File: kariyafacil.dfw Date: 16/12/01 Time: 21:06:50 Una forma más fácil de tratar el teorema de Kariya. Todo va a estar centrado en el círculo inscrito. De esta forma los puntos S(a,t), S(b,t), S(c,t) tendrán coordenadas más sencillas. Gran parte de este fichero está tomado del fichero isogonalfacil.dfw construido para estudiar mejor la transformación isogonal. El círculo inscrito es #1: x 2 + y 2 - 1 = 0 Un vértice A va a ser #2: [u, v] Supondremos que A está fuera del círculo inscrito (u^2+v^21>0) Trazamos las tangentes desde A al círculo, que son los lados del triángulo por el vértice A. Para comprobar pondremos u=2, v=3.Muchas de las comprobaciones ya han sido hechas en el fichero isogonalfacil.dfw 2 #3: x 2 + y - 1 = 0 y así los puntos de tangencia desde (u,v) son #4: „ 2 2 2 2 † ¦ u - v·‹(u + v - 1) u·‹(u + v - 1) + v ¦ ¦——————————————————————, ——————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ #5: „ 2 2 2 2 † ¦ v·‹(u + v - 1) + u v - u·‹(u + v - 1) ¦ ¦——————————————————————, ——————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ La primera solución corresponde al lado que llamaríamos AB en el orden acostumbrado. ***************** Ahora trazamos los lados La recta AB es #6: x·(v·‹(u 2 + v 2 - 1) - u) - y·(u·‹(u 2 + v 2 - 1) + v) + u 2 + v 2 = 0 La recta AC es #7: x·(v·‹(u 2 + v 2 - 1) + u) + y·(v - u·‹(u El lado BC va a ser Page: 1 2 + v 2 - 1)) - u 2 - v 2 = 0 File: kariyafacil.dfw #8: Date: 16/12/01 Time: 21:06:50 y + 1 = 0 y así los vértices van a ser los siguiente, B es #9: „ 2 2 2 † ¦ u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1) ¦ ¦———————————————————————————————————, -1¦ ¦ 2 2 ¦ … u - v·‹(u + v - 1) ‡ y C es #10: „ 2 2 2 † ¦ u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1) ¦ ¦- ———————————————————————————————————, -1¦ ¦ 2 2 ¦ … v·‹(u + v - 1) + u ‡ ******************** Comprobamos „ „ 2 ¦ ¦ ¦ 2 2 ¦ - ‹3 - 1 ¦x + y - 1 = 0, ¦ ¦ ¦ ‹3 - 1 ¦ ¦ … … 2 #11: 3 †† ¦¦ -1 ¦¦ ¦¦ -1 ¦¦ ¦¦ 3 ‡‡ Va bien ********************** #12: RECTAPORDOSPUNTOS(a, b, c, d) := x·(b - d) + y·(c - a) + a·d - b·c = 0 #13: „ ß·µ - ¼·¿ ¼·´ - ©·µ † INTERSECCIONRECTAS(©, ß, ¼, ´, ¿, µ) := ¦———————————, ———————————¦ … ©·¿ - ß·´ ©·¿ - ß·´ ‡ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++ El punto A es #14: [2, 3] El punto B es #15: [- ‹3 - 1, -1] El punto C es #16: [‹3 - 1, -1] Ahora vamos a trazar los puntos S(a,t), S(b,t), S(c,t). S(a,t) es #17: (1 - t)·[0, 0] + t·[0, -1] Page: 2 File: kariyafacil.dfw Date: 16/12/01 #18: Time: 21:06:50 [0, -t] S(b,t) es #19: „ 2 2 2 2 † ¦ v·‹(u + v - 1) + u v - u·‹(u + v - 1) ¦ (1 - t)·[0, 0] + t·¦——————————————————————, ——————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ es decir „ 2 2 2 2 † ¦ t·(v·‹(u + v - 1) + u) t·(v - u·‹(u + v - 1)) ¦ ¦——————————————————————————, ——————————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ #20: S(c,t) es #21: „ 2 2 2 2 † ¦ u - v·‹(u + v - 1) u·‹(u + v - 1) + v ¦ (1 - t)·[0, 0] + t·¦——————————————————————, ——————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ es decir „ 2 2 2 2 † ¦ t·(u - v·‹(u + v - 1)) t·(u·‹(u + v - 1) + v) ¦ ¦——————————————————————————, ——————————————————————————¦ ¦ 2 2 2 2 ¦ … u + v u + v ‡ #22: Unimos estos puntos a los vértices opuestos. AS(a,t) es #23: x·(t + v) - u·y - t·u = 0 BS(b,t) es #24: 2 2 2 2 2 2 2 2 x·(t·(u·‹(u + v - 1) - v) - u - v )·(v·‹(u + v - 1) - u) + y·(t·(u ·(v - 1) + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v ·(v - 1)) + (u + v )·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1))) + t·(u + v )·(u·‹(u + 2 2 v - 1) + u + (v + 1)·(v - 2)) = 0 CS(c,t) es #25: 2 2 2 2 2 2 2 2 x·(t·(u·‹(u + v - 1) + v) + u + v )·(v·‹(u + v - 1) + u) + y·(t·(u ·(v - 1) + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v ·(v - 1)) - (u + v )·(u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1))) - t·(u + v )·(u·‹(u + 2 2 v - 1) - u - (v + 1)·(v - 2)) = 0 Comprobamos el teorema de Kariya, viendo que concurren Page: 3 File: kariyafacil.dfw #26: Date: 16/12/01 „ t + v ¦ ¦ 2 2 2 2 2 2 DET ¦ (t·(u·‹(u + v - 1) - v) - u - v )·(v·‹(u + v - 1) - u) ¦ ¦ 2 2 2 2 2 2 … (t·(u·‹(u + v - 1) + v) + u + v )·(v·‹(u + v - 1) + u) Time: 21:06:50 2 2 t·(u ·(v - 1) + 2 2 t·(u ·(v - 1) + -u 2 2 2 2 2 2 2 v ·(v - 1)) + (u + v )·(u·‹(u + v - 1) + u + v·(v + 1)) 2 2 2 2 2 2 2 v ·(v - 1)) - (u + v )·(u·‹(u + v - 1) - u - v·(v + 1)) - t·u † ¦ 2 2 2 2 2 ¦ t·(u + v )·(u·‹(u + v - 1) + u + (v + 1)·(v - 2)) ¦ ¦ 2 2 2 2 2 ¦ - t·(u + v )·(u·‹(u + v - 1) - u - (v + 1)·(v - 2)) ‡ #27: 0 Como el determinante de los coeficientes es 0 las tres rectas concurren en un cierto punto S(t), lo que demuestra el teorema de Kariya. A continuación determinamos la hipérbola, lugar de los puntos S(t). Eliminado la t entre la ecuación de AS(a,t) y BS(b,t) resulta la ecuación #28: 2 2 2 2 u·x ·(v - 1) + x·y·(v·(v - 2) - u ) + x·(u + v·(v - 2)) + u·y ·(1 - v) + 2·u·y = 0 #29: 2 2 4·x + x·(7 - y) - 4·y + 4·y = 0 Las pendientes psub1 y psub2 de las asíntotas vienen dadas por la ecuación #30: 2 2 p ·u·(v - 1) + p·(u - v·(v - 2)) + u·(1 - v) = 0 Claramente las asíntotas son perpendiculares y así la hipérbola es equilátera. Page: 4