.
3,90m
3,20m

le
al
9,80m
12m
La figura, representa un plano de un centro recreacional. Halle el área total construida.
ÁREA LIMITADA POR DOS O MÁS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
AS  Ama  Ame .
AS  Área de la región sombreada.
Ama  Área de la figura mayor.
Ame  Área figura menor
PROCEDIMIENTO:


Calcule el área de la figura mayor, y el área de la menor.
Establezca la diferencia (resta) entre las áreas.
15
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Para cada figura, halle el área de la región sombreada.
3
4
1
15m
16m
2
8m
9m
8m
15m
5m
20m
5
6
7
5m
8
6m
7,2 m
10m
3m
7m
5m
18 cm
10
11
10m
9
3m
6m
7m
12m
12
13
20m
14
7m
106°
3m
5m
7m
4m
ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- ÁREA
En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el álgebra y la geometría.
Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre las principales figuras geométricas planas
realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con los mismos
conceptos que sobre áreas y perímetros conocemos de cada figura.
PERÍMETRO
El perímetro de una figura se halla sumando todos los lados.
EJERCICIO
Escribamos la expresión algebraica que representa el perímetro de cada figura y calculemos el valor
numérico del mismo para los valores asignados:
x
y
z
1
x = 3m, y = 2m, z = 1m
Solución:
P = x  y  z. Expresión algebraica del perímetro de la figura.
16
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
2x  8
x1
2
2x
4x  7
Solución:
P = 2x  2x + 8  x  1  4x  7 = 9x + 2.
Expresión algebraica
3x
3 P = 9x + 2 = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29m
x
2x  1 2
x
4
x 2
x 1
25x  5
x
5
2x  4
2x
8z 1
6
5y  2
7
x4
x2
x1
4x  4
4x  12
8
4x  2
2x  3
5
9
2x  3
x3
x1
11
10
5
4y  4
12
2x 2
1
4
4y  3
1
3
3z 11
17
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
ÁREA TOTAL
El área total de una figura geométrica es igual a la suma de las áreas de las regiones en que esta
se ha subdividido (suma de todas las áreas).
AT = A1  A2  ...
A1 = AT  A2.
De donde:
A2 = AT  A1
EJERCICIO
Para cada figura, hallemos el área indicada:
4x2  2xy  4
2
x2  4xy
x2
1
x2  8
AT = ?
AT = ?
8x2  2xy  1
7y2  3xy  9
3
4
A1 = ?
A2 = ?
AT = 11y2  2xy  9
AT = 10x2  2xy  2
5
3x2  2xy  1
2x2  1
5x2  xy  2
AT = ?
ÁREA
Aplicando el concepto y la fórmula de área para cada figura, hallemos la expresión algebraica
que representa el área y calculemos la misma para los valores asignados.
Recordemos que:
 El área se expresa en unidades cuadradas.
u2 = Unidad cuadrada.
 Después de reemplazar las letras por su valor numérico y realizadas las operaciones indicadas, al
número que resulta se le agrega u2.
EJEMPLO
Hallemos la expresión algebraica que representa el área de cada figura, y además el valor de las misma
para los valores indicados.
3
2
1
x
2x  2
VALORES
8x  6
x=2
2y  1
18
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
Solución:
La figura 1 es un rectángulo:
La figura 2 es un círculo:
La figura 3 es un cuadrado:
k  2y 1
A  k 2  A  (2 y  1) 2  4 y 2  4 y  1
Para y  1 :
 A  4y 2  4y  1.... exp resión
A  4(1) 2  4(1)  1  4(1)  4  1  4  4  1  9u 2
 A  9u 2
EJERCICIO
Para cada figura, halle la expresión algebraica que representa el área y el perímetro si es posible.
Además, determine el valor numérico para los valores indicados.
VALORES:
1
2
y2
3x  1
x = 2, y = 1
y
x
4x  1
4
6x
6
3
x6
10x  3
y1
4x  1
5
3x  5
8
7
3y 1
9
y
2x  1
2y  3
10
y6
2x  3
8x  1
13
x 2
x
15
x2
11
x7
x 7
16
2x  3
2x
x1
4x  2
3x  2
18
14
5
8x  6
4x  3
5x  3
2x
20
19
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
17
x 2
x1
2x  5
8
19
x 7
21
2
22
x 4
2/3
2
x 1
2x  9
x
RECUERDE  PRODUCTOS NOTABLES
2.
a  b 2  a 2  2ab  b 2 . a  b 2  a 2  2ab  b 2 .
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 . a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 .
3.
x  a x  b   x 2  bx  ax  ab  x 2  (b  a) x  ab
1.
ÁREA LIMITADA POR DOS O MÁS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Área limitada por dos figuras geométricas = Área figura mayor  área figura menor
AS  Ama  Ame .
AS  área región sombreada.
Ama  área figura mayor.
Ame  área figura menor.
EJERCICIO
Para cada figura, halle el área de la región sombreada:
1
3x  2
x+3
2x +1
2
x1
x
3
4x 6
2x  2
x5
x 1
r=a
4
x  12
3x +2
6
x +1
5
x
3x + 2
4x  3
x+3
7
8
x+1
9
20
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
ÁREA DE FIGURAS IRREGULARES
Llamaremos figuras irregulares a aquellas formas geométricas que carecen de un patrón definido, y por
ende, no tienen una expresión (fórmula) que permita calcular su área.
Veamos:
Para estas figuras geométricas, no existen fórmulas que permitan hallar el área.
CÁLCULO APROXIMADO DEL ÁREA DE UNA FIGURA IRREGULAR
No existe un fórmula mágica que permita determinar o calcular el área de una figura irregular, la
destreza del interesado juega un papel muy importante en esta tarea. No obstante, la comprensión del
procedimiento que a continuación se describe facilita el trabajo.



