El Principio del Buen Orden implica El Principio de Inducción

El Principio del Buen Orden implica El Principio de Inducción Matemática
Sea A un subconjunto de números naturales tal que,
(1) contiene al 1, y
(2) si contiene a n entonces contiene a n + 1.
Supongamos que A != N.
Sea B = N − A el conjunto de números naturales que no están en A.
Si A != N, entonces B != ∅.
Luego, por el Principio del Buen Orden, B tiene un elemento más pequeño.
Sea m ∈ B el elemento más pequeño de B.
Observar que m != 1 porque 1 ∈ A.
Por lo tanto, m > 1 y podemos escribir m = (m − 1) + 1, y m − 1 ∈ N.
Observar que m − 1 ∈
/ B porque el número más pequeño en B es m.
Por lo tanto, m − 1 ∈ A y entonces m = (m − 1) + 1 ∈ A.
Esto contradice la suposición ‘ m es el elemento más pequeño de B.’
El Principio de Inducción Matemática implica El Principio del Buen Orden
Sea A un subconjunto de números naturales.
El Principio del buen orden dice:
A != ∅
=⇒
∃ m ∈ A , ∀n ∈ A , m < n
• Esto dice P ⇒ Q, lo cual es equivalente a Q o ∼ P . Es decir,
∃ m ∈ A , ∀n ∈ A , m < n
o
• Supongamos que ∼ Q. Es decir, que,
A=∅
∀ m ∈ A , ∃n ∈ A , m ≥ n
Sea B el subconjunto de N tal que 1, 2, . . . , k, no pertenecen a A.
Observar que 1 ∈ B.
(Porque 1 ∈ A ⇒ ∀n ∈ A , 1 < n ).
Observar que si 1, 2, . . . , k están en B, entonces k + 1 ∈ B.
(Porque k + 1 ∈ A con 1, 2, . . . , k en B ⇒ ∀n ∈ A , k + 1 < n ).
Por el Principio de Inducción Matemática, B = N.
Por lo tanto A = ∅. (Es decir, P )
P
Q
P yQ
P
Q
P oQ
P
Q
P ⇒Q
V
V
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V
V
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V
V
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F
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F
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F
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F
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F
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F
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F
F
V
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