b - División de Ciencias Básicas

Francisco Barrera García
Bernardo Frontana de la Cruz
Luis Humberto Soriano Sánchez
Tania Reyes Zúñiga
Patricio Rosen Robles
Rogelio González Zepeda
COMISIÓN DE VINCULACIÓN
ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA - COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
FACULTAD DE INGENIERÍA
ÍNDICE
PRESENTACIÓN
i
INTRODUCCIÓN
ii
1. BREVE HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
1
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Y RECÍPROCAS
REFERIDAS A UN ÁNGULO AGUDO 6
2.1 Resolución de Triángulos Rectángulos
Ejemplos 9
8
3.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS 15
Ejemplos 16
Ejercicios propuestos
17
4.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°
24
4.1 Funciones trigonométricas de ángulos múltiples de 30°, 45° y 60°
Ejemplos 31
Ejercicios propuestos 34
28
5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO CUALQUIERA
37
5.1 Funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera 40
5.2 Funciones trigonométricas de los ángulos 0°, 90°, 80°, 270° y
coterminales 44
5.3 Equivalencias de las razones trigonométricas 47
Ejercicios propuestos 49
6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
52
6.1 Pitagóricas, recíprocas, por cociente, diferencia y suma de ángulos, doble
de un ángulo, semiángulo y de ángulos negativos. 52
Ejemplos 55
Ejercicios propuestos 65
7. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
7.1 Ley de los senos 68
7.2 Ley de los cosenos 70
Ejemplos 71
Ejercicios propuestos 82
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
87
68
PRESENTACIÓN
Debido a los resultados observados en el examen diagnóstico que se aplica a los alumnos
de nuevo ingreso desde hace varias décadas, la Facultad de Ingeniería de la UNAM ha
desarrollado una serie de actividades con la finalidad de apoyarlos para que enfrenten con
éxito las asignaturas curriculares de su carrera. Así, se han implantado asesorías
temáticas y psicopedagógicas con profesores expertos en estos campos, talleres de
ejercicios, apuntes, libros y problemarios que contienen los conceptos básicos de las
asignaturas de su División de Ciencias Básicas. Otra de las acciones relevantes para tal
fin es la creación de la Comisión de Vinculación de la Facultad de Ingeniería (FI) con el
Bachillerato de la UNAM, integrada por profesores de la División de Ciencias Básicas de
la FI, de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP) y del Colegio de Ciencias y
Humanidades (CCH).
Desde sus inicios, en el año 2000, la Comisión trabaja mediante Subcomisiones en las
áreas propias de las ciencias básicas de la ingeniería: Matemáticas, Física y Química; así
como en la de Orientación Vocacional. Algunos de sus resultados, fruto del trabajo de las
Subcomisiones, son el diseño del perfil del alumno que ingresa a la Facultad, el cual
contiene el anhelo de conocimientos, habilidades, actitudes y valores que los alumnos
deben tener y practicar; la elaboración de la matriz de control para la elaboración de
reactivos que consiste de los contenidos temáticos, los objetivos de aprendizaje y niveles
taxonómicos de las áreas mencionadas; la realización de los reactivos para el examen
diagnóstico; la producción de Guías de Estudio para el Examen Diagnóstico; la realización
de cursos y diplomados dirigidos a los profesores del bachillerato, diseñados conforme a
sus requerimientos; entre otros resultados.
Conforme al programa de trabajo de la Comisión, en fechas recientes el Colegio de
Ciencias y Humanidades publicó el libro CONCEPTOS, PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE
QUÍMICA y la Escuela Nacional Preparatoria la Guía de Física 2006 para preparar el
examen diagnóstico de los alumnos que ingresan a la Facultad de Ingeniería. Ahora, la
Facultad de Ingeniería presenta el primero de cuatro libros del área de Matemáticas que
se tienen programados: Trigonometría. Teoría y ejercicios. La presentación, edición y
publicación de este libro correspondió a la FI; sin embargo, el contenido de ésta y las
otras obras citadas han sido el fruto del trabajo desarrollado por profesores de las tres
entidades de la UNAM que colaboran en las Subcomisiones, a quienes les manifiesto mi
agradecimiento. De igual forma, aprovecho para hacer patente mi agradecimiento a las
personas que colaboraron en la captura: Margarita Figueroa Martínez del Colegio de
Ciencias y Humanidades y Guadalupe Martínez Dávalos de la Facultad de Ingeniería;
asimismo a Araceli Gutiérrez Garnica por las correcciones en fórmulas y figuras e integrar
con uniformidad el libro; y a Irene Patricia Valdez y Alfaro por las correcciones finales en
fórmulas y figuras y por el diseño de la portada.
La Comisión aspira que estos y todos los trabajos que realiza animosa y
comprometidamente, favorezcan a los alumnos del bachillerato y de la Facultad para que
sean de excelencia, como lo ambiciona nuestra Universidad.
