XIV PREMIOS JORGE JUAN Álgebra Lineal e 0n g e 02 ; : : : ; ! Sean V y V 0 espacios euclídeos y sean B = f! e 1; ! e 2; : : : ; ! e m g y B 0 = f! e 01 ; ! bases ortonormales de V y V 0 , respectivamente. Sea f : V ! V 0 una aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases B y B 0 es A. Sea f : V 0 ! V una aplicación tal que hf (! x );! y i = h! x ; f (! y )i cualesquiera que sean ! x 2V e! y 2 V 0 . Se pide: 1. Demostrar que f es lineal. 2. Demostrar que la matriz asociada a f respecto de las bases B 0 y B es AT . 3. Demostrar que (Im f )? = ker f . 4. Demostrar que V 0 = ker f Im f . 5. Demostrar que si rg A = m, entonces AT A es invertible. 6. Demostrar que la matriz asociada a la proyección ortogonal de V 0 sobre W = Im f respecto de 1 la base B 0 es A AT A AT . SOLUCIÓN: 1. Para demostrar que f es lineal, debemos probar que f ( 1! y1+ 2 ! y 2) = (! y 1) + 1f cualesquiera que sean 1 ; 2 2 R e ! y 1; ! y 2 2 V 0. Dados 1 ; 2 2 R e ! y 1; ! y 2 2 V 0 , se cumple que h! x ; f ( 1! y 1 + 2! y 2 )i = hf (! x ) ; 1! y 1 + 2! y 2i = = 1 y 1 )i + h! x ; f (! 2 h! x ; f (! y 2 )i = h! x; 1f (! y 2) ; 2f 1 hf (! x );! y 1i + (! y 1) + 2f 2 hf (! x );! y 2i (! y 2 )i ; para todo ! x 2 V , por lo que f ( 1! y1+ 2 ! y 2) = 1f (! y 1) + 2f (! y 2) y f es lineal. 2. Sea C la matriz asociada a f respecto de las bases B 0 y B. La columna j-ésima de la matriz C viene dada por las componentes de f ! e 0 en la base B, es decir, j f ! e 0j = m X ckj ! e k; k=1 para j = 1; : : : ; n. Entonces, para todo i = 1; : : : ; m y j = 1; : : : ; n, se cumple ! e i; f ! e 0j * + m m X X ! ! = e i; ckj e k = ckj h! e i; ! e k i = cij : (1) ! e i; f (2) k=1 k=1 La última igualdad se debe a que la base B es ortonormal. Por otra parte, ! e 0j = f (! e i) ; ! e 0j y las componentes de f (! e i ) en la base B 0 forman la columna i-ésima de la matriz A, es decir, n X ! f ( e i) = aki ! e 0k ; k=1 por lo que, sustituyendo en (2), se obtiene * n + n X X ! ! ! 0 0 !0 e ;f e = a e ; e = a i ki j k j k=1 ki ! e 0k ; ! e 0j = aji : (3) k=1 De (1) y (3), se obtiene cij = aji , para todo i = 1; : : : ; m y j = 1; : : : ; n, por lo que C = AT : 3. ! y 2 (Im f )? si, y sólo si, hf (! x );! y i = 0 para todo ! x 2 V . Esta igualdad es equivalente a h! x ; f (! y )i = 0 para todo ! x 2 V , que se cumple si, y sólo si, f (! y ) = 0 o, lo que es lo mismo, ! y 2 ker f . Así pues, (Im f )? = ker f . 4. Im f es un subespacio vectorial de V 0 y se sabe que todo espacio vectorial es suma directa de cualquier subespacio vectorial y su complemento ortogonal, por lo que V 0 = (Im f ) (Im f )? = (Im f ) (ker f ) : Esta última igualdad es debida al apartado 3. 5. Puesto que A es la matriz asociada a f respecto de las bases B y B 0 y AT es la matriz asociada a f respecto de las bases B 0 y B, el producto de las dos matrices AT A es la matriz asociada a f f y AT A es invertible si, y sólo si, f f es biyectiva. Puesto que rg A = rg f = dim (Im f ) se tiene, por hipótesis, que dim (Im f ) = m. Puesto que para la aplicación f se cumple m = dim V = dim (ker f ) + dim (Im f ) = dim (ker f ) + m; se tiene que dim (ker f ) = 0, o lo que es lo mismo, f es inyectiva. ! Veamos que f f es también inyectiva. Sea ! x 2 V tal que (f f ) (! x ) = 0 . Entonces, n!o ! ! ! ! f (f ( x )) = 0 y, por lo tanto, f ( x ) 2 (ker f ) \ (Im f ) = 0 . Así pues, f (! x ) = 0 y, ! puesto que f es inyectiva, ! x = 0 . Por lo tanto, f f es inyectiva. Aplicando, de nuevo la fórmula de las dimensiones para f m = dim V = dim (ker (f de donde se obtiene que f f )) + dim (Im (f f , se tiene que f )) = dim (Im (f f )) ; f es suprayectiva. 6. Dado W = Im f V 0 , se tiene que V 0 = W (ker f ) (véase apartado 4.). Por lo tanto, dado cualquier ! y 2 V 0 , existen vectores únicos ! y1 2W e! y 2 2 ker f tales que ! y =! y1+! y 2. La proyección ortogonal de V 0 sobre W es una aplicación lineal de V 0 en V 0 que asigna al vector ! y 2 V 0 el vector ! y 2 W V 0. 1 Consideremos, ahora, la aplicación g = f (f f) 1 f cuya matriz asociada respecto de 1 la base B 0 es A AT A AT . Veremos que g es la proyección de V 0 sobre W . En efecto, sea ! y =! y 1+! y 2 , con ! y1 2W e! y 2 2 ker f , un vector de V 0 . Aplicando la linealidad de g, se tiene g (! y ) = g (! y1+! y 2 ) = g (! y 1 ) + g (! y 2) : Por ser ! y 1 2 W = Im f , existe ! x 2 V tal que ! y 1 = f (! x)y g (! y 1 ) = g (f (! x )) = f = f (f f) Por otra parte, ! y 2 2 ker f , por lo que g (! y 2) = f (f f) 1 = f (f f) 1 f 1 1 f (f (! x )) (f f) (f f ) (! x ) = f (! x)=! y 1: (! y 2) (f (! y 2 )) = f (f f) 1 Por lo tanto, ! g (! y ) = g (! y 1 ) + g (! y 2) = ! y1+ 0 =! y 1; es decir, g coincide con la proyección ortogonal de V 0 sobre W . ! ! 0 = 0: