traza y determinante

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE
UNA MATRIZ
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ
1.3.1. Concepto de Traza.
1.3.2. Propiedades de la traza.
1.3.3. Determinante de una matriz.
1.3.4. Cálculo de determinantes de orden 2 y orden 3.
1.3.5. Menor complementario y adjunto de un
elemento.
1.3.6. Desarrollo de un determinante por los adjuntos
de una fila o de una columna.
1.3.7. Propiedades de los determinantes
1.3.8. Cálculo general de determinantes
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.1. CONCEPTO DE TRAZA
DEFINICIÓN DE TRAZA
 a11 a12

 a21 a22
A   a31 a32
Sea una matriz cuadrada de orden n


 
a
 m1 am 2
a13
a23
a33

am 3
 a1n 

 a2 n 
 a3n 

  
 amn 
Se define la traza de la matriz A y se denota por Tr(A) como la suma de los elementos de la diagonal
principal:
EJEMPLO
Calcula la traza de las siguientes matrices:
0  2
 3


A 1 2
9
9
7
2 

3 1

1 3 9
 1 1 0




a 2
B   1 2 7  C   3 2 8 D  
2 3
 9 8 3
 0 7 3

c 7





2 5

3 7
6 b

2 1
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, se verifican las siguientes
propiedades:
1)
EJEMPLO:
2)
EJEMPLO
3)
EJEMPLO
4)
EJEMPLO
5) En general
EJEMPLO
6) En general si la matriz A tiene inversa entonces
EJEMPLO
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA: EJERCICIOS.
1) Dadas las matrices
y
comprobar que
Ejercicios: Libro
“Problemas y cuestiones
de álgebra lineal” P.
Ortega
Pág. 166,167
Ejercicios 1,2,4
2) Demostrar que se verifica
3) Si A es una matriz antisimétrica ¿Cuánto vale su traza?
4) Demostrar que si A es una matriz simétrica entonces
5) Dadas dos matrices cuadradas de orden n A y B, tales que
demostrar que
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
DEFINICIÓN FORMAL:
Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el determinante de A y se denota por |A|
o det(A) como la suma de los n! productos con signo formados por n-factores obtenidos de
multiplicar n elementos de la matriz de forma que cada producto contenga un solo
elemento de cada fila y columna de A.
De forma analítica:
Donde :
-
es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,…,n}
es el NÚMERO DE TRASPOSICIONES o cambios requeridos para reordenar la
permutación
en el orden de {1,2,…,n}
OBSERVACIÓN
- Según esta definición la matriz NULA de orden n, tiene siempre determinante 0
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2
 a11 a12 

 , se define el determinante de la matriz A y se denota por det(A) o |A| al
A

Sea
a
a
 21 22 
a11 a12
det(
A
)

 a11  a22  a12  a21 .
siguiente valor numérico:
a21 a22
El primer producto, que contiene el elemento a11 , es a11  a22 :
El segundo producto, con el elemento a12 , es a12  a21 :
EJEMPLOS:
1) Calcula los siguientes determinantes:
5 2
2
1 1 0 3 4
a)
b)
c)
d)
3 2
1 5 3 0 1 7
2) Calcula el valor de x para que se verifiquen la siguientes igualdades:
5 8
6 2
x 3
3 x
a)
c)
 19 b)
 22
 9 d)
8
x 7
x 7
9 x
x 2x
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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 3
Sea
 a11

A   a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
una matriz cuadrada de orden 3, se define el
determinante de la matriz A , y se denota por det(A) | A | , al resultado de la
suma de los siguientes 9 productos:
a11 a12 a13
det(A) | A | a21 a22
a23  a11  a22  a33  a12  a23  a31  a13  a21  a32 
a31
a32 a33
 a11  a23  a32  a12  a21  a33  a13  a22  a31. .
El resultado
del determinante es un número real.
REGLA
DE SARRUS:
Productos con signo positivo
Productos con signo negativo
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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 3
REGLA DE SARRUS
Productos con signo positivo
Productos con signo negativo
EJEMPLOS:
1) Calcula el determinante de las siguientes matrices:
 3 2 6
 3 2 3




a) A    1 4 6 
b) B    1 4 3 
 1 2 6
 1 2 3




2) Calcula el valor de a para que se verifiquen las siguientes igualdades:
x 1 3
x 3 4
a) 2 1 x  7
3 0 2
b) 2 1
2 2
x  6x  8
0
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1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2 Y 3:
EJERCICIOS
1) Calcula los siguientes determinantes:
3 3
1 2
0 1
4 7
0 0
a)
b)
c)
d)
e)
2
4
2 6
1 3
8
4
2 3
2) Determina el valor que debe tener la incógnita x para que
se verifiquen las siguientes ecuaciones:
3 x
1 x
3 0
 12
 2
 21
a)
b)
4 x
8 x x 7
EJERCICIOS: Libro “Problemas y cuestiones
de álgebra lineal” Pedro Ortega
Páginas 168-170
Ejercicios 5,6,7
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Definimos el menor complementario del elemento aij de la
matriz A , al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fija i-ésima y la
columna j-ésima de la matriz A. Al menor complementario del elemento aij de la matriz A se le
denota como
M ij .
EJEMPLO
2
4
1