Bernardo Frontana de la Cruz
Coordinador General
La Comisión de Vinculación
i
INTRODUCCIÓN
La presente obra tiene como finalidad contribuir al conocimiento y estudio de la
trigonometría por parte de los alumnos del bachillerato y apoyar a los profesores
durante el desarrollo de las asignaturas del área de Matemáticas. Los conceptos
se tratan en forma sencilla y con desarrollos teóricos breves que se acompañan
con un buen número de ejemplos que los ilustran y facilitan la comprensión de los
temas tratados; además, en la mayoría de los capítulos se incluyen ejercicios
propuestos, todos con respuesta, con el propósito de que el estudiante verifique
los resultados que obtenga y refuerce sus conocimientos y habilidades.
Los capítulos que abarca esta obra corresponden, en gran medida, a los
conceptos de trigonometría básica que se estudian en el bachillerato. Se inicia con
una breve historia de la trigonometría que data del siglo II a.c. en Babilonia y
Egipto como resultado de la observación de las sombras de los árboles y las
medidas de los ángulos (capítulo 1).
El capítulo 2 trata los conceptos de razones trigonométricas directas y recíprocas
referidas a un ángulo agudo, con las cuales se determinan los ángulos y las
longitudes de los lados de triángulos rectángulos; a continuación,
en el capítulo 3 se estudian las funciones trigonométricas
de ángulos
complementarios y se presenta el análisis necesario para obtener los valores de
las funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45°, 60° y sus múltiplos
(capítulo 4); este análisis se extiende en el siguiente capítulo al estudio de las
funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera, con el fin de determinar los
signos de estas funciones en los cuatro cuadrantes y se determinan las
equivalencias de las razones trigonométricas para cualquier ángulo, positivo o
negativo.
El capítulo 6 se dedica al estudio de las identidades trigonométricas básicas como
lo son las pitagóricas, las recíprocas, por cociente, de diferencia o suma de
ángulos, ángulo doble y semiángulo; finalmente, el último capítulo corresponde a
los triángulos oblicuángulos, se deducen las leyes de senos y cosenos y se
aplican a la resolución de triángulos de este nombre.
Anhelamos que esta obra realizada con el esfuerzo de profesores de la Facultad
de Ingeniería, el Colegio de Ciencias y Humanidades y la Escuela Nacional
Preparatoria; sea provechosa para los profesores y estudiantes del bachillerato, y
contribuir así a mejorar la preparación de nuestros alumnos.
Los autores
Octubre de 2006
ii
1.
BREVE HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
El vocablo Trigonometría tiene su origen en tres palabras griegas: tri-gono-metría,
que significan respectivamente “tres – ángulos – medida” e indican que, cuando se
adoptó el nombre, el tema del que principalmente trataba estaba vinculado con las
medidas de un triángulo.
Es muy probable que los elementos o fuentes de donde surgió la Trigonometría
hayan sido las sombras y las cuerdas de arco. La observación de sombras
proyectadas por postes y árboles condujo al estudio de los triángulos semejantes.
Los términos matemáticos de “cuerda” y “arco” se derivan ambos de la conocida
arma antigua.
arco
cuerda
La historia de la trigonometría empieza en Egipto y Babilonia*. Los Babilónicos
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. En el
siglo II AC el matemático y astrónomo griego Hipparchus compiló una tabla
trigonométrica para resolver triángulos, alrededor del año 140 A.C. Dicha tabla
proporcionaba la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo en un círculo de
radio r y es equivalente a la tabla de seno. Aunque estas tablas no han
sobrevivido, se conoce que Hipparchus escribió doce libros de tablas de cuerdas,
lo que lo hace fundador de la trigonometría.
1
Otro brillante matemático griego que elaboró una tabla de cuerdas fue Menelao,
aproximadamente 100 años AC. Menelao trabajó en Roma y escribió seis libros de
tablas de cuerdas que se perdieron, pero su trabajo sobre esféricas ha sobrevivido
y es el primer trabajo conocido sobre trigonometría esférica. Menelao también
demostró una propiedad de triángulos planos y la correspondiente propiedad del
triángulo esférico conocida como el regula sex quantitatum.
Tres siglos después el astrónomo Ptolomeo construyó una tabla de cuerdas y
utilizó 60 r debido a que los griegos habían adoptado el sistema numérico
babilónico en base 60 (sexagecimal).
Ptolomeo, junto con los escritores anteriores, utilizó una forma de la relación
sen 2 x  cos 2 x  1 , aunque –por supuesto– sin utilizar seno ni coseno. Con los
autores más tempranos, usó una forma de la relación basada en cuerdas.
Ellos conocían también, en términos de cuerdas, la regla para el seno de la suma
de dos ángulos y la ley de senos, que actualmente se expresan:
sen(x + y) = senx cosy + cosx seny
a
b
c


