Cuestiones

Primer Parcial
Regulación Automática
15 febrero 2005
5o Ing. Industriales
Cuestiones
x
El peso de estas cuestiones en la nota total del examen es de un 20 %. Es necesario superar esta parte
para aprobar el examen. Razonar escuetamente las respuestas.
x
x
x
x
1. Relacionar las funciones de transferencia con sus respectivos mapas de polos y ceros y su respuesta a
escalón unitario.
o
x
1
2
s + 2s + 10
x
x
xx
1+s
x
2
s + 2s + 10
0,3
s+3
(b)
(c)
(d)
x
x
0.35
x
1−s
x
2
s + 2s + 10
(a)
x
o
x
x
x
Step Response
x
Step Response
0.14
0.3
o
0.12
x
o
0.25
o
x
Amplitude
Amplitude
0.08
x
x
0.2
0.15
o
o
o
0.1
x
x
x
0.06
x
x
0.04
0.1
x
x
0.05
x
0.02
0
0
0
1
(e)
2
0
1
2
(f)
3
4
5
6
(g)
Time (sec)
3
4
5
6
(h)
Time (sec)
Step Response
x
0.2
Step Response
Step Response
0.14
0.1
+1
x
0.15
0.09
+1
x
0.12
Step Response
x
0.35
+1
x +1
x
0.3
0.08
0.1
0.07
x
-0.05
-1
x
x
0
-2
-1
0.03
-0.1
-0.2
0.05
0.04
1
2
-1
o
-0.15
3
4
5
o
6
x -1
x
0.2
-2
0.06
o
0.02
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.15
x
0
-1
x
x
0.05
1
2
3
0
4
5
6
0
1
2
Step Response
(j)
(k)
0.2
3
-1
Time (sec)
Time (sec)
x
+1
x
0.1
-1
x
0.01
Time (sec)
x (i)
0.25
0.04
0.02
0
0.1
0.08
x
0.06
Amplitude
x
0
Amplitude
o
Amplitude
4
5
(l)
-1
Step Response
0.09
x
x +1
xx
+1
+1
+1
0.08
0.07
2. Ordenar los siguientes sistemas del más rápido al más lento.
x
x
-0.05
x -1
x +1
x
xx
-1
+1
0.05
-1
0.04
-2
-1
-2
-1
0.06
0
Amplitude
x
-1
-2
+1
x
0.1
0.05
6
Time (sec)
x
0.1
0.15
Amplitude
Amplitude
0.05
-0.1
0.03
-1
-1
-0.15
-0.2
0.01
0
1
2
x
x
-1
x
0.02
3
+1
Time (sec)
4
5
+1
6
0
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
1.2
1.4
+1
1.6
1.8
Time (sec)
x
x
-1
+1
x -1
x
x
-1
-1
-2
-2
x
x
-1
-2
-1
-1
-1
-2
(a)
(b)
(c)
x
+1
xaproximada
+1
3. Dibujar la respuesta
ante entrada escalón unitario de los siguientes sistemas:
x
-2
-1
x
-1
x
-1
xx
-2
x
-1-2
-1
x
x -1
10(s + 3)
s2 − 3s + 10
3
G2 (s) = 2
s + 5s
3
G3 (s) = 2
s + 2s + 10
−1
G4 (s) =
s+3
G1 (s) =
-1
Página 1 de 3
+1
x
-1
2
0.09
0.08
Amplitude
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
4. Relacionar cada diagrama de bode con su respectiva respuesta
a escalón
unitario.1
0
0.5
1.5
Time (sec)
-20
-20
Bode Magnitude Diagram
Step Response
0.14
Bode Magnitude Diagram
0.12
-25
0.1
-25
Magnitude
Magnitude
(dB) (dB)
Amplitude
-30
-30
-35
-35
0.08
0.06
0.04
-40
0.02
-40
-45 0
10
-45 0
10
-20
-25
-20
1
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Bode Magnitude Diagram
10
0
0
2
Magnitude
Magnitude
(dB) (dB)
0.08
Amplitude
-45
-40
-50
-45
-55
-50
10
10
0.5
0.6
0.05
0.04
0.01
2
0
2
0
0.1
0.2
(d)
0.1
Amplitude
AmplitudeAmplitude
Magnitude
Magnitude
(dB) (dB)
-30
-40
-40
-50
-50
-60
-60
-70
1
2
10
10
Frequency (rad/sec)
1
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Bode Magnitude Diagram
10
10
3
0.09
0.07
0.1
0.08
0.06
(e)
0.05
0.03
0.01
0.04
0.02
0
0.030
0.01
0.5
Amplitude
-25
0.01
0
0.12 0
0.1
0.02 Step Response
0.03
Time (sec)
-30
0.04
0.06
Amplitude
Magnitude
Magnitude
(dB) (dB)
0.08
0.06
0.07
-35
0.2
0.04
0
0.03 0
-40
0.02
10
0.3
Time (sec)
(f)
0.04
0.05
0.06
0.4
0.5
0.6
0.4
0.5
0.6
Step Response
0.05
0.02
-40
10
1.5
0.08
0.09
-30
-35
1
Time (sec)
0.02
0
0
0.14
0.01
0.1
0.1
-25
2
Step Response
0.09
0.07
0.05
0.08
0.06
0.04
0.07
0.05
0.03
0.06
0.04
0.02
3
Bode Magnitude Diagram
10
Frequency (rad/sec)
2
10
Frequency (rad/sec)
Step Response
0.1
0.08
Bode Magnitude Diagram
0.3
Time (sec)
Step Response
0.09
Bode Magnitude Diagram
-20
-30
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.01
3
0
0
3
0.5
1
1.5
Time (sec)
(g)
Step Response
(h)
0.14
0.12
0.1
Amplitude
-45 1
10
-45 1
10
0.4
0.06
0.02
1
