10 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 10.1. Forma normal de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden o sistema lineal dx1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + . . . + a1n (t)xn + f1 (t) dt dx2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + . . . + a2n (t)xn + f2 (t) dt ... dxn = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 + . . . + ann (t)xn + fn (t) dt aij (t), fi (t), i, j = 1, 2, . . . , n son continuas en un intervalo I Si fi (t) = 0, i = 1, 2, . . . , n es un sistema lineal homogéneo Si algún fi (t) 6= 0 es un sistema lineal no homogéneo 10.2. Forma matricial de un sistema lineal X= x1 x2 .. . , A(t) = xn a11 (t) a21 (t) .. . an1 (t) f1 f2 B(t) = . .. a12 (t) a22 (t) ... ... an2 (t) . . . a1n (t) a2n (t) .. . , ann (t) fn Sistema no homogéneo en forma matricial: X 0 = AX + B Sistema homogéneo en forma matricial: X 0 = AX x Ejemplo: Si X = y , el sistema z dx = 6x + y + z + t dt dy = 8x + 7y − z + 10t dt dz = 2x + 9y − z + 6t dt es 6 1 1 t X 0 = 8 7 −1 X + 10t 2 9 −1 6t 2 Solución del sistema lineal Un vector solución en un intervalo I es X = x1 (t) x2 (t) .. . cuyas componentes satisfacen el xn (t) sistema Un vector solución se compone de n funciones x1 (t) = φ1 (t), x2 (t) = φ2 (t),. . . ,xn (t) = φn (t) que son las ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio Si n = 2, la curva es la trayectoria y el plano donde se representa es el plano fase 10.3. Problema de valor inicial Resolver X 0 = A(t)X + B(t), X(t0 ) = X0 , donde x1 (t0 ) γ1 x2 (t0 ) γ2 X(t0 ) = y X0 = .. cuyas componentes γ1 , γ2 , . . . , γn son constantes dadas .. . . xn (t0 ) γn Teorema: Si las funciones componentes de A(t) y F (t) son continuas en un intervalo I que contiene a t0 , existe una solución única del problema de valor inicial en el intervalo 10.4. Sistemas lineales homogéneos Principio de superposición: Si X1 , X2 , . . . , Xk son soluciones de un sistema lineal homogéneo, entonces X = c1 X1 + c2 X2 + . . . + ck Xk donde c1 , c2 , . . . , ck son constantes arbitrarias, es solución del sistema también Si X1 , X2 , . . . , Xk son soluciones de un sistema lineal homogéneo, se dice que son linealmente dependientes si existen c1 , c2 , . . . , ck no todas cero, tales que c1 X1 + c2 X2 + . . . + ck Xk = 0 para todo t del intervalo Si el conjunto no es linealmente dependiente, es linealmente independiente 10.5. Criterio para las soluciones linealmente independientes: Wronskiano Sean X1 = x11 (t) x21 (t) .. . xn1 (t) , X2 = x12 (t) x22 (t) .. . xn2 (t) , . . . , Xn = x1n (t) x2n (t) .. . xnn (t) n soluciones del sistema homogéneo en un intervalo I , entonces, el conjunto solución es linealmente independiente en I si y sólo si el Wronskiano ¯ ¯ ¯ x11 x12 . . . x1n ¯ ¯ ¯ ¯ x21 x22 . . . x2n ¯ ¯ ¯ 6= 0 W (X1 , X2 , . . . , Xn ) = ¯ ¯ ¯ ... ¯ ¯ xn1 xn2 . . . xnn ¯ 3 para todo t en el intervalo 10.6. Conjunto fundamental de soluciones de un sistema lineal homogéneo Todo conjunto {X1 , X2 , . . . , Xn } de n vectores solución linealmente independientes de un sistema lineal homogéneo en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones del intervalo Siempre existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo en un intervalo I Si {X1 , X2 , . . . , Xn } es un conjunto fundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo en un intervalo I , entonces, la