senA senB senC
Inicialmente, Ptolomeo calculó cuerdas inscribiendo polígonos regulares de lados
3, 4, 5 y 6 en un círculo, lo que le permitió calcular cuerdas respectivamente
subtendidas por ángulos de 36°, 72°, 60°, 90° y 120°. Posteriormente él encontró
un método para encontrar la cuerda subtendida por un arco mitad de una cuerda
conocida. Esto junto con la interpolación hizo posible calcular cuerdas con un alto
grado de precisión. En su obra “Almagesto”, Ptolomeo proporcionó una tabla de
cuerdas de 0° a 180° con variaciones de 1°, con una exactitud de 1/3600 de una
unidad. En ese libro él dio muchos ejemplos del uso de la tabla para encontrar
partes desconocidas de triángulos a partir de ciertos elementos conocidos.
Posiblemente, en la misma época de Euclides, los astrónomos de la India habían
desarrollado un sistema trigonométrico basado en la función seno en lugar de la
función cuerda utilizada por los griegos. Esta función seno era la longitud del lado
opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa fija en lugar de ser
la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa como se conoce hoy.
En el siglo octavo los astrónomos musulmanes heredaron las tradiciones griegas e
indias dando preferencia a la función seno. Al final del siglo décimo ellos habían
completado las otras cinco funciones trigonométricas, descubrieron y demostraron
varios teoremas básicos de la trigonometría para triángulos planos y esféricos.
Todos estos descubrimientos fueron aplicados a la astronomía y para que los
musulmanes pudieran encontrar la dirección de la Meca para hacer sus cinco
2
oraciones diarias. Las tablas para seno y tangente con variaciones de 1/60 de un
grado fueron exactas con un error menor que una parte en 700 millones.
La primera obra occidental sobre trigonometría de gran importancia fue escrita por
el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, conocido como
Regiomontanus. Su obra De triangulis omnimodis, escrita en 1533, contenía
trabajos sobre trigonometría plana y esférica desarrollados cerca de 1464.
Posteriormente, el astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rheticus,
publicó en 1542 las secciones trigonométricas del libro de Copérnico, De
Revolutionibus, proporcionando fórmulas importantes para la astronomía de la
época e introduciendo la concepción moderna de funciones trigonométricas como
razones en lugar de longitudes de segmentos. También escribió tablas de senos y
cosenos –aunque no las nombró así- que fueron publicadas después de su
muerte. Estas fueron las primeras tablas de cosenos publicadas.
El matemático francés François Viète introdujo el triángulo polar en trigonometría
esférica, y estableció fórmulas para sen n  y cos n  en términos de sen  y
cos  .
El primer matemático en utilizar la notación “sin” para seno fue Edmund Gunter en
1624, mientras que el matemático francés Hérigone fue el primero en usar “sin” en
un libro publicado en 1634. La segunda función trigonométrica más importante no
era conocida como coseno, su nombre era seno versed, versin, que se relaciona
con la hoy conocida como coseno mediante la relación ver sin x = 1 – cos x, seno
girado de 90°. El nombre tangente fue utilizado por primera vez por Thomas
Fincke en 1583 y el de cotangente por Edmund Gunter en 1620.
La secante y la cosecante no fueron usadas por los primeros astrónomos. Estas
fueron reconocidas por sus propiedades cuando navegantes del siglo XV
empezaron a preparar tablas. Copérnico oía hablar de la secante que él llamó
hipotenusa. Viète conocía las relaciones:
csc x
1
 cot x 
sec x
tan x
1
cos x

