SISTEMA DE 2DO. ORDEN C ( s) = wn 2 2 s( s 2 + 2ζwn s + wn ) 2 Primer Caso: ( s 2 + 2ζwn s + wn ) polos reales diferentes cuando ζ > 1 . “Sobreamortiguamiento” 2 wn A B C C ( s) = = + + s( s + p1 )( s + p 2 ) s s + p1 s + p 2 p1 = −ζwn + wn (ζ 2 − 1) p1 = −ζwn − wn (ζ 2 − 1) c(t ) = A + Be − p1t + Ce − p2t La respuesta de c(t) incluye dos términos exponenciales decrecientes. Ejemplo Matlab: wn=1; z=2; G=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2]) step(G) Step Response 1 0.9 0.8 0.7 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 Time (sec) 20 25 30 2 Segundo Caso: ( s 2 + 2ζwn s + wn ) polos reales iguales, cuando ζ = 1 . “Amortiguamiento Crítico” 2 C ( s) = wn A B C = + + 2 2 s (s + p) s+ p s( s + p) p = −ζwn c(t ) = A + Bte −ζwnt + Ce −ζwnt La respuesta de c(t) también incluye dos términos exponenciales decrecientes. Ejemplo Matlab: wn=1; z=1; G=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2]) step(G) Step Response 1 0.9 0.8 0.7 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) 2 Tercer Caso: ( s 2 + 2ζwn s + wn ) polos imaginarios conjugados, cuando 0 < ζ < 1 . “Sub-Amortiguamiento” C ( s) = wn 2 2 s( s 2 + 2ζwn s + wn ) c(t ) = 1 − φ = tan −1 c(t ) = 1 − 1 1− ζ 2 ( e −ζwnt sen wn 1 − ζ 2 t + φ ) (Por Tabla) 1− ζ 2 ζ 1 1− ζ 2 e −σt sen (wd t + φ ) σ Atenueación wn Frecuencia Natural No Amortiguada Wd Frecuencia Natural Amortiguada ζ Relacion de Amortiguamiento La respuesta de c(t) también incluye dos términos exponenciales decrecientes. Ejemplo Matlab: wn=1; z=0.4; G=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2]) step(G) Step Response 1.4 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 Time (sec) 15 Para este caso particular es importante saber los valores del Sobre Impulso Máximo (Mp), Tiempo de crecimiento (tr), Tiempo de pico (tp) y tiempo de establecimiento (ts); para ilustrar esto se da el siguiente ejemplo gráfico: Para calcular estos valores teóricamente se aplican las siguientes formulas: tr = π −β Mp =e wd 1−ζ β = tan ζ −1 tp = − π wd 2 ζπ 1−ζ 2 % M p = M p ⋅ 100% t s = 4τ τ= 1 ζ wn Ejemplo Matlab: wn=1; z=0.4; G=tf(wn^2,[1 2*z*wn wn^2]) step(G) wd=wn*sqrt(1-z^2) tr=(pi-atan(sqrt(1-z^2)/z))/wd tp=pi/wd Mp=exp(-z/sqrt(1-z^2)*pi)*100 ts=4*1/(z*wn) System: G Step Response Peak amplitude: 1.25 Overshoot (%): 25.4 At time (sec): 3.44 1.4 1.2 System: G Settling Time (sec): 8.41 1 Amplitude System: G Rise Time (sec): 2.17 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 Time (sec) Comparación de valores Valores obtenidos de la gráfica %Mp =25,4% tp = 3,44 seg tr = 2,17 seg ts = 8,41 seg Valores Calculados con las formulas %Mp =25,38% tp = 3,43 seg tr = 2,16 seg ts = 10 seg