Profesores: Natacha Astromujoff, Alejandro Maass, Mauricio Telias

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Álgebra Lineal 16-1
Profesores: Natacha Astromujoff, Alejandro Maass, Mauricio Telias
P1) Considere el sistema lineal en R4 :
x1 − αx3 + x4
x2 + αx3 + x4
x1 + x2 + αx3
αx1 + x2
=
=
=
=
0
α
1
0
Encuentre los valores del parámetro real α para que el sistema no tenga solución, tenga infinitas
soluciones o tenga solución única. Cuando existan soluciones escriba el conjunto solución.
P2) Sea D = diag(d1 , . . . , dn ) ∈ Mn,n (R) una matriz diagonal, donde los valores d1 , . . . , dn en la
diagonal de D son todos distintos.
(i) (2 ptos.) Sea M ∈ Mn,n (R) tal que M D = DM .Probar que M es diagonal.
(ii) (2 ptos.) Sean A, B, S ∈ Mn,n (R) y asuma que S es invertible. Probar que si S −1 AS y S −1 BS
son matrices diagonales entonces AB = BA.
(iii) (2 ptos.) Sean A, B, S ∈ Mn,n (R). Asuma que S es invertible y que S −1 AS = D. Pruebe que
si AB = BA entonces S −1 BS es diagonal.
P3) Sea M ∈ Mm,n (R) una matriz tal que M T M ∈ Mn,n (R) es invertible. Definamos la matriz
P ∈ Mm,m (R) como P = I − M (M T M )−1 M T , donde I es la identidad de dimensión m. Pruebe
que,
(i) (2 ptos.) P 2 = P y P · M = 0, donde 0 es la matriz nula de dimensión m.
(ii) (2 ptos.) Las matrices M T M y P son simétricas.
(iii) (2 ptos.) P no es invertible.
Justifique cada una de sus respuestas
Tiempo: 2:30 hrs.
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