 senx
csc x cot x
El término “trigonometría” surgió por primera vez como el título del libro
Trigonometría escrito por B. Pitiscus y publicado en 1595.
Los cálculos trigonométricos fueron simplificados con la creación de los logaritmos
por el matemático escocés John Napier a comienzos del siglo XVII. Cerca de
medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton
inventó el cálculo diferencial e integral y logró representar sen x, cos x, tan x
como series de potencias de x.
3
En el siglo XVIII el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones
trigonométricas en términos de números complejos y mostró que las leyes básicas
de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de estos números.
Abraham DeMoivre había incursionado en este campo y es conocido por su
fórmula publicada en 1722:
 cos   isen 
n
 cos  n   isen  n 
Por su parte, Euler en 1748 relacionó la base para la exponencial con i y las
funciones trigonométricas seno y coseno:
e i   cos   isen
Johann Bernoulli encontró la relación entre sen 1 z y log z en 1702, mientras que
Cotes mostró en un artículo publicado después de su muerte en 1722 que
ix  log  cos x  isenx  , lo que es equivalente a la fórmula que Euler demostró
posteriormente.
4
Las funciones trigonométricas hiperbólicas, senh, cosh, tanh etc., fueron
introducidas posteriormente por Lambert.
5
2.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Y RECÍPROCAS
REFERIDAS A UN ÁNGULO AGUDO.
Razón. La razón de un número p con otro número q distinto de cero, es el
cociente que resulta de dividir p entre q; es decir, razón es el número que resulta
de comparar mediante un cociente dos magnitudes.
Razones trigonométricas. Son las razones que existen entre los lados de un
triángulo rectángulo y cambian al variar el ángulo de que se trate; es decir, que las
razones son funciones del ángulo.
Sea el triángulo rectángulo ABC, con ángulos agudos A y B.
B
c
a
A
b
C
En este triángulo rectángulo, C es el ángulo recto y c
es la hipotenusa; si nos referimos al ángulo agudo A, a
es el cateto opuesto, y b es el cateto adyacente al
ángulo de referencia. Si en cambio nos referimos al
ángulo agudo B, entonces b es el cateto opuesto y a
es el cateto adyacente para dicho ángulo.
FIGURA 2.1
Las razones que resultan de comparar los lados del triángulo reciben los nombres
de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; que se expresan en
forma abreviada como sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente.
Para un ángulo agudo A cualquiera (en particular el de la Figura 1), estas
funciones se definen como sigue:
senA =
cateto opuesto
a
=
c
hipotenusa
cscA =
hipotenusa
c
=
a
cateto opuesto
senA =
cateto opuesto
a
=
c
hipotenusa
cscA =
hipotenusa
c
=
a
cateto opuesto
tanA =
¡Error!
6
cateto opuesto
a
=
b
cateto adyacente
cotA =
cateto adyacente
b
=
a
cateto opuesto
El seno, coseno y tangente se conocen como razones trigonométricas directas,
mientras que la cosecante, secante y cotangente se conocen como razones
trigonométricas recíprocas.
Fracciones recíprocas. Dos fracciones son recíprocas cuando una resulta de la
inversión de los términos de la otra. El producto de dos fracciones recíprocas es
igual a la unidad.
3
2
son recíprocas, ya que
y
3
2
2y
 2  3  6
   = = 1
 3  2  6
1
son recíprocas, ya que (2)
2
1 2
   1
2 2
Si comparamos las seis funciones trigonométricas de un ángulo, observamos que
son recíprocas dos a dos.
b
a
c
cosA =
b
c
B
a
tanA =
b
a
cotA =
b
a
secA =
c
b
cscA =
c
a
c
A
senA =
C
Como medio mnemotécnico
para recordar con facilidad
cuáles
funciones
son
recíprocas, se señalan como
se indica.
7
Son recíprocas:
a
senA =
y
c
Son recíprocas:
b
cosA =
y
c
Son recíprocas:
a
tanA =
y
b
cscA =
secA =
cotA =
c
de donde:
a
senA  cscA = 1
c
de donde:
b
senA =
1
csc A
…(2)
cscA =
1
senA
...(3)
cosA secA = 1
b
de donde:
a
…(1)
...(4)
cosA =
1
secA
...(5)
secA =
1
cos A
...(6)
tanA cotA = 1
...(7)
tanA =
1
cot A
...(8)
cotA =
1
tanA
...(9)
NOTA: Los números que se citan a la derecha de cada igualdad permitirán
elaborar un formulario.
2.1
Resolución de triángulos rectángulos
Al resolver los triángulos rectángulos es importante tener presente que los
elementos de un triángulo rectángulo son seis: tres lados y tres ángulos. Cuando
en un triángulo rectángulo se conocen, además del ángulo recto, dos elementos,
siendo uno de ellos un lado, es posible calcular el resto de los elementos
utilizando las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
Los catetos y la hipotenusa de todo triángulo rectángulo están relacionados en la
forma:
c  a2  b2
en donde
c
b
a
8
EJEMPLOS
Ejemplo 2.1
Indicar, en los siguientes triángulos rectángulos, la hipotenusa, así como el cateto
opuesto y el cateto adyacente respecto al ángulo indicado.
a)
b)
m
M
w
f
o
A
n
h
s
m
a
c)
S
H
Resolución:
a) hipotenusa= m,
b) hipotenusa= o,
c) hipotenusa= w,
cateto opuesto=a,
cateto opuesto=m,
cateto opuesto=h,
cateto adyacente=n
cateto adyacente=s
cateto adyacente=f
Ejemplo 2.2
Determinar las seis razones trigonométricas para los ángulos A y B del siguiente
triángulo rectángulo.
Resolución:
B
25
7
A
24
C
Para el ángulo A, el cateto opuesto tiene una longitud
de 7, el cateto adyacente de 24 y la hipotenusa es 25.
Entonces:
7
25
senA =
cscA =
25
7
24
25
cosA =
secA =
25
24
7
24
tanA =
cotA =
24
7
Para el ángulo B, el cateto opuesto tiene una longitud
de 24, el cateto adyacente de 7 y la hipotenusa es 25.
Entonces:
24
25
senB =
cscB =
25
24
7
25
cosB =
secB =
25
7
24
7
tanB =
cotB =
7
24
9
Ejemplo 2.3
Determina las seis razones trigonométricas para el ángulo R del siguiente triángulo
rectángulo.
Resolución:
T
x
3
R
4
S
Por el teorema de Pitágoras:
x 2  32  42  25 , por lo que x  5
Entonces:
3
5
senR =
cscR =
3
5
4
5
cosR =
secR =
5
4
3
4
tanR =
cotR =
4
3
Ejemplo 2.4
Determina el valor de:
5
3
4
b) senB, si se sabe que cscB =
5
2
c) tanM, si se sabe que cotM =
3
a) cosA, si se sabe que secA =
Resolución:
1
1
1 1 3
  
