File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 Una forma de tratar la transformación isogonal. Todo va a estar centrado en el círculo inscrito. Las bisectrices van a tener así una forma sencilla y es de esperar que la transformada de un punto M(m,n) se pueda escribir con una expresión sin complicaciones y sin trigonometría. El círculo inscrito va a ser 2 #1: x 2 + y - 1 = 0 Un vértice A va a ser #2: [u, v] Supondremos que A está fuera del círculo inscrito (u^2+v^21>0) Trazamos las tangentes desde A al círculo, que son los lados del triángulo por el vértice A #3: u·x + v·y - 1 = 0 #4: x #5: SOLVE(u·x + v·y - 1 = 0, y) 2 + y 2 - 1 = 0 #6: 1 - u·x y = ————————— v #7: 2 2 2 2 x ·(u + v ) - 2·u·x - v + 1 ——————————————————————————————— = 0 2 v #8: € 2 2 2 2 ‚ ¦ x ·(u + v ) - 2·u·x - v + 1 ¦ SOLVE¦——————————————————————————————— = 0, x¦ ¦ 2 ¦ • v ƒ Los puntos de tangencia son de abscisa #9: 2 2 2 2 u - v·‹(u + v - 1) v·‹(u + v - 1) + u x = —————————————————————— • x = —————————————————————— 2 2 2 2 u + v u + v Las ordenadas correspondientes son #10: 2 2 u·‹(u + v - 1) + v y = —————————————————————— 2 2 u + v Page: 1 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 2 2 v - u·‹(u + v - 1) y = —————————————————————— 2 2 u + v #11: y así los puntos de tangencia son #12: „ 2 2 2 2 † ¦ u - v·‹(u + v - 1) u·‹(u + v - 1) + v ¦ ¦——————————————————————, ——————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ #13: „ 2 2 2 2 † ¦ v·‹(u + v - 1) + u v - u·‹(u + v - 1) ¦ ¦——————————————————————, ——————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ *************** Vamos comprobando con u=2, v=3 #14: „ ¦ 2 2 comprobando1(u, v) := ¦x + y - 1 = 0, [u, v], ¦ … „ 2 2 2 2 † ¦ u - v·‹(u + v - 1) u·‹(u + v - 1) + v ¦ ¦——————————————————————, ——————————————————————¦, ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ „ 2 2 2 2 †† ¦ v·‹(u + v - 1) + u v - u·‹(u + v - 1) ¦¦ ¦——————————————————————, ——————————————————————¦¦ ¦ 2 2 2 2 ¦¦ … u + v u + v ‡‡ #15: comprobando1(2, 3) #16: „ 2 2 „ 2 6·‹3 4·‹3 3 † „ 6·‹3 ¦x + y - 1 = 0, [2, 3], ¦———— - ——————, —————— + ————¦, ¦—————— + … … 13 13 13 13 ‡ … 13 2 3 4·‹3 †† ————, ———— - ——————¦¦ 13 13 13 ‡‡ La primera solución corresponde al lado que llamaríamos AB en el orden acostumbrado. ***************** Ahora trazamos los lados La recta AB es 2 #17: x·(v·‹(u 2 + v 2 - 1) - u) - y·(u·‹(u Page: 2 2 + v 2 - 1) + v) + u 2 + v = 0 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 La recta AC es #18: x·(v·‹(u 2 + v 2 - 1) + u) + y·(v - u·‹(u 2 + v 2 - 1)) - u 2 - v 2 = 0 ******************** comprobamos #19: „ 2 2 2 2 comprobando2(u, v) := …x + y - 1 = 0, [u, v], x·(v·‹(u + v - 1) - u) - y·(u·‹(u 2 + v + u) + y·(v - u·‹(u 2 2 - 1) + v) + u + v 2 - 1)) - u 2 2 + v - v 2 2 = 0, x·(v·‹(u 2 + v 2 † = 0‡ #20: comprobando2(2, 3) #21: „ 2 2 …x + y - 1 = 0, [2, 3], x·(6·‹3 - 2) - y·(4·‹3 + 3) + 13 = 0, † x·(6·‹3 + 2) + y·(3 - 4·‹3) - 13 = 0‡ Parece que va bien *********************** El lado BC va a ser #22: y + 1 = 0 y así los vértices van a ser los siguiente, B es #23: „ 2 2 2 † ¦ u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1) ¦ ¦———————————————————————————————————, -1¦ ¦ 2 2 ¦ … u - v·‹(u + v - 1) ‡ y C es #24: „ 2 2 2 † ¦ u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1) ¦ ¦- ———————————————————————————————————, -1¦ ¦ 2 2 ¦ … v·‹(u + v - 1) + u ‡ ******************** Comprobamos Page: 3 - 1) File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 #25: „ „ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 2 2 ¦ comprobando3(u, v) := ¦x + y - 1 = 0, ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … … u 2 2 2 u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1) ——————————————————————————————————— 2 2 u - v·‹(u + v - 1) 2 2 2 u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1) - ——————————————————————————————————— 2 2 v·‹(u + v - 1) + u u #26: Time: 18:11:08 v †† ¦¦ ¦¦ ¦¦ -1 ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ -1 ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ v ‡‡ comprobando3(2, 3) „ „ 2 ¦ ¦ ¦ 2 2 ¦ - ‹3 - 1 ¦x + y - 1 = 0, ¦ ¦ ¦ ‹3 - 1 ¦ ¦ … … 2 #27: 3 †† ¦¦ -1 ¦¦ ¦¦ -1 ¦¦ ¦¦ 3 ‡‡ Va bien ********************** Las bisectrices las obtenemos muy fácilmente ahora. Son las siguientes:wsuba #28: v·x - u·y = 0 wsubb es #29: y·(u·‹(u 2 + v 2 - 1) + u 2 + v·(v + 1)) - x·(v·‹(u 2 + v 2 - 1) - u) = 0 y wsubc es #30: y·(u·‹(u 2 + v 2 - 1) - u 2 - v·(v + 1)) - x·(v·‹(u ************************ Comprobamos Page: 4 2 + v 2 - 1) + u) = 0 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 #31: Time: 18:11:08 „ 2 2 2 comprobando4(u, v) := …v·x - u·y = 0, y·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)) - x·(v·‹(u 2 + v 2 u 2 - 1) - u) = 0, y·(u·‹(u 2 - v·(v + 1)) - x·(v·‹(u 2 + v 2 + v 2 - 1) - † - 1) + u) = 0‡ #32: comprobando4(2, 3) #33: [3·x - 2·y = 0, x·(2 - 6·‹3) + y·(4·‹3 + 16) = 0, y·(4·‹3 - 16) x·(6·‹3 + 2) = 0] Va bien ************************* Ahora tomamos un punto genérico M(m,n) (para comprobar tomamos m=4, n=1, u=2, v=3) y vamos a tratar de hallar su transformado isogonal M'. Recogemos alguna herramienta útil de la caja de herramientas. +++++++++++++++++++++++++ ALGUNAS HERRAMIENTA UTILES #34: SIMETRICOPUNTORESPECTORECTA(v, m, n, p) := „ 2 2 ¦ v ·(n - m ) - 2·v ·m·n - 2·p·m ¦ 1 2 ¦—————————————————————————————————, ¦ 2 2 … m + n 2 2 † v ·(m - n ) - 2·v ·m·n - 2·p·n ¦ 2 1 ¦ —————————————————————————————————¦ 2 2 ¦ m + n ‡ #35: RECTAPORDOSPUNTOS(a, b, c, d) := x·(b - d) + y·(c - a) + a·d - b·c = 0 #36: „ ß·µ - ¼·¿ ¼·´ - ©·µ † INTERSECCIONRECTAS(©, ß, ¼, ´, ¿, µ) := ¦———————————, ———————————¦ … ©·¿ - ß·´ ©·¿ - ß·´ ‡ ++++++++++++++++++++++++++ Trazamos el simétrico de M respecto de wsuba, que es Page: 5 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 „ 2 2 2 2 † ¦ m·(u - v ) + 2·n·u·v 2·m·u·v + n·(v - u ) ¦ ¦———————————————————————, ———————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ #37: Unimos este punto con A obteniendo una recta en la que está M' 2 #38: x·(2·m·u·v + n·(v 2 - u 2 2 2 2 2 - u ) - v·(u + v )) - y·(m·(u - v ) + u·(2·n·v 2 2 2 - v )) - (u + v )·(m·v - n·u) = 0 Ahora obtenemos el simétrico de M respecto de wsub #39: „ ¦ ¦¦ … 2 2 2 4 2 2 2~ (m·(u·‹(u + v - 1)·(u + v·(v + 2)) + u + u ·(v + v - 1) + v ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ ~ ~ 2 2 2 2 2 ~ ·(v + 1)) + n·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))·(v·‹(u + v - 