3
1  2
A
3
7 2

9
0
1
0
1
3 1

1
.Entonces M 12  3  2 2  6  6  0  2  27  0  25 .
2

1
0 3
3 
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define el adjunto o cofactor del elemento aij , y lo
denotamos por
Aij ,
como
Aij  (1)i  j M ij .
EJEMPLO: si consideramos la matriz A de orden 4 anterior, entonces
A12  (1)1 2  M12  (1)  M12  (1)  (25)  25 y A33  (1)33  M 33  M 33  19 .
EJEMPLO: Sea la matriz:
2 1 6
3


2  2 5 7
A
. Calcula:
3
1 2 7


8

2
0
2


M13 , M 24 , M 44 , M 22 y A13 , A24 , A44 , A22
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO:
EJERCICIOS.
 2 1 5


1) Dada la matriz A    1 2 7  , calcula todos sus menores complementarios
 3 2 1


y sus adjuntos.
2) Calcula el menor complementario de los elementos
3 0 2 4 


1

2
5
3


a23 y a44 en la matriz A  
.

0 2 1 3


 6 1 4 0 
EJERCICIOS: Libro “Problemas y
cuestiones de álgebra lineal” P. Ortega
Pág. 170 ejercicio 8
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS
DE UNA FILA O UNA COLUMNA
Sea A una matriz cuadrada de orden n. El determinante de A se puede obtener mediante la suma d
los productos de los elementos de una fila o de una columna por sus adjuntos correspondientes.
a) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la fila i-ésima:
| A | ai1  Ai1  ai 2  Ai 2  ai 3  Ai 3  ...  ain  Ain
b) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la columna j-ésima:
| A | a1 j  A1 j  a2 j  A2 j  a3 j  A3 j  ...  anj  Anj .
2

3
EJEMPLO: Considera la matriz A  
3

3
1

0
2  1
. Para calcular el determinante de esta matriz por los
2 1  2

4  2  5 
3
0
adjuntos de la segunda fila:
| A | a21  A21  a22  A22  a23  A23  a24  A24 
 3  (1)21  M 21  0  (1)2 2  M 22  2  (1)23  M 23  (1)  (1)2 4  M 24 
3
 3  2
0
1
2 3
1 2 3
1  2  2  3 2  2  3 2
4 2 5
3 4 5
0
1 
3 4 2
 3(15  4  4  12)  2(20  18  12  6  45  16)  (8  9  18  8) 
 3  3  2  29  9  76 .
Calculemos ahora el determinante desarrollando por los adjuntos de la tercera columna
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS
DE UNA FILA O UNA COLUMNA: EJERCICIOS
1 Calcula los siguientes determinantes desarrollando por alguna de sus filas o
columnas:
2 3 0 1
1 2 5
2 0 3 4
a) 0 2 0 b)
EJERCICIOS: Libro “Problemas
0 7 1 5
4 8 3
y cuestiones de álgebra lineal”
8 5 0 3
P. Ortega
Págs. 170,171
Ejercicio 9
2) Calcula el determinante de la matriz:
0 2
3
1


2

3
0
5


A
2
3 2  1


0 2
1
7
a) Desarrollando por los adjuntos de la segunda fila.
b) Desarrollando por los adjuntos de la segunda columna.
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (1/4)
1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su
t
traspuesta: A  A .
 1 7
EJEMPLO: Comprobar con la matriz A  

 1 6
2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna de ceros, entonces su
determinante es cero.
2 3 1
10 0
 y 0 0 0 .
EJEMPLO:
3 0
1 3 7
3. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas (o dos de sus
columnas), entonces el determinante de la matriz resultante cambia de signo.
EJEMPLO:
2 0 1
3 2
1 2
 ; intercambiando las columnas
2 0 1
 2 7 1  y . 3 2 5 .
3 2 5
2 7 1
2 3
2 1
.
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (2/4)
4. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son iguales entonces su
determinante es nulo.
2 5 1
1 2

Ejemplo,
y 3 6 6
1 2
2 5 1
5. Si multiplicamos por el mismo número real k todos los elementos de una fila
o una columna de una matriz cuadrada A, entonces el determinante de la matriz
B resultante verifica que det( B)  k  det( A) .
3
2
3k 2k
3
2

.

Ejemplos:
1 1
k k
1 1
6. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales
entonces su determinante es nulo.
Por ejemplo,
2
6
2
4
 (aplicando las propiedades 4 y 5).
1 6
1 2
3
3
4
3  (aplicando las propiedades 4 y 5).
9
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (3/4)
7. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces det(k  A)  k n  det( A) .
Demostración:
det(k  A)  k  a 1
 k 2 a 1
a 2
k  a .2
 k  a n  k a 1
 k  a n  ...  k n a 1
k  a .2
 k  a .n 
 an  k n  det( A) .
a 2
8. Si a la fila (o columna) de una matriz le sumamos una combinación lineal de
una o varias paralelas a ella, entonces su determinante no varia.
7
1

7
1
.
2  2  7  3  2 1
2 3
9. Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) que es combinación lineal
de otras, entonces el determinante de la matriz es nulo. Además si el
determinante de una matriz es nulo, entonces existe al menos una fila (o
columna) que es combinación lineal de las demás.
Ejemplo,
1
2
Ejemplo, 2  3
2
5
y
3
 1  0 pues a1  a2  a3
7
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (4/4)
TEOREMA: Un conjunto de n-vectores de n-componentes es linealmente
independiente si y sólo si el determinante de orden n de la matriz formada por
sus n-vectores colocados en fila (o en columna) es no nulo.
10. Para cualquier fila (o columna de una matriz) se verifica que:
a11
a12
a13
a11
a12
b13
a11
a12
a13  b13
a21
a22
a23  a21
a22
b23  a21
a22
a23  b23
a31
a32
a33
a32
b33
a32
a33  b33
Ejemplo, comprobemos que
2 3
7 8
a31

2
6
7 2

a31
2 9
7 6
;
11. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de
sus determinantes: | A  B || A |  | B |.
 3 4  1  1 3 4 1  1



Por ejemplo, comprobemos que 
.
7
1
2
5
7
1
2
5



12. Si una matriz A de orden n tiene inversa entonces det( A1 )  1/ det( A) .
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES : EJERCICIOS
1
x
1
1) Sabiendo que 2
y
3  1, calcula sin aplicar la regla de Sarrus los
2
z
5
2
a) 2
z 5
1 3x 3
2 5 7
determinantes:
y 3 b) 2 3 y 9 c) x y z
3 3x 3
2 3 z 15
1 3 5
2) Halla los siguientes determinantes aplicando las propiedades:
5 10 x
 x 2y
1 a
a)
b) 1 a 2
c)
3 6x
 y 2x
3) Demuestra, sin desarrollarlos, que los siguientes determinantes
son nulos:
2 0 1
1 2
5
0 1 3
EJERCICIOS: Libro
a) 3 0  7 b) 4 1
c) 2
3
1 6
“Problemas y cuestiones de
0  7  17
4 0 2
2
0 9
álgebra lineal” P. Ortega
Págs. 171-173
Ejercicios 10,11,12
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES
Hemos visto que el determinante se obtiene desarrollando por cualquiera de las
filas o columnas de la matriz.
En consecuencia, para calcular el determinante elegiremos una fila o columna que
tenga el mayor número de ceros para que los cálculos se simplifiquen.
Por otro lado, utilizando las propiedades de los determinantes, en concreto,
haciendo uso de la propiedad 8, es posible calcular el determinante de una matriz
por medio de otra que tenga una fila o columna con el mayor número de ceros.
HACIENDO CEROS:
EJEMPLO
2
| A |
3
0
1
3 0
2
1
3 2
5

3
2
1
0 0
0
1
 1  2 C1 C1 3C4  3 2
3 4 2
5
C3 C3  2 C4
5 2
 12 4  12
5
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES: EJERCICIOS
1) Calcula el determinante de la siguiente matriz haciendo
ceros en la tercera fila:
EJERCICIOS: Libro
 3 2 1 5
“Problemas y cuestiones de


 4 1 2 2
álgebra lineal” P. Ortega
B
Págs. 173; 177; 180
0 1 3 7


Ejercicios 13, 15, 16
2
2
3
5


1
2) Calcula el siguiente determinante:
0
1 1
1 1 1 1
2
1 0
2
3
1 0 2
3) Comprueba que se verifica la siguiente igualdad:
1 1 1
a
b
a2
b2
c  (b  a)(c  a)(c  b) .
c2
CUESTIONES: Libro:
“problemas y cuestiones de
álgebra lineal” P. Ortega
Pág. 194-196 cuestiones 1-10