a) cosA =
sec A 5 5 5
3 3
1
1
1
5

 1 
b) senB =
4
4 4
cscB
5
5
1
1
1 1 3
  
c) tanM =
2 2 2
cotM
3 3
Ejemplo 2.5
Una avioneta se eleva a una altitud de 2000 metros, a lo largo de una trayectoria
que forma un ángulo de 24° con el suelo. ¿Qué distancia horizontal recorre en
este tramo?
10
Resolución:
Sea x la distancia horizontal que recorre
la avioneta.
Es posible plantear una ecuación que
involucre una razón trigonométrica y la
incógnita x, como sigue:
tan 24° =
2000
x
al despejar x se tiene:
2000
x=
tan 24
2000
x=
= 4492
0.4452
2000
24°
x
Por lo que la distancia horizontal que recorre la avioneta es de 4492 metros.
(Observación: este problema puede resolverse también utilizando cot 24°)
Ejemplo 2.6
Un teleférico que une a dos cerros recorre 8 metros para elevarse a una altura de
1.5 metros. Si el teleférico viaja a lo largo de una trayectoria recta, ¿cuál será el
ángulo de elevación de esta subida?
Resolución:
Sea M el ángulo de elevación.
1.5
senM =
 0.1875
8
angsen (senM) = angsen (0.1875)
M = 10.807°
8
1.5
M
Ejemplo 2.7
En un rectángulo ABCD, cuyo largo es de 12 cm y cuyo ancho es de 5cm se traza
una de sus diagonales. Determinar el valor de las seis funciones trigonométricas
de los ángulos DBC y CDB y por último las medidas de dichos ángulos.
11
12 cm.
B
C
5 cm.
D
A
Al construir la diagonal BD del rectángulo se forman dos triángulos rectángulos.
Si se pone atención en el triángulo BCD, ya se conocen las longitudes de los
catetos BC = 12 cm y CD = 5 cm.
Aplicando el teorema de Pitágoras es posible calcular la longitud de la hipotenusa
BD:
(BD) 2 = (BC) 2 + (CD) 2
(BD) 2 = (12) 2 + (5) 2
(BD) 2 = 144 + 25
BD = 169
BD = 13
Aplicando entonces las definiciones de las seis razones trigonométricas se tiene
que:
12
senDBC =
5
13
senCDB =
12
13
cscDBC =
13
5
cosDBC =
12
13
cosCDB =
5
13
cscCDB =
13
12
tanDBC =
5
12
tanCDB =
12
5
cotDBC =
12
5
cotCDB =
5
12
secDBC =
13
12
secCDB =
13
5
Por último, para determinar la medida de dichos ángulos podemos, usando una
calculadora, emplear cualquiera de las funciones trigonométricas inversas, como
sigue:
5
, entonces:
13
5
5
DBC = angsen
= angsen
= 22.62°
13
13
Como senDBC =
Ejemplo 2.8
Resolver los triángulos rectángulos (es decir, determinar el valor de los tres
ángulos y de sus tres lados) a partir de la información que se proporciona en los
siguientes incisos. Considerar al triángulo ABC que se muestra a continuación.
B
c
a
A
C
b
a) Se conocen el lado b = 20 y A = 32.25°.
b) Se conocen el lado a = 34.16 y b = 47.39.
c) Se conocen el lado c = 30.95 y B = 40.05°.
Resolución:
a)
Datos:
a=?
b=20
c=?
Cálculo de c:
Cálculo de a:
A=32.25°
B=?
C=90°
Cálculo de B:
Como A+B+C=180°
32.25°+B+90°=180°
B+122.25°=180°
B=180°-122.5°
B=57.5°
Se utiliza una función Por el teorema
trigonométrica
que Pitágoras:
relacione a y b con
c2=a2+b2
cualquiera
de
los entonces
ángulos A o B.
c= a 2  b 2
c= 12.62 2  20 2
c=23.65
a
Sea tan A=
b
Entonces
tan 32.25°=
de
a
20
al despejar a:
a=20 tan 32.25°
a=12.62
13
b)
Datos:
a=34.16
b=47.39
c=?
Cálculo de a:
Cálculo de B:
A=?
B=?
C=90°
Se utiliza una función Como A+B+C=180°
trigonométrica
que
relacione a y b con 35.78°+B+90°=180°
Cálculo de c:
cualquiera
de
los B+125.78°=180°
ángulos A o B.
B=180°-125.78°
Por el teorema de
B=54.22°
Pitágoras:
a
Sea tan A=
c2=a2+b2
b
entonces
Entonces
34.16
c= a 2  b 2
tan A=
2
2
47.39
c= 34.16  47.39
tan A=0.7208
c=58.42
al despejar A:
A= angtan 0.7208
A=35.78°
c)
Datos:
a=?
b=?
c=30.95
Cálculo de a:
A=?
B=40.05°
C=90°
Cálculo de A:
Como A+B+C=180°
A+ 40.05° +90°=180°
A+130.05°=180°
A=180°-130.05°
A=49.95°
14
Cálculo de b:
Se utiliza una función Por el teorema
trigonométrica
que Pitágoras:
relacione c y a, o c y b,
c2=a2+b2
con cualquiera de los por lo que
b2= c2-a2
ángulos A o B.
entonces
a
b= c 2  a 2
Sea sen A=
c
Entonces
b= 30.95 2  22.96 2
a
b=20.75
sen 49.95°=
30.95
al despejar a:
a=30.95 sen 49.95°
a=22.96
de
3.
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
COMPLEMENTARIOS
DE
ÁNGULOS
En la figura siguiente, es posible apreciar que en un triángulo rectángulo
sen A =cos B, cos A= sen B, tan A = cot B, y así sucesivamente.
senA =
a
c
senB =
b
c
a
cosA =
b
c
cosB =
a
c
C
tanA =
a
b
tanB =
b
a
cotA =
b
a
cotB =
a
b
secA =
c
b
secB=
c
a
cscA =
c
a
cscB =
c
b
B
c
A
b
Para recordar con facilidad cuáles funciones son complementarias, se señalan
como se indica. Si comparamos las funciones de los ángulos agudos A y C del
triángulo ABC, tenemos:
senA = cosB;
tanA = cotB;
secA = cscB; y viceversa
cosA = senB;
cotA = tanB;
cscA = secB
La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180°. En un triángulo
