ejercicios resueltos.

T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
8. ESTRATEGIA DE LA ALTURA
La estrategia de la altura se utiliza cuando tenemos que hallar una altura de un objeto y tenemos como
datos dos ángulos de observación desde dos puntos situados a distintos lados del objeto y que están
separados una distancia también conocida.
C
Datos del problema:
Los ángulos de observación A y B
b
La distancia AB
c
h
Datos a determinar:
A
La altura h
a–x
H
x
B
La medida de los lados AC y CB
Al trazar la altura dividimos el triángulo en dos triángulos rectángulos: AHC y HCB.
En el triángulo AHC, se tiene: tg A =
h
a−x
En el triángulo HCB, se tiene tgB =
h
x
Para determinar la altura h, planteamos el siguiente sistema:
h

tg A = a − x
h = tg A · ( a − x )
→ 
→ tg A · ( a − x ) = x ·tgB

h
h = x ·tgB
tgB =

x
De esta forma se calcula la altura h y las proyecciones de los lados b y c sobre el lado a (es decir, la
distancia de A y B a la base H)
Para determinar los lados b y c, establecemos las siguientes relaciones:
h
h

sen A = b → b = sen A

En el triángulo AHC: ó

x
h
cos A =
→b=
b
cos A

h
h

senB = c → c = senB

En el triángulo HCB: ó

x
x
cosB =
→c=
c
cosB

Luisa Muñoz
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T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Ejemplo 1:
Dos observadores A y B distantes 300 Km, se ocupan del seguimiento de un satélite. Las
direcciones al satélite y al otro observatorio forman un ángulo de 65º desde A y de 70º desde B.
a) ¿Cuál es la distancia del satélite a cada observatorio?
b) ¿A qué altura está situada?
Solución
Cálculo de la altura:
S
Planteamos el siguiente sistema:
h
A
65º
x
H


→
h 
tg70º =
300 − x 
tg65º =
70º
300 – x
B
h
x


h = 2,144x

→

h 
h = 2,747(300 − x)
2,747 =
300 − x 
2,144 =
h
x
2,144x = 2,747(300 − x) → 2,144x = 824,1 – 2,144x
4,891x = 824,1 → x = 168,49 → Por tanto, la altura es 168,49 Km.
Distancia AS:
sen 65º =
h
h
361,24
→ AS =
=
= 398,58 → AS = 398,58 km
AS
sen 65º sen 65º
Distancia BS:
sen 70º =
h
h
361,24
→ BS =
=
= 384,42 → BS = 384,42 km
BS
sen70º sen70º
Ejemplo 2:
Un avión vuela a cierta altura y en un determinado instante se encuentra sobrevolando la línea
imaginaria que une dos torres que están separadas 10 Km. Al no funcionar el altímetro, el piloto
toma los ángulos de depresión de ambas torres (20º y 15º). Determina la altura a la que se encuentra
el avión en ese momento.
Solución
Con los datos de la figura tenemos que:
tg 15º =
h
⇒ h = (10 – x) · 0,268
10 − x
tg 20º =
h
⇒ h = 0,364x
x
Igualando las dos expresiones, tenemos:
(10 – x) · 0,268 = 0,364x ⇒ 2,68 – 0,268x = 0,364x
0,632x = 2,68 ⇒ x = 4,24 Km
Luego, la altura es: h = 4,24 · 0,364 = 1,54 Km
Luisa Muñoz
2
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
2) MÉTODO DE DOBLE OBSERVACIÓN
El método de doble observación se utiliza cuando tenemos que hallar una altura de un objeto y tenemos
como datos dos ángulos de observación desde dos puntos, situados al mismo lado del objeto, que están
separados una distancia también conocida. También el dato conocido puede ser la altura y lo que tenemos
que hallar es la distancia entre los puntos de observación.
C
Datos del problema:
Los ángulos de observación α y β
h
La distancia AB
Dato a determinar:
β
α
A
La altura h
x
y
B
H
Según se observa en el dibujo, tenemos dos triángulos rectángulos: ABC y BCH.
En el triángulo ABC, se tiene: tg A =
h
x+y
En el triángulo BCH, se tiene tg B =
h
y
Para determinar la altura h, planteamos el siguiente sistema:
h

tg A = x + y


tg B = h

y
h = tg A · ( x + y )
→ tg A · ( x + y ) = y · tg B
h = y · tg B
→ 
Ejemplo 1:
Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un barco
se toma las siguientes medidas:
a) El ángulo que forma la visual hacia la luz con el horizonte es de 25º.
b) Si nos alejamos 200 m, dicho ángulo mide 10º.
Solución
Dibujamos la situación, e indicamos los datos, como en la figura.
En el triángulo ACD se tiene :
tg 10º =
D
h
⇒ h = 0,17(x + 200)
200 + x
h
En el triángulo BCD se tiene:
tg 25º =
h
⇒ h = 0,46x
x
Obtenemos el siguiente sistema a resolver:
10º
A
200 m
B
25º
C
x
h = 0,17(x + 200)
 → 0, 46x = 0,17(x + 200)
h = 0, 46x

Luisa Muñoz
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T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Resolviendo el sistema obtenemos:
x = 0,17x + 34 → 0,29x = 34 → x = 117,24 m
Sustituyendo en la segunda ecuación:
h = 0,46 · 117,24 = 53,93 m
La altura de la luz del faro es de 53,93 m
Ejemplo 2:
Dos edificios distan entre sí 150 m. Desde un punto que está entre los dos edificios vemos que las
visuales a los puntos más altos de éstos forman con la horizontal ángulos de 35º y 20º,
respectivamente. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?
35º
20º
150 m
Solución
En el triángulo ADT se verifica:
tg 20º =
h
⇒ h = (150 – x) · tg 20º
150 − x
D
C
h
h
En el triángulo BCT se verifica:
A
h
tg 35º = ⇒ h = x · tg 35º
x
20º
150 – x
35º
T
B
x
Obtenemos el siguiente sistema a resolver:
h = (150 − x ) ·tg 20º 
 → x·tg 35º = (150 − x ) ·tg 20º → 0,7 x = 0,36·(150 – x) → 0,7 x = 54 – 0,36x
h = x·tg 35º

1,06x = 54 → x =
54
= 50,94 m
1,06
Sustituyendo en la segunda ecuación:
h = 50,94 · tg 35º = 35,66
Por tanto, la altura de los edificios es 35,66 m.
Luisa Muñoz
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