2010 - I Facultad de Contabilidad y Finanzas SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 1 - A Curso Docente Ciclo : : : ESTADISTICA II Ing. Oscar Reyes Almora VI Turno : Sección: Noche 3-28 1. Empleando las funciones estadísticas de su calculadora calcule la media, desviación típica y varianza para cada caso (redondee si es necesario a cuatro decimales): (2,4 puntos) σ σ2 12,3375 3,1555 9,9573 25 3,6056 13 x a) 13,4 17,1 15,6 8,9 11,3 7,3 14,4 10,7 b) Edad fi 20 – 24 24 – 28 28 – 32 32 – 36 8 5 2 1 2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad: X f(x) 13 0,14 14 0,18 15 4m 16 0,23 17 0,1 18 m a) Halle la media, la desviación estándar y el coeficiente de variación. (3 puntos) 0,14+0,18+4m+0,23+0,1+m = 1 → 0,65 + 5m = 1 → 5m = 0,35 → m = 0,07 E(x) = 13(0,14)+14(0,18)+15(0,28)+16(0,23)+17(0,1)+18(0,07) = 15,18 V(x) = [132(0,14)+142(0,18)+152(0,28)+162(0,23)+172(0,1)+182(0,07)] – (15,18)2 = = 232,4 – 230.4324 = 1,9676 → σ ≈ 1,4027 → CV ≈ 9,24% b) ¿Cuál es la probabilidad de que X esté en el intervalo [ μ – σ , μ + σ ]? (2 puntos) P[15,18 – 1,4027 ≤ X ≤ 15,18 + 1,4027] = P[13,78 ≤ X ≤ 16,58] = P[X=14]+ P[X=15]+ P[X=16]= 0,18 + 0,28 + 0,23 = 0,69 3. La gráfica corresponde a una función de densidad f(x) de una variable aleatoria continua X es: f(x) 2k k X 1 3 a. Calcule el valor de k. 4 (2 puntos) 2(k) + 1(2k) = 4k = 1 → k = 1/4 b. Determine la función de densidad de probabilidad: f(x). f(x) = c. ¼, ½, 0, (2 puntos) si 1≤ x ≤ 3 si 3< x ≤ 4 en otro caso Calcule: P[2 < X ≤ 7/2]. P[2 < X ≤ 7/2] = P[2 < X ≤ 3] + P[3 < X ≤ 7/2] = (2 puntos) 3 =2 ∫ 1/4 dx +3 ∫ 3 7/2 1/2 dx = 1/4 [x] + 1/2 [x] 2 7/2 3 = 1/4 +1/4 = 1/2 d. Halle la media y la desviación típica. 3 (2 puntos) 3 4 E(x) =1 ∫ x/4 dx +3 ∫ x/2 dx = 1/8 [x2] + 1/4 [x2] 1 4 3 = 1 +7/4 = 11/4 = 2,75 e. Determine la función de distribución acumulada: F(x). 1 < x ≤ 3: x x F(x) =1 ∫ 1/4 dt = 1/4 [t] 3 < x ≤ 4: 1 = (x – 1)/4 x x F(x) = ½ + 3 ∫ 1/2 dt = ½ + 1/2 [t] ∴ 3 0, F(x) = (2 puntos) = ½ + (x – 3)/2 ó (x – 2)/2 si si si si (x – 1)/4 (x – 2)/2 1, x≤1 1<x≤3 3<x≤4 x>4 4. A una persona le proponen tirar un dado correcto tres veces, bajo las siguientes condiciones: si en los tres tiros sale un número mayor que cuatro gana S/. 100, si sólo en dos tiros sale un número mayor que cuatro gana S/. 30, si sólo sale un número mayor que cuatro no gana ni pierde pero si en los tres tiros sale un número menor que cinco pierde S/. 40. Calcule la ganancia esperada. ¿Conviene que participe? (2,6 puntos) Experimento aleatorio: Tirar un dado correcto tres veces y apreciar el resultado. X: N° de tiros con resultado mayor que cuatro. S = sale un número mayor que 4. RX = { 0, 1, 2, 3 } P(S) = 1/3 N = no sale un número mayor que 4. P(N) = 2/3 P[X = 0] = P[{NNN}] = 2/3 × 2/3 × 2/3 = 8/27 P[X = 1] = P[{SNN, NSN, NNS}] = 3(1/3 × 2/3 × 2/3) = 12/27 P[X = 2] = P[{SSN, SNS, NSS}] = 3(1/3 × 1/3 × 2/3) = 6/27 P[X = 3] = P[{SSS}] = 1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/27 X 0 1 2 3 Y -40 0 30 100 P[Y = y] 8/27 12/27 6/27 1/27 E(Y) = -40(8/27) + 0(12/27) + 30(6/27) + 100(1/27) = -40/27 ≈ -1,48 ∴ No conviene que participe. EL PROFESOR 2010 - I