rectángulo, como el de la figura anterior, que posee un ángulo C de 90°, los
ángulos agudos A y B deben sumar 180°-90°=90°. Los ángulos cuya suma es 90°,
se denominan complementarios. Del mismo modo, las funciones senA= cosB;
cosA = senB, etc., reciben el nombre de cofunciones.
Por otro lado, dado que A+B=90°, entonces B=90°-A, por lo que:
senA = cosB = cos (90° - A)
Para las demás funciones trigonométricas se obtiene:
15
senA = cos (90° - A)
...(10)
cosA = sen (90° - A)
...(11)
tanA = cot (90° - A)
...(12)
cscA = sec (90° - A)
...(13)
secA = csc (90° - A)
...(14)
cotA = tan (90° - A)
...(15)
EJEMPLOS
Ejemplo 3.1
Escribir los enunciados siguientes en términos de cofunciones:
a) sen 58°
b) cos 58°
c) tan 40°30’
d) cot 40°30’
e) sec 15°30’
f) csc 15°30’
Resolución:
a) sen 58°
b) cos 58°
c) tan 40°30’
d) cot 40°30’
e) sec 15°30’
f) csc 15°30’
=
=
=
=
=
=
cos 32°
sen 32°
cot 49°30’
tan 49°30’
csc 74°30’
sec 74°30’
Ejemplo 3.2
Determinar el ángulo cuyo coseno es igual a sen 27°.
Resolución:
senA = cos (90° - A)
sen 27° = cos (90° - 27°) = cos 63°
El ángulo buscado es 63°.
Ejemplo 3.3
Si el seno de un ángulo vale 0.525 ¿cuánto vale el coseno de su complemento?
Resolución:
Dado que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento, es decir:
sen A = cos (90° - A)
Entonces
cos (90° - A) = 0.525
16
Ejemplo 3.4
En un triángulo rectángulo, la secante de un ángulo agudo vale
5
¿cuánto vale la
9
cosecante del otro ángulo agudo?
Resolución:
Dado que la secante de un ángulo es igual a la cosecante de su complemento, es
decir:
secA = csc (90° - A)
Entonces
5
csc (90° - A) =
9
Ejemplo 3.5
Si el coseno de 40° es 0.7660 ¿cuánto vale el seno de 50°?
Resolución:
Dado que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento, es decir
cosA = sen (90° - A)
y como 40° y 50° son ángulos complementarios entonces:
cos 40° = sen 50°
por lo que sen 50°=0.7660
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Indicar, en los siguientes triángulos rectángulos, la hipotenusa, así como el
cateto opuesto y el cateto adyacente respecto al ángulo agudo indicado.
a)
b)
c)
a
p
l
d
P
m
r
s
M
d)
m
A
e)
t
f)
S
r
u
w
q
y
x
g
s
R
Q
z
17
Respuestas:
a) hipotenusa= s,
b) hipotenusa= m,
c) hipotenusa= d,
d) hipotenusa= u,
e) hipotenusa= g,
f) hipotenusa= w,
cateto opuesto=p,
cateto opuesto=a,
cateto opuesto=m,
cateto opuesto=s,
cateto opuesto=r,
cateto opuesto=q,
cateto adyacente=l
cateto adyacente=r
cateto adyacente=t
cateto adyacente=x
cateto adyacente=y
cateto adyacente=z
2. Expresar las seis funciones trigonométricas correspondientes a los ángulos
agudos señalados con letras mayúsculas (dejar las respuestas en forma de
fracción). Determinar también la medida de dichos ángulos.
a)
b)
c)
1
6
4
3
5
M
P
6
A
d)
e)
f)
S
24
8
5
25
4
10
B
Q
Respuestas:
3
45
45
6
3
6
a) senM =
, cosM =
, tanM = , cscM =
, secM =
, cotM = ,
6
3
6
3
45
45
M = 26.56°
6
4
52
52
6
4
, cosP =
, tanP = , cscP =
, secP =
, cotP= ,
b) senP =
4
6
4
6
52
52
P = 56.31°
26
26
1
5
1
5
c) senA =
, cosA =
, tanA = , cscA =
, secA =
, cotA = ,
1
5
5
1
26
26
A = 11.31°
6
8
6
10
10
8
d) senB = , cosB = , tanB = , cscB = , secB = , cotB = , B = 36.87°
10
10
8
6
8
6
18
24
7
24
7
25
25
, cosQ = , tanQ = , cscQ = , secQ = , cotQ = ,
25
25
7
24
7
24
Q = 73.74°
3
4
3
5
5
4
f) senS = , cosS = , tanS = , cscS = , secS = , cotS = , S = 36.87°
5
5
4
3
4
3
e) senQ =
En los ejercicios 3 al 6, considerar al triángulo rectángulo ABC con ángulo recto C
y cuyos lados miden a, b y c. Calcular la longitud desconocida del lado faltante
utilizando el teorema de Pitágoras. Finalmente, obtener las seis razones
trigonométricas del ángulo A (dejar las respuestas en forma de fracción).
B
c
A
b
a
C
3. a = 5, b = 12,
Respuesta:
c = 13, senA =
5
12
5
13
13
12
, cosA = , tanA = , cscA = , secA = , cotA =
13
13
12
5
12
5
4. a = 3, b = 5
Respuesta:
c= 34 , senA =
3
34
34
5
3
5
, cosA =
, tanA = , cscA =
, secA =
, cotA =
5
3
5
3
34
34
5. a = 6, c = 7
Respuesta:
6
7
13
13
6
7
b= 13 , senA = , cosA =
, tanA =
, cscA = , secA =
, cotA =
7
7
6
6
13
13
6. b = 7, c = 12
19
Respuesta:
a= 95 , senA =
95
7
95
12
12
7
, cosA = , tanA =
, cscA =
, secA = , cotA =
12
12
7
7
95
95
7. Responder las preguntas de los siguientes incisos:
5
a) Si la tangente de un ángulo es
¿cuánto vale la cotangente del mismo
6
ángulo?
4
b) Si el seno de un ángulo es
¿cuánto vale la cosecante del mismo ángulo?
5
3
c) Si la secante de un ángulo es
¿cuánto vale el coseno del mismo ángulo?
2
d) ¿Cuánto vale el coseno de un ángulo A, si se sabe que la secante vale 8?
Respuestas:
6
5
2
1
a) , b) , c) , d)
5
4