1~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 6 4 2 2 4 6 2 ~ (u + 3·u ·v + 3·u ·v + v )·(v + 1) ~ 2 2 2 2 4 2 3 ~ ) - u))·(u·(u + v )·‹(u + v - 1) - u - u ·v·(2·v + 1) - v ·(v ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ ~ ~ + 1)) ——————, 2 2 2 4 2 2 2~ (n·(u·‹(u + v - 1)·(u + v·(v + 2)) + u + u ·(v + v - 1) + v ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ ~ ~ 2 2 2 2 2 ~ ·(v + 1)) - m·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))·(v·‹(u + v - 1~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 6 4 2 2 4 6 2 ~ (u + 3·u ·v + 3·u ·v + v )·(v + 1) ~ 2 2 2 2 4 2 3 ~ ) - u))·(u·(u + v )·‹(u + v - 1) - u - u ·v·(2·v + 1) - v ·(v ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ ~ ~ Page: 6 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 † + 1)) ¦ ——————¦ ¦ ‡ Unimos este punto con B, obteniendo otra recta en la que está M' #40: x·(m·(u 2 2 2 2 2 2 2 + v )·(v + 1) ·(v·‹(u + v - 1) - u) + n·(u·‹(u + v - 1)·(u·‹(u 2 + v 2 - 1)·(u 2 + v·(v + 2)) - (u 2 2 2 6 + v )·(v + 1) ) - u - 4 2 2 2 3 2 u ·(2·v + 2·v - 1) - u ·v·(v + 1)·(v + 2·v - 1) - v ·(v + 1) ) + 4 (u 2 2 4 2 2 2 2 + 2·u ·v + v )·(v + 1) )·(v·‹(u + v - 1) - u) + y·(u + 2 2 2 2 2 v )·(v + 1)·((v + 1)·(n·(2·u·v·‹(u + v - 1) - u ·(v + 1) 2 2 2 2 2 2 2 v ·(v - 1)) - (u + v )·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))) 2 m·(‹(u 2 + v 2 - 1)·(u·‹(u 2 + v 2 - 1)·(u 2 + v·(v + 2)) - (u - 2 5 3 2 2 2 v )·(v + 1)) - u - u ·(v + v - 1) - u·v ·(v + 1))) + (u + 2 2 2 2 2 2 2 2 v ) ·(v + 1) ·(m·(v·‹(u + v - 1) - u) - n·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))) = 0 y finalmente obtenemos la intersección M' de las dos rectas obtenidas #41: „ 2 2 2 2 2 3 2 ~ ¦ (u + v )·(m ·u·(u + v )·(v + v - v - 1) + m·~ ¦———————————————————————————————————————————————————————————————————~ ¦ 2 4 3 2 2 2 3 2 4 ~ … m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1)·~ 2 2 2 2 4 2 4 2 2 ~ ((u + v ) ·(v + 1) - n·(u ·(v + 2·v + 1) - v ·(v + 1) )) - n ·u~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 2 2 2 2 4 2 2 4 ~ (v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v )·~ 2 2 2 ·(u + v )·(v + 1)·(v + 2·v + 1)) —————————————————————————————————————————————————————, 2 2 2 2 2 (v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) Page: 7 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 2 2 ~ (u + v )~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 4 3 2 2 2 3 2 4 ~ m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1)~ 2 2 2 2 2 2 ~ ·(v + 1) ·(m ·v·(v - 1) - 2·m·n·u·v + n·(n·(u - v) + u + v )) ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 2 2 2 2 4 2 2 4 ~ ·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v )~ † ¦ ——————————————————————————————————————————————————————¦ 2 2 2 2 2 ¦ ·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) ‡ ****************************** Comprobamos #42: „„ u ¦¦ ¦¦ 2 2 2 ¦¦ u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1) ¦¦ ——————————————————————————————————— ¦¦ 2 2 ¦¦ u - v·‹(u + v - 1) comprobando5(u, v, m, n) := ¦¦ ¦¦ 2 2 2 ¦¦ u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1) ¦¦ - ——————————————————————————————————— ¦¦ 2 2 ¦¦ v·‹(u + v - 1) + u ¦¦ …… u v † ¦ ¦ ¦ -1 ¦ ¦ ¦ ¦, [m, n], ¦ ¦ -1 ¦ ¦ ¦ ¦ v ‡ Page: 8 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 ~ ~ ~ ~ ~ „ 2 2 2 2 2 3 2 ~ ¦ (u + v )·(m ·u·(u + v )·(v + v - v - 1) + ~ ¦—————————————————————————————————————————————————————————————————~ ¦ 2 4 3 2 2 2 3 2 4 ~ … m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 4 2 4 2 2~ m·((u + v ) ·(v + 1) - n·(u ·(v + 2·v + 1) - v ·(v + 1) )) - n ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 2 2 2 2 4 2 2 4~ )·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 ·u·(u + v )·(v + 1)·(v + 2·v + 1)) ———————————————————————————————————————————————————————, 2 2 2 2 2 )·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 ~ (u + v )~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 4 3 2 2 2 3 2 4 ~ m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1)~ ~ ~ ~ ~ ~ Page: 9 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 2 2 ~ ·(v + 1) ·(m ·v·(v - 1) - 2·m·n·u·v + n·(n·(u - v) + u + v )) ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 2 2 2 2 4 2 2 4 ~ ·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v )~ ~ ~ ~ ~ ~ † ¦ ¦ ¦ ¦ †¦ ¦¦ ——————————————————————————————————————————————————————¦¦ 2 2 2 2 2 ¦¦ ·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) ‡¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ‡ #43: comprobando5(2, 3, 4, 1) #44: comprobando5(2, 3, 0, 0) #45: „„ 2 ¦¦ ¦¦ - ‹3 - 1 ¦¦ ¦¦ ‹3 - 1 ¦¦ …… 2 #46: comprobando5(2, 3, 0.2, 0.1) #47: comprobando5(2, 3, 0.5, 0.4) #48: comprobando5(2, 3, -0.5, 0.4) 3 † † ¦ ¦ -1 ¦ ¦ ¦, [0, 0], [0, 0]¦ -1 ¦ ¦ ¦ ¦ 3 ‡ ‡ Page: 10 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 Tiene pinta de marchar bien ******************************* Vamos a ver cuál es la transformada isogonal de x+y+1=0 #49: x + y + 1 = 0 #50: 12·x 2 2 + x·(17 - 7·y) - 5·y + 6·y - 13 = 0 Efectivamente resulta una hipérbola que pasa por los vértices. Parece que va bien. De esta forma podemos obtener la transformada de muchas curvas. Podemos poner, por tanto, para experimentar y explorar Page: 11 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 #51: Time: 18:11:08 „„ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ TRANSFORMADAISOGONAL(u, v, m, n) := ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ …… u 2 2 2 u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1) ——————————————————————————————————— 2 2 u - v·‹(u + v - 1) 2 2 2 u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1) - ——————————————————————————————————— 2 2 v·‹(u + v - 1) + u u v † ¦ ¦ ¦ -1 ¦ ¦ ¦ ¦, [m, n], ¦ ¦ -1 ¦ ¦ ¦ ¦ v ‡ ~ ~ ~ ~ ~ „ 2 2 2 2 2 3 2 ~ ¦ (u + v )·(m ·u·(u + v )·(v + v - v - 1) + ~ ¦—————————————————————————————————————————————————————————————————~ ¦ 2 4 3 2 2 2 3 2 4 ~ … m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 4 2 4 2 2~ m·((u + v ) ·(v + 1) - n·(u ·(v + 2·v + 1) - v ·(v + 1) )) - n ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 2 2 2 2 4 2 2 4~ )·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v ~ ~ ~ ~ ~ ~ Page: 12 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 2 2 2 ·u·(u + v )·(v + 1)·(v + 2·v + 1)) ———————————————————————————————————————————————————————, 2 2 2 2 2 )·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 ~ (u + v )~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 4 3 2 2 2 3 2 4 ~ m ·(u ·(v + v - v - 1) + 2·u ·v ·(v + v - v - 1) + v ·(v - 1)~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 2 2 ~ ·(v + 1) ·(m ·v·(v - 1) - 2·m·n·u·v + n·(n·(u - v) + u + v )) ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2 2 2 2 2 4 2 2 4 ~ ·(v + 1) ) + 2·m·u·(u + v ) ·(v + 2·v + 1) + (u + 2·u ·v + v )~ ~ ~ ~ ~ ~ † ¦ ¦ ¦ ¦ †¦ ¦¦ ——————————————————————————————————————————————————————¦¦ 2 2 2 2 2 ¦¦ ·(v + 1) ·(n ·(v - 1) - n·(u + v·(v - 2)) - u - v ) ‡¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ‡ Page: 13 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 #52: „„ 2 ¦¦ ¦¦ -2.732050807 ¦¦ ¦¦ 0.7320508075 ¦¦ …… 2 #53: Time: 18:11:08 3 † † ¦ ¦ -1 ¦ ¦ ¦, [-0.4, 0.5], [0.4375, -0.5850694444]¦ -1 ¦ ¦ ¦ ¦ 3 ‡ ‡ TRANSFORMADAISOGONAL(2, 3, -0.4, 0.5) Vamos a explorar cuál es la transformada isogonal del círculo de Feuerbach. Introducimos la función #54: € ¦ CIRCUNCIRCULO(m, n, p, q, r, s) := ¦x • 2 2 2 2 2 2 2 ~ m ·(q - s) + n ·(q - s) - n·(p + q - r - s ) + p ·s + q·(q·s -~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2·(m·(q - s) + n·(r - p) + p·s - q·r) ~ 2 2 ‚2 € r - s ) ¦ ¦ ——————————¦ + ¦y - ƒ • 2 2 2 2 2 2 2 2 ~ m ·(p - r) - m·(p + q - r - s ) + n ·(p - r) + p ·r - p·(r + ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2·(m·(q - s) + n·(r - p) + p·s - q·r) ~ 2 2 ‚2 s ) + q ·r ¦ ———————————¦ ƒ ¦„ 2 2 2 2 2 2 2 ~ ¦¦ m ·(q - s) + n ·(q - s) - n·(p + q - r - s ) + p ·s + q·(q·s~ ¦¦————————————————————————————————————————————————————————————————~ ¦… 2·(m·(q - s) + n·(r - p) + p·s - q·r) ~ 2 2 - r - s ) ————————————, 2 2 2 2 2 2 2 2 ~ m ·(p - r) - m·(p + q - r - s ) + n ·(p - r) + p ·r - p·(r + ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2·(m·(q - s) + n·(r - p) + p·s - q·r) ~ 2 2 † ¦2 s ) + q ·r ¦ ¦ ———————————¦ - [m, n]¦ = 0 ‡ ¦ Experimentamos con un caso particular primero. Calculamos el circulo de Feuerbach de ABC con A(u,v) siendo u=2,v=3. Calculamos los puntos medios de los lados. El punto A es Page: 14 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 #55: Time: 18:11:08 [2, 3] El punto B es #56: [- ‹3 - 1, -1] El punto C es #57: [‹3 - 1, -1] El medio de AB es „ 1 ‹3 † ¦——— - ————, 1¦ … 2 2 ‡ #58: El medio de AC es „ ‹3 1 † ¦———— + ———, 1¦ … 2 2 ‡ #59: El medio de BC es #60: [-1, -1] El círculo de Feuerbach es #61: € 1 ‹3 ‹3 1 ‚ CIRCUNCIRCULO¦——— - ————, 1, ———— + ———, 1, -1, -1¦ • 2 2 2 2 ƒ #62: 4·x 2 - 4·x + 4·y 2 + 3·y - 9 = 0 La transformada isogonal de (x,y) cuando u=2, v=3 es #63: „ 2 2 2 † ¦ 4·x + x·(5·y + 13) - 8·y 12·x - 12·x·y + y·(7·y - 13) ¦ ¦———————————————————————————————, - ———————————————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … 4·x - 4·x + 4·y - 19·y + 13 4·x - 4·x + 4·y - 19·y + 13 ‡ Substituímos en la ecuación del círculo de Feuerbach y resulta la curva transformada isogonal de éste. Simplificada da #64: 18·(4·x 2 - 4·x + 4·y 2 - 19·y + 13) 2 3 - (32·x ·(29·y - 40) - 2 2 3 2 8·x ·(8·y + 557·y - 379) + 4·x·(232·y - 181·y + 766·y - 533) 4 64·y 3 - 3323·y 2 + 3·(4159·y - 4615·y + 1521)) = 0 que es una curva extraña de cuarto grado. Page: 15 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 ****************************************** Ahora tratamos de hallar el punto de Feuerbach El vértice A es #65: [u, v] El vértice B es #66: „ 2 2 2 † ¦ u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1) ¦ ¦———————————————————————————————————, -1¦ ¦ 2 2 ¦ … u - v·‹(u + v - 1) ‡ El vértice C es #67: „ 2 2 2 † ¦ u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1) ¦ ¦- ———————————————————————————————————, -1¦ ¦ 2 2 ¦ … v·‹(u + v - 1) + u ‡ #68: CIRCULOFEUERBACH(a, b, c, d, e, f) := x 2 - 2 2 2 ~ x·(a ·(d - f) - 2·a·(b·(c - e) - c·d + e·f) + b ·(f - d) - b·(c ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2·(a·(d - f) + b·(e -~ 2 2 2 2 2 2 - d - e + f ) + c ·f + 2·c·e·(f - d) - d·(d·f + e - f )) 2 ———————————————————————————————————————————————————————————— + y c) + c·f - d·e) Page: 16 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 Time: 18:11:08 2 2 2 2 2 2 ~ y·(a ·(c - e) + a·(2·b·(d - f) - c + d + e - f ) + b ·(e - c) ~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2·(a·(d - f) + b·(e~ 2 2 2 + 2·b·(e·f - c·d) + c ·e + c·(2·d·f - e + f ) - d·e·(d + 2·f)) ———————————————————————————————————————————————————————————————— + - c) + c·f - d·e) 2 2 2 2 2 2 2 ~ a ·(c·d - e·f) - a·b·(c - d - e + f ) + b ·(e·f - c·d) + c ·e·~ ——————————————————————————————————————————————————————————————————~ 2·(a·(d - f) + b·(e - c) + c·f - d·e) ~ 2 2 2 f + c·d·(f - e ) - d ·e·f ——————————————————————————— = 0 #69: € 2 2 2 ¦ u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1) CIRCULOFEUERBACH¦u, v, ———————————————————————————————————, -1, ¦ 2 2 • u - v·‹(u + v - 1) 2 2 2 ‚ u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1) ¦ ———————————————————————————————————, -1¦ 2 2 ¦ v·‹(u + v - 1) + u ƒ Pero esto va muy muy lento. Probamos de otra forma, hallando los puntos medios de los lados. El punto medio del lado BC es #70: „ u † ¦———————, -1¦ … 1 - v ‡ El punto medio del lado AB es #71: „ 2 2 2 † ¦ u·‹(u + v - 1)·(v - 1) - 2·u - v·(v + 1) v - 1 ¦ ¦—————————————————————————————————————————————, ———————¦ ¦ 2 2 2 ¦ … 2·(v·‹(u + v - 1) - u) ‡ El punto medio del lado AC es #72: „ 2 2 2 † ¦ u·‹(u + v - 1)·(v - 1) + 2·u + v·(v + 1) v - 1 ¦ ¦—————————————————————————————————————————————, ———————¦ ¦ 2 2 2 ¦ … 2·(v·‹(u + v - 1) + u) ‡ Page: 17 File: haciaelpuntodeFeuerbach.dfw Date: 24/10/01 #73: Time: 18:11:08 „ 2 CIRCUNFERENCIAPORTRESPUNTOS(a, b, c, d, e, f) := …x ·(a·(d - f) + 2 2 2 2 b·(e - c) + c·f - d·e) - x·(a ·(d - f) + b ·(d - f) - b·(c + d 2 e 2 2 2 2 2 - f ) + c ·f + d·(d·f - e - f )) + y ·(a·(d - f) + b·(e - c) + 2 2 2 2 2 2 c·f - d·e) + y·(a ·(c - e) - a·(c + d - e - f ) + b ·(c - e) + 2 2 2 2 2 2 c ·e - c·(e + f ) + d ·e) + a ·(d·e - c·f) + a·(c ·f + d·(d·f e 2 2 2 2 2 2 - f )) - b·(b·(c·f - d·e) + c ·e - c·(e + f ) + d ·e) = 0, [a, † b], [c, d], [e, f]‡ #74: € ¦ u CIRCUNFERENCIAPORTRESPUNTOS¦———————, -1, ¦ 1 - v • 2 2 2 u·‹(u + v - 1)·(v - 1) - 2·u - v·(v + 1) v - 1 —————————————————————————————————————————————, ———————, 2 2 2 2·(v·‹(u + v - 1) - u) 2 2 2 ‚ u·‹(u + v - 1)·(v - 1) + 2·u + v·(v + 1) v - 1 ¦ —————————————————————————————————————————————, ———————¦ 2 2 2 ¦ 2·(v·‹(u + v - 1) + u) ƒ Taambién así se le agota la memoria. Probar de otro modo. Page: 18