Facultad de Contabilidad y Finanzas SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 1 - B Curso Docente Ciclo : : : ESTADISTICA II Ing. Oscar Reyes Almora VI Turno : Sección: Noche 3-28 1. Empleando las funciones estadísticas de su calculadora calcule la media, desviación típica y varianza para cada caso (redondee si es necesario a cuatro decimales): (2,4 puntos) σ x a) 11,4 16,6 15,6 8,9 11,6 8,3 14,4 12,1 b) Edad fi σ2 12,3625 2,7986 7,8323 22 4,2426 18 16 – 20 20 – 24 24 – 28 28 – 32 7 4 3 2 2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad: 13 0,12 X f(x) 14 0,2 15 0,23 16 4m 17 0,1 18 m a) Halle la media, la desviación estándar y el coeficiente de variación. (3 puntos) 0,12+0,2+0,23+4m+0,1+m = 1 → 0,65 + 5m = 1 → 5m = 0,35 → m = 0,07 E(x) = 13(0,12)+14(0,2)+15(0,23)+16(0,28)+17(0,1)+18(0,07) = 15,25 V(x) = [132(0,12)+142(0,2)+152(0,23)+162(0,28)+172(0,1)+182(0,07)] – (15,25)2 = = 234,49 – 232,5625 = 1,9275 → σ ≈ 1,3883 → CV ≈ 9,10% b) ¿Cuál es la probabilidad de que X esté en el intervalo [ μ – σ , μ + σ ]? (2 puntos) P[15,25 – 1,3883 ≤ X ≤ 15,25 + 1,3883] = P[13,86 ≤ X ≤ 16,64] = P[X=14]+ P[X=15]+ P[X=16]= 0,2 + 0,23 + 0,28 = 0,71 3. La gráfica corresponde a una función de densidad f(x) de una variable aleatoria continua X es: 3k f(x) k X 1 2 a. Calcule el valor de k. 3 (2 puntos) 1(k) + 1(3k) = 4k = 1 → k = 1/4 b. Determine la función de densidad de probabilidad: f(x). ¼, si 1≤ x ≤ 2 f(x) = ¾, si 2< x ≤ 3 0, en otro caso c. Calcule: P[3/2 < X ≤ 5/2]. P[3/2 < X ≤ 5/2] = P[3/2 < X ≤ 2] + P[2 < X ≤ 5/2] = (2 puntos) (2 puntos) 2 =3/2 ∫ 1/4 dx +2 ∫ 2 5/2 3/4 dx = 1/4 [x] + 3/4 [x] 3/2 5/2 = 1/8 +3/8 = 4/8 = 1/2 2 d. Halle la media y la desviación típica. 2 (2 puntos) 2 3 E(x) =1 ∫ x/4 dx +2 ∫ 3x/4 dx = 1/8 [x2] + 3/8 [x2] 1 e. Determine la función de distribución acumulada: F(x). 1 < x ≤ 2: x x F(x) =1 ∫ 1/4 dt = 1/4 [t] 2 < x ≤ 3: 1 x x 0, F(x) = 2 = 3/8 +15/8 = 18/8 = 2,25 (2 puntos) = (x – 1)/4 F(x) = ¼ + 2 ∫ 3/4 dt = ¼ + 3/4 [t] ∴ 3 (x – 1)/4 (3x – 5)/4 1, si si si si 2 = ¼ +3(x – 2)/4 ó (3x – 5)/4 x≤1 1<x≤2 2<x≤3 x>3 4. A una persona le proponen tirar un dado correcto tres veces, bajo las siguientes condiciones: si en los tres tiros sale un número mayor que cuatro gana S/. 150, si sólo en dos tiros sale un número mayor que cuatro gana S/. 20, si sólo sale un número mayor que cuatro no gana ni pierde pero si en los tres tiros sale un número menor que cinco pierde S/. 50. Calcule la ganancia esperada. ¿Conviene que participe? (2,6 puntos) Experimento aleatorio: Tirar un dado correcto tres veces y apreciar el resultado. X: N° de tiros con resultado mayor que cuatro. S = sale un número mayor que 4. RX = { 0, 1, 2, 3 } P(S) = 1/3 N = no sale un número mayor que 4. P(N) = 2/3 P[X = 0] = P[{NNN}] = 2/3 × 2/3 × 2/3 = 8/27 P[X = 1] = P[{SNN, NSN, NNS}] = 3(1/3 × 2/3 × 2/3) = 12/27 P[X = 2] = P[{SSN, SNS, NSS}] = 3(1/3 × 1/3 × 2/3) = 6/27 P[X = 3] = P[{SSS}] = 1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/27 X 0 1 2 3 Y -50 0 20 150 P[Y = y] 8/27 12/27 6/27 1/27 E(Y) = -50(8/27) + 0(12/27) + 20(6/27) + 150(1/27) = -130/27 ≈ -4,81 ∴ No conviene que participe. EL PROFESOR