Matemática IV Práctica I. Números Enteros. Aritmética Modular 1. Demostrar por inducción n X i= i=0 n(n + 1) 2 2. La sucesión de Fibonacci. Consideremos la sucesión {a0 , a1 , a2 , · · ·} definida como: a0 = 1 a1 = 1 an+2 = an + an+1 Demostrar por inducción que el término general de la sucesión es "à √ !n # √ !n à 1 1− 5 1+ 5 an = √ − 2 2 5 3. Probar que la relación de divisibilidad satisface, ∀n: a) n|n. (Reflexibidad) b) n1 |n2 =⇒ n2 No divide a n1 . (Antisimetrı́a) c) Si n1 |n2 y n2 |n3 , entonces n1 |n3 . (Transitividad) 4. Calcular, mediante factorización y mediante el algoritmo de Euclides a) (122,700) b) (715,680) c) (1510,200) d) (3742,843) e) (120,360) f) (458,2290) 5. Demuestre que si (a, b) = 1, entonces, (a − b, a + b) = 1 o 2 6. Demostrar que si ax + by = m, entonces (a, b)|m. 7. Demostrar que si (b, c) = 1, entonces para todo positivo a, se tiene que (a, bc) = (a, b)(a, c) 8. Demostrar que para dos enteros a y b se cumple: [a, b] = 9. Calcular a) [12, 28] b) [120, 50] c) [15, 31] ab (a, b) d) [180, 90] 10. Demostrar para un número primo p, si p|(a b) entonces p|a o p|b 11. Probar que si n no es primo, entonces n tiene un divisor primo menor o igual a √ n 12. Usando el ejercicio anterior, implemente un algoritmo computacional para determinar si un número es o no primo. 13. Determinar cuales de los siguientes números son primos a) 31 b) 1009 c) 11157 d) 11111 e) 823 14. Sean a = pα1 1 pα2 2 ...pαnn y b = pβ1 1 pβ2 2 ...pβnn . Probar que (a, b) = pδ11 pδ22 ...pδnn [a, b] = pγ11 pγ22 ...pγnn donde los δj = mı́n{αj , βj } y γj = máx{αj , βj }. 14. Resolver las siguientes ecuaciones de congruencia a. 12 x ≡ 7 mod 17 b. 11 x ≡ 7 mod 84 c. 18 x ≡ 1 mod 25