UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) e-mail: imozas@elx.uned.es http://telefonica.net/web/imm FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES DE LA UNED. MATEMÁTICAS III. Segundo Curso de ADE. PRUEBA PERSONAL. Febrero 2006. Segunda semana PRIMERA PARTE: Problemas Solución.Es una ecuación de Bernoulli. Dividiendo los dos miembros por y2, queda: xy–2y’ + y–1 – lnx=0; hacemos el cambio y–1 = z → –y–2y’ = z’ y sustituyendo se obtiene: –xz’ + z – lnx = 0, que es una ecuación lineal. Hacemos z = u·v → z’ = u’v + uv’ de donde sustituyendo y sacando factor común u: –xu’v – u(xv’ – v) – lnx = 0; haciendo xv’ – v = 0 → 1 1 → v = x, y sustituyendo: –x2u’ – lnx = 0 → u’ = − 2 ln x → u = − 2 ln x dx = (por x x 1 1 partes) = ln x + + C . x x 1 Así pues, z = lnx + 1 + Cx, de donde y = ln x + 1 + Cx ∫ Solución.El recinto, representado en las coordenadas (x, y) y en las coordenadas (u, v) En coordenadas (x, y) En coordenadas (u, v) es un recinto ilimitado, comprendido entre dos paralelas. La integral es infinito. –1/3– FEBRERO 2006 (2ª SEMANA) UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) e-mail: imozas@elx.uned.es http://telefonica.net/web/imm Puede ser que haya un error en el enunciado y que donde pone y ≤ 3a, deba poner x ≤ 3a. En ese caso los recintos respectivamente son: En coordenadas (x, y) En coordenadas (u, v) Del cambio propuesto se deduce : 1 0 x=u = 1 ; además x2 + y2 = 2u2 + 2uv + v2, de donde la integral: y el jacobiano: J = 1 1 y = u + v ∫ 3a 0 a du ∫ (2u 2 2 ) + 2uv + v dv = a −u ∫ 3a 0 a 2 v3 2 2 u v uv + + du = 3 a −u ∫ 3a 0 4 3 2 2 u + au + a u du = 3 3a u 4 au 3 a 2 u 2 81 4 = + + = a 3 2 0 2 3 SEGUNDA PARTE: Cuestiones teórico-prácticas Solución.- Por el criterio de d’Alembert, lim n →∞ a n +1 an n n! ( n − 1) ! 1 n = lim : n −1 = lim = < 1, n n →∞ n → ∞ e n n +1 (n + 1) luego la serie es convergente. Solución.- ∫ ( 2 A=− − 9 x 2 7 − 3x 3 9 ) 12 ( 2 7 − 3x 3 dx = (inmediata) = − · 13 9 ) 13 + C. Solución.y = ln x corta al eje OX en x = 0, luego la integral es: ∫ e ∫ e ln xdx = (por partes) = [x ln x ] 1 − dx = e – e + 1 = 1. 1 e 1 –2/3– FEBRERO 2006 (2ª SEMANA) UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.) e-mail: imozas@elx.uned.es http://telefonica.net/web/imm Solución.La ecuación diferencial es lineal. Mediante el cambio y = u·v y procediendo como en el problema 1, se obtiene que v = x. Sustituyendo queda: 120 120 120 u' x − x + 2 = 0 → u' = 1 − 2 → u = x + + C . Por tanto y = x2 + Cx + 120. Haciendo x x x x = 9, y = 3, se obtiene que C = –22. Luego el precio en función de la demanda: y = x2 – 22x + 120 Solución.4 ∫ 200xe 1 − x 2 dx = (por = partes) 2 4 1 − x 200 − 2xe 2 + 2 2 4 ∫e 2 1 − x 2 dx = 4 1 − x −2 −1 2 200 − 8e + 4e − 4 e = 200 − 12e −2 + 8e −1 = (con los datos dados) = 268. 2 ( ) –3/3– FEBRERO 2006 (2ª SEMANA)