En el interior de la figura irregular, se trazan figuras regulares (rectángulos, cuadrados,
triángulos, rombos, trapecios y semicírculos principalmente).
Se miden las dimensiones necesarias para hallar el área de las figuras regulares trazadas.
Se calcula el área de cada figura regular construida, y se hace una suma.
EJEMPLO
Hallemos el área aproximada de la siguiente figura.
0,2m
2,32m
1,2m
0,25m
9,13m
Minimizando y
separando las figuras
0,2m
0,7m
0,5m
2,98m
0,4m
6,25m
3,4m
0,91m
3,1m
0,9m
6,13m
0,41m
0,56m
3,3m
0,2m
0,38m
8,39m
3,5m
3,8m
0,18m
0,37m 3m
Orden seguido para calcular las áreas, y de adentro hacia
Como se puede observar, la figura irregular se ha dividido en 1 trapecio y 12 triángulos. Calculando las
áreas:
Trapecio:
A
( B  b)h (9,13  8,39)(3,1) (17,51)(3,1)


 27,14m 2
2
2
2
21
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
Para los triángulos:

bh

(3,4)( 0, 41)
2

2
 0.67 m .
(3,8)( 0,37 )
(0,9)( 0,2)
(1,2)( 0, 25 )
2
2
 1.71m .

(3,5)( 0,38 )
2
2
 0.7 m .

(3)( 0,18 )
2
 0.09 m .

2
 0.27 m .
(0,91)( 0,2)

2

(0,2)( 2,32 )
(3,3)( 0,7)
2
 1.15 m .
2
2
 0.09 m .

2
 0.15 m .
2
 0.72 m .
2
2
2

(6,13 )( 0,56 )
2
2


(6, 25 )( 0,5)
2
 1.56 m .
2
 0.23 m
2
2

( 2,98 )( 0,4)
 0.59 m
2
2
Sumando las área se tiene que: 35,07m 2 . Esta es el área aproximada de la figura
Halle el área aproximada de las figuras irregulares anterior
22
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
PRINCIPALES POLÍGONOS
INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE QUIBDÓ
Polígono: Figura cerrada que tiene varios lados.
Figura
Nombre
h
Polígono regalar: Es aquel que tiene sus lados iguales (la misma medida)
Características
Área
Triángulo
Tiene tres lados, tres ángulo y tres vértices
Triángulo
rectángulo
Tiene un ángulo recto(90º)
b
Tiene dos lados iguales.
Triángulo isósceles En este triángulo, los ángulos de base son
iguales
Tiene tres lados iguales.
Triángulo
En este triángulo todos los ángulos son iguales,
equilátero
y mide cada uno 60°.
h
Cuadrilátero
Tiene cuatro lado
Rectángulo
Cuadrilátero que tiene los cuatro ángulos
iguales y los lados paralelos iguales dos a dos
.
A  bh
2
A
b = base. h = altura
Suma de todos los lados
A  bh
2
Suma de todos los lados
A  bh
2
Suma de todos los lados
3 k2
.
4
k = lado
A  bh
b = base. h = altura
Tiene sus lados paralelos e iguales dos a dos
A  bh
Suma de todos los lados
Trapecio
Tiene un par de lados opuestos paralelos
B = base mayor. b = base menor
A  B2b h
Suma de todos los lados
Cuadrado
Tiene 4 lados y 4 ángulos iguales
Paralelogramo
B
k
P  3k
P  2b  2h  2(b  h)
b
b
h
P = perímetro
Suma de todos los lados
b
h
Perímetro
A  k2
k = lado
P  4k
23
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
Figura
D
d
Nombre
Características
Área
Perímetro
Rombo
Tiene 4 lados iguales y los ángulos
contiguos desiguales
A  Dd
2
Suma de todos los lados
Pentágono regular Tiene 5 lados iguales
A
a
n = número de
lados.
l = longitud del lado.
apotema.
Hexágono regular
Círculo
d = Diámetro
Rr
R
Corona circular
r
r
nla
.
2