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Frequency (rad/sec)
(c)
-20
0.6
0.03
-60
-55
-20
0.5
0.07
-40
-35
-70
-80 0
10
-80 0
10
0.4
Step Response
0.1
-35
-30
-10
-20
0.3
Time (sec)
(b)
0.09
-10
0.2
(a)
Bode Magnitude Diagram
-30
-25
-65 0
-60
10
-65 0
10
0.1
2
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
Página 2 de 3
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.4
0.5
0.6
1. Problema: Para medir las fluctuaciones del nivel de agua en una gran instalación industrial se dispone
de un sistema de vigilancia como el que se muestra en la figura. Mediante este sistema, en la sala de
control se pueden observar las variaciones de nivel del deposito auxiliar comunicado con el deposito
principal. La altura de agua en el deposito principal está sujeta a una perturbación de alta frecuencia y
baja amplitud (olas) debidas a las aperturas y cierres repentinos de los conductos de entrada y salida.
Tanque de monitorización
h1(t)
Área transversal A
Sección C
Depósito
Conducto
-
h2(t)
L
Para conocer la velocidad a la que el lı́quido se mueve entre ambos depósitos se puede recurrir a la ley
de Newton, que aplicada al fluido que circula por el conducto es:
dv(t)
= C(P1 (t) − P2 (t)) − Ff (t)
dt
donde v(t) es la velocidad del fluido, ρ es su densidad, C es la sección del conducto y L su longitud.
P1 (t) y P2 (t) representan las presiones respectivas debidas a la altura del lı́quido en los extremos del
conducto. Estas presiones se pueden calcular a partir de la densidad ρ, de la aceleración de la gravedad g
y de dicha altura h(t) como P (t) = ρgh(t). Por último Ff (t) es la resistencia que introduce en el flujo del
fluido el propio canal (conocida como obstrucción), que se puede considerar proporcional a la velocidad
del fluido Ff (t) = Kv(t).
ρ CL
El caudal de salida del conducto, Q(t), se puede calcular como Q(t) = Cv(t). Este valor supone una
variación en la altura del lı́quido en el depósito auxiliar de acuerdo a la siguiente expresión:
A
dh(t)
= Q(t)
dt
donde A es el área transversal del tanque.
Los valores de las constantes en este caso son: C = 3 · 10−4 m2 , L = 20 m, ρ = 1000 Kg/m3 , K = 0,5 y
g = 10 ms−2 . A es un parámetro en base al cual se analizara el comportamiento del sistema.
(a) Obtener el diagrama de bloques del sistema considerando la altura del depósito como entrada y la
del tanque de monitorización como salida. Indicar todas las señales que aparecen en el diagrama de
bloques. Obtener la función de transferencia del conjunto. Razonar (no calcular) si existen valores del
parámetro A (área transversal del tanque) que puedan provocar que el sistema presente resonancia.
(b) Se tienen dos tanques posibles para instalar. El primero es pequeño, con una sección rectangular
de 0,01 m2 y el segundo es mayor, con una sección de 0,1 m2 . Para ambos casos calcular el mapa
de polos y ceros y dibujar la respuesta ante una variación brusca de 1m en el nivel del deposito de
entrada.
(c) Los datos experimentales demuestran que las variaciones en el nivel del depósito debidas al uso del
agua durante el dı́a tienen un periodo de aproximadamente 30 minutos y una amplitud de 1 m. Por
contra, las oscilaciones debidas a las olas tienen un periodo máximo de 50 segundos y una amplitud
de 0,04 m. Las oscilaciones debidas al oleaje no desean ser vistas en la sala de control, por lo que
el sistema de medida deberı́a eliminarlas. Teniendo en cuenta que se consideran eliminadas si su
amplitud se reduce a menos de la mitad determinar cuál de los dos tanques del apartado b) es más
adecuado.
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