3
8
8. Realizar lo que se solicita en los siguientes incisos:
4
, expresar cscA.
5
5
b) Si cotM = , expresar tanM.
8
1
c) Si cosB = , expresar secB.
3
6
d) Si cscE = , expresar senE.
4
a) Si senA =
Respuestas:
5
8
4
a) cscA = , b) tanM = , c) secB = 3, d) senE =
4
5
6
9. Resolver los triángulos rectángulos (es decir, determinar el valor de los tres
ángulos y de sus tres lados) a partir de la información que se proporciona en los
siguientes incisos. Considerar al triángulo ABC que se muestra a continuación:
B
c
a
A
20
b
C
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Se conocen el lado a
Se conocen el lado b
Se conocen el lado a
Se conocen el lado b
Se conocen el lado c
Se conocen el lado c
Se conocen los lados a
Se conocen los lados a
Se conocen los lados b
Respuestas:
a) a=17,
b) a=34.08,
c) a=37.16,
d) a=20.96,
e) a=8.48,
f) a=10.01,
g) a=24.5,
h) a=48,
i) a=235.48,
b=20.67,
b=47,
b=20.79,
b=34.17,
b=36.16,
b=2.59,
b=34.8,
b=24.74,
b=224,
=
=
=
=
=
=
=
=
=
17
47
37.16
4.17
37.14
10.34
24.5
48
224
yA
yB
yB
yA
yA
yB
yb
yc
yc
c=26.76,
c=58.05,
c=42.58,
c=40.08,
c=37.14,
c=10.34,
c=42.56,
c=54,
c=325,
=
=
=
=
=
=
=
=
=
39.43°.
54.05°.
29.23°.
31.53°.
13.2°.
14.5°.
34.8.
54.
325
A=39.43°,
A= 35.95°,
A=60.77°,
A=31.53 °,
A=13.2 °,
A= 75.5°,
A= 35.14°,
A= 62.73°,
A=46.43 °,
B=50.57°
B=54.05°
B=29.23°
B=58.47°
B=76.8°
B=14.5°
B=54.86°
B=27.27°
B=43.57°
y
y
y
y
y
y
y
y
y
C=90°.
C=90°.
C=90°.
C=90°.
C=90°.
C=90°.
C=90°.
C=90°.
C=90°.
10. Determinar la altura BC de un edificio, si a 50 metros de su base se colocó un
aparato para medir el ángulo de elevación A que es de 40.5°. Considerar la figura
siguiente:
B
C
40.5°
A
50m
Respuesta:
BC =42.70 m
11. Desde un barco se ve un faro con un ángulo de elevación de 12.25°. Se sabe
que el faro tiene 50 metros de altura sobre el nivel del mar. Calcular la distancia D
del barco al faro.
21
12.25°
D
Respuesta:
Distancia D del barco al faro: 230.28 m
12. Determinar el ángulo desconocido en los siguientes incisos:
a)
b)
c)
d)
csc 38° = secA
tan 67° = cotB
sen 58° = cosC
sec 72° = cscD
Respuestas:
a) A= 52°
b) B=23°
c) C=32°
d) D=18°
e) cos 53°30’ = senE
f) cot 27°50’ = tanF
g) sen 88.5° = cosG
h) csc 56°25’ = secH
e) E=36°30’
f) F=62°10’
g) G= 1.5°
h) H= 33°35’
13. Escribir cada una de las funciones siguientes en términos de la cofunción:
a) tan 40°
e) tan 35.4°
b) cot 35°
f) sen 28.7°
c) csc 64°
g) cos 33°30’
d) sec 49°
h) tan 46°10’
Respuestas:
e) tan 40°= cot 50°
f) cot 35°= tan 55°
g) csc 64°= sec 26°
h) sec 49°= csc 41°
e) tan 35.4°= cot 54.6°
f) sen 28.7°= cos 61.3°
g) cos 33°30’= sen 56°30’
h) tan 46°10’ = cot 43°50’
14. En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo vale
vale la cotangente del otro ángulo agudo?
Respuesta:
22
3
7
3
¿cuánto
7
15. Determinar la altura h del triángulo que se representa en la siguiente figura.
16 m
h
40.5
Respuesta: h=10.39 m
16. Un rectángulo mide 45 cm de base y 24 cm de altura. Calcular el valor del
ángulo que forma la base con una de las diagonales.
Respuesta: 28.07°
23
4.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 30°, 45° Y
60°
En la trigonometría ciertos ángulos, tales como 30°, 45° y 60°, se presentan con
bastante frecuencia en el ámbito de las matemáticas, que merecen atención
especial. Los valores de las funciones trigonométricas de dichos ángulos pueden
calcularse por medio de ciertas propiedades geométricas y el Teorema de
Pitágoras.
Para obtener los valores de las funciones trigonométricas de 30° y 60°, se traza un
triángulo equilátero (triángulo cuyos lados y sus ángulos son iguales entre sí y,
como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, cada ángulo
mide 60°). Por conveniencia se traza un triángulo cuyos lados midan 2 unidades.
Ver la figura 2.1 (a).
30°
30°
60°
2
2
2
2
x
60°
x
60°
60°
2
1
FIGURA 4.1 (a). Triángulo equilátero
60°
1
FIGURA 4.1 (b). Dos triángulos rectángulos con ángulos de
30° y 60°
En la figura 2.1 (b) se muestra que si se bisecta un ángulo de este triángulo se
forman dos triángulos rectángulos iguales, cada uno de los cuales tiene ángulos
de 30°, 60° y 90°. La hipotenusa de dichos triángulos mide 2, el lado más corto
tiene una longitud de 1. Si x representa la medida del otro cateto, es posible
calcular su valor utilizando el teorema de Pitágoras:
22  12  x 2
4  1 x 2
x2  4  1
x 3
24
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO DE 30°
30
2
3
1
Las 6 razones trigonométricas para el ángulo de 30° son:
sen 30 
Para el ángulo de 30°,
se tiene que:
cos 30 
hipotenusa = 2
cateto opuesto = 1
tan 30 
cateto adyacente = 3
cateto opuesto
hipotenusa