°
Tiene 6 lados iguales
A
Conjunto de puntos de la circunferencia
que lo circunda y los puntos interiores a A   r 2 .
esta
r  radio.
Sector circular
Región delimitada por dos radios
  r 2
P  nl
nla
2
P  2 r
  3,1459...
d  2r  r 
ó
A
la longitud del lado
a=
d
2
Región delimitada por dos circunferencias A   ( R 2  r 2 ) . R = radio mayor.
concéntricas
Rr
r = radio menor.
A
P  nl : El número de lado multiplicado por
P  2 ( R  r )
 r2
 en radianes.
P  2    r .
La primera para ángulo central
S    r longitud del arco
expresado en grados y la segunda,
S = arco
para radianes
360
2
24
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
Figura
Nombre
Características
Área
Perímetro
Rr
R º
r
Trapecio circular
Lugar geométrico de los puntos
Elipse
P   ( R  r )  2( R  r )
Región
delimitada
por
dos
  ( R2  r 2 )
 ( R2  r 2 )
A
ó A
360
2
circunferencias concéntricas y dos
La
primera
para
ángulo
central
expresado
radios
en grados y la segunda, para radianes
del plano cuya suma de distancias
a otros dos fijos llamados focos es
n = número de lados.
A  Dd .
a = apotema.
l = longitud del lado.
 en radianes
2
2
P  2 D 2d
constante.
Ruta 1
A
R
u
t
a
56,80m

6,80m
2,60m
10,70m
2
5,60m
¿Qué ruta le recomendarías al visitante?
4m
2m
11,30m
3,80m
Un visitante se encuentra en el punto A,
y desea desplazarse al punto B. Pero,
quiere escoger la distancia más corta.
3,5m
1,8m
31,10m
7,20m
5m
5,40m
3m
B
10,50m
Identifica todos los rectángulos
que puedas
8,50m
4,20m
3,20m

4,20m
3,90m
9,80m
12m
La figura, representa un plano de un centro recreacional. Halle el área total construida.
Identifica todos los triángulos
que puedas
25
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
ÁREA LIMITADA POR DOS O MÁS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
AS  Ama  Ame .
AS  Área de la región sombreada.
Ama  Área de la figura mayor.
Ame  Área figura menor
PROCEDIMIENTO:


Calcule el área de la figura mayor, y el área de la menor.
Establezca la diferencia (resta) entre las áreas.
Para cada figura, halle el área de la región sombreada
15m
16m
9m
8m
8m
15m
5m
20m
Triángulo equilátero
5m
6m
7,2 m
10m
3m
7m
5m
60°
18 cm
10m
3m
7m
6m
12m
20m
7m
106º
7m
5m
4m
3m
20cm
12cm
10cm
26
Racapeas – matemática --- geometría -- 2011
ALGEBRA Y GEOMETRÍA
PERÍMETRO:
Para cada figura, halle el perímetro.
x +1
1
2
x
3
25x  5
x
2x  1
2x  4
2x
x4
7
8x  2
3
2x  3
2x 2
2x  3
3z 11
x
x 2
6
5
4
3x
9
Área
4x  4
x1
4x  12
Para cada figura, halle el área:
x7
3y 1
2x  3
x1
8x  1
2y  1
x+2
x 2
3x  2
x 7
2x  3
5
4x  3
2x
5x  3
2𝜋
3
x 4
4x+6
X+1
x
4x +2
RECUERDE  PRODUCTOS NOTABLES
x 2
2x  5
𝒂+𝒃
𝟐
= 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 .
𝒂+𝒃
𝟑
= 𝒃𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 .
𝒂−𝒃
𝟐
= 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝒂−𝒃
𝟑
= 𝒃𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
𝒙 + 𝒌 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒌𝒙 + 𝒃𝒌
ÁREA LIMITADA POR DOS O MÁS FIGURAS GEOMÉTRICAS
x5
3x  2
x+3
x  12
2x +1
x+1
x
4y  2
5
2x  2
r=a
3x +2
4x  3
2x 1
x +1
x
27