solución general del sistema en el intervalo es X = c1 X1 + c2 X2 + . . . + cn Xn donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes arbitrarias 10.7. Matriz fundamental asociada a un sistema diferencial lineal homogéneo Si {X1 (t), X2 (t), . . . , Xn (t)} es un conjunto fundamental de soluciones del sistema X 0 = AX , entonces la matriz F (t) = (X1 (t)X2 (t) . . . Xn (t)) se dice que es una matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo Observaciones: |F (t)| 6= 0, tiene inversa Si F (t) es un matriz fundamental del sistema homogéneo X 0 = AX general , la solución c1 c2 puede ser representada de la forma X(t) = F (t)C , donde C = . es un vector .. cn columna con componentes constantes 10.8. Solución del sistema no homogéneo Sea Xp una solución del sistema no homogéneo en un intervalo I y Xc = c1 X1 + c2 X2 + . . . + cn Xn la solución general del sistema homogéneo asociado, entonces, X = Xc + Xp es la solución general del sistema no homogéneo en el intervalo y la solución Xc se llama solución complementaria del sistema homogéneo µ Ejemplo: Sea el sistema no homogéneo X 0 = µ 1 5 3 3 ¶ ¶ µ X+ 12t − 11 −3 ¶ 1 3 X tiene como solución general 5 3 µ ¶ µ ¶ 1 3 Xc = c1 e−2t + c2 e6t : −1 5 El sistema homogéneo asociado X 0 = 4 µ • X1 = 1 −1 ¶ µ e−2t y X2 = 3 5 ¶ e6t son soluciones y ¯ ¯ • Son linealmente independientes, pues W (X1 , X2 ) = ¯¯ e−2t −e−2t ¯ 3e6t ¯¯ = 8e4t 6= 0 5e6t ¯ µ ¶ µ ¶ 1 3 −2t De la misma forma, X1 = e y X2 = e6t forman un conjunto fundamental −1 5 de soluciones, por tanto, una matriz fundamental será ¶ µ e−2t 3e6t F (t) = −e−2t 5e6t y la solución general del sistema homogéneo será µ e−2t X(t) = F (t)C = −e−2t µ Xp = 3t − 4 −5t + 6 3e6t 5e6t ¶µ c1 c2 ¶ ¶ es solución particular del no homogéneo La solución general del sistema es µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 3 3t − 4 X = Xc + Xp = c1 e−2t + c2 e6t + −1 5 −5t + 6 5 Ejercicios del capítulo 1. En los siguientes ejercicios, escribe el sistema en forma matricial: a) 0 x =x−y+z+t−1 y 0 = 2x + y − z − 3t2 0 z = x + y + z + t2 − t + 2 ½ b) x0 = −3x + 4y + e−t sen 2t y 0 = 5x + 9y + 4e−t cos 2t 2. En los siguientes ejercicios, expresa el sistema dado sin usar matrices: a) b) 7 X0 = 4 0 d dt µ x y ¶ µ = µ 3. Comprueba que X = 5 1 −2 3 1 −7 1 8 0 −9 1 X + 2 e5t − 0 e−2t . 3 3 1 ¶µ 5 cos t 3 cos t − sen t x y ¶ µ + 4 8 ¶ µ sen t + t−4 2t + 1 ¶ e4t . ¶ et es solución del sistema dy = −2x + 5y dt dy = −2x + 4y. dt µ ¶ µ ¶ 1 1 −2t 4. Determina si los vectores X1 = e , X2 = e−6t constituyen un conjunto 1 −1 fundamental de soluciones del sistema X 0 = AX si son soluciones de éste. 5. Demuestra que la solución general de µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 −1 1 4 −1 X0 = X+ t2 + t+ −1 1 1 −6 5 en el intervalo (−∞, ∞) es: µ ¶ √ µ ¶ √ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1√ 1√ 1 −2 1 X = c1 e 2t + c2 e− 2t + t2 + t+ . 0 4 0 −1 − 2 −1 + 2 6. Sea x01 (t) a11 x02 (t) = a21 x03 (t) a31 a12 a22 a32 a13 x1 (t) a23 x2 (t) a33 x3 (t) donde aij son números reales para i, j = 1, 2, 3. x1 a ) Demuestra que si X(t) = x2 es solución del sistema, también lo son X 0 (t) y x3 X 00 (t). 2 t b ) Si X(t) = 2t es solución del sistema, forma una matriz fundamental del 2 sistema. 6 c ) Escribe la solución general del sistema. eat d ) Calcula el valor de a para que X(t) = 0 sea también solución del sistema. 0 7