Geometría - Academia Minas

Geometría analítica
Plano
y=mx+n
Ecuación de una recta conocido un punto P(xo,yo) y la pendiente m
y - yo = m (x - xo)
Ecuación de la recta tangente a una curva f(x) en un punto P(xo,yo)
y - yo = f´ (xo) (x - xo)
Relación entre las pendientes m1 y m2 de dos rectas perpendiculares
m1 = - 1 / m2
Ángulo formado por dos rectas a partir de sus pendientes
tg  = (m1 - m2) / [ 1 + (m1 m2) ]
Distancia entre dos puntos: Po (xo,yo) y P1 (x1,y1)
d = [ (x1 - xo)2 + (y1 - yo)2 ]1/2
Distancia del punto P (xo,yo) a la recta A x + B y + C = 0
d = | A xo + B yo + C | / (A2 + B2)1/2
Puntos notables de un triángulo
Punto donde se cortan las bisectrices
Circuncentro
Punto donde se cortan las mediatrices
Baricentro
Punto en el que se cortan las medianas
Ortocentro
Punto en el que se cortan las alturas
M
Incentro
in
as
Ecuación de una recta (m es la pendiente y n la ordenada en el origen)
ia
Espacio
Ecuación vectorial
ad
em
recta que pasa por el punto P (xo, yo, zo) y tiene por vector director el v (vx, vy, vz)
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (vx, vy, vz)
donde t es el parámetro
Ecuaciones paramétricas
x = xo + t v x
y = yo + t v y
z = zo + t vz
Ecuaciones contínuas
(x - xo) / vx = (y - yo) / vy = (z - zo) / vz
Ac
Recta como intersección de dos planos
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D1 = 0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D2 = 0
Cálculo vectorial
Vectores
a = ax i + ay j + azk
Módulo de un vector
| a | = a = [ ax2 + ay2 + az2 ]
Suma de dos vectores a y b
a + b = (ax + bx) i + ( ay + by) j + (az + bz) k
Diferencia de dos vectores a y b
a - b = (ax - bx) i + ( ay - by) j + (az - bz) k
Producto de un vector a por un escalar 
 a = ( ax i +  ay j +  azk)
1/2
Producto escalar
Definición
a . b = a b cos  ===> da un número
A partir de las componentes
a . b = ax bx + ay by + az bz
Conmutativo
a.b=b.a
Producto escalar de dos vectores
perpendiculares
a . b = 0 si a  b
Ángulo que forman dos vectores
cos  = a . b / (a b)
Producto vectorial
a x b ===> da un vector
Módulo
|a x b| = a b sen 
Dirección
Perpendicular al plano formado por los dos vectores
Sentido
Aplicando la regla del sacacorchos al llevar a sobre b teniendo ambos un
origen común
Anticonmutativo
axb=-bxa
Interpretación geométrica
El módulo del producto vectorial nos da el área del rectángulo limitado por
los dos vectores
Producto escalar de dos vectores
paralelos
a x b = 0 si a | | b
M
ia
ad
em
Producto mixto
Definición
in
as
Definición
a (b x c) ===> da un número
Volumen del paralelepípedo formado por los vectores a, b y c
Interpretación geométrica
1/6 del volumen del tetraedro formado por los vectores a, b y c
Sistemas de Coordenadas en el espacio
Ac
Cartesianas: x, y, z
Elemento diferencial de volumen:
Rango de variación de las variables para recorrer todo el espacio:
dV = dx dy dz
x: - a +
y: - a +
z: - a +
Cilíndricas: ,  (ángulo con el eje x), z
Paso de cilíndricas a cartesianas:
Paso de cartesianas cilíndricas:
x =  cos 
y =  sen 
z=z
 = (x2 + y2)1/2
 = arc tg (y / x)
z=z
Jacobiano: J = D(x, y, z) / D (, , z)
Elemento diferencial de volumen:
Rango:
| J | = 2
d V = 2 d d dz
: 0 a +
: 0 a 2 
z: - a +
Esféricas: r,  (ángulo con el eje z), (ángulo de la proyección sobre el plano z = 0 con el eje x)
Paso de esféricas a cartesianas:
x = r sen cos 
y = r sen sen 
z = r cos 
Paso de cartesianas a esféricas:
r = (x2 + y2 + z2)1/2
 = arc tg (y / x)
 = arc cos [ z / (x2 + y2 + z2)1/2 ]
| J | = r2 sen 
in
as
Jacobiano: J = D(x, y, z) / D (r, , )
Elemento diferencial de volumen:
r: 0 a +
: 0 a 2 
: 0 a :
ad
em
ia
M
Rango:
d V = r2 sen  dr d d
Movimientos en el plano y en el espacio
Movimientos rígidos en R2
[x ' y ']t = [b1 b2]t + ( A ) [x , y]t
Ac
donde A es una matriz 2 x 2:
rango (A
- I)
Puntos fijos
Tipo de movimiento
2
un punto fijo
Rotación de centro el punto fijo
1
no hay puntos
fijos
Simetría deslizante (simetría compuesta con una traslación en la que el vector
de traslación es paralelo al eje de simetría)
1
recta de puntos
fijos
Simetría respecto de la recta de puntos fijos
0
no hay puntos
fijos
Traslación
0
todos los puntos
son fijos
Identidad
Movimientos rígidos en R3
[x ', y ', z ']t = [b1 b2 b3]t + ( A ) [x, y, z]t
donde A es una matriz 3 x 3:
Puntos fijos
Tipo de movimiento
3
un punto fijo
Composición de un giro y una simetría; el eje de giro y el plano de simetría son
perpendiculares y se cortan en el punto fijo
2
no hay puntos
fijos
Movimiento helicoidal
2
una recta de
puntos fijos
Rotación de eje la recta de puntos fijos
1
no hay puntos
fijos
Simetría deslizante (simetría respecto de un plano seguida de una traslación de
vector paralelo al plano de simetría)
1
un plano de
puntos fijos
Simetría respecto del plano de puntos fijos
0
no hay puntos
fijos
Traslación
0
todos los puntos
son fijos
Identidad
ad
em
ia
M
in
as
rango (A
- I)
Ac
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