1
2
cateto adyacente
hipotenusa
cateto opuesto
cateto adyacente
2
csc 30 
3

1

3
2
sec 30 
2

3
3
2
1
cot 30 
2 3

3
3
3
 3
1
En tan 30° y sec 30°, se racionalizó el denominador
De manera similar, para el ángulo de 60° se tiene lo siguiente:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO DE 60°
2
3
60°
1
Las 6 razones trigonométricas para el ángulo de 60° son:
Para el ángulo de 60°,
se tiene que:
hipotenusa = 2
cateto opuesto =
sen 60 
cateto opuesto
hipotenusa

cos 60 
cateto adyacente
tan 60 
cateto opuesto
hipotenusa
3
csc 60 
2

2

3
1
2
sec 60 
2
cot 60 
1
1
2 3
3
2
3
cateto adyacente =1
cateto adyacente

3
1
 3
3

3
3
En csc 60° y cot 60°, se racionalizó el denominador
25
Los valores de las funciones trigonométricas para 45° se encuentran al trazar un
triángulo rectángulo con dos ángulos de 45° cada uno. Éste es un triángulo
isósceles, y por conveniencia se elige que las longitudes de los lados iguales
midan 1. Utilizando el teorema de Pitágoras, es posible calcular el valor de la
hipotenusa, como sigue:
Por el Teorema de Pitágoras:
45°
h 2  12  12
h
1
h 2  11
h 2
45°
1
Por lo tanto, se obtiene lo siguiente:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO DE 45°
B
45°
a
A
1
45°
C
1
Las 6 razones trigonométricas para el ángulo de 60° son:
sen 45 
Para cualquiera de los
ángulos de 45°, se
tiene que:
cateto opuesto

1
hipotenusa
cos 45 
cateto adyacente
1

2
csc 45 
2
2
hipotenusa
hipotenusa =
2


2
 2
1
2
sec 45 
2
2
 2
1
2
cateto opuesto = 1
cateto adyacente =1
tan 45 
cateto opuesto
cateto adyacente

1
1
1
cot 45 
1
1
1
En sen 45° y cos 45°, se racionalizó el denominador
En la tabla siguiente se resumen los valores de las razones trigonométricas para
los ángulos anteriores expresados en grados o radianes. Los valores para los
ángulos de 0° y 90°, pueden verificarse con una calculadora.
26
Valores de las funciones de ángulos especiales
Ángulo
en
grados
en
radianes
Sen
Cos
Tan
0°
0
0
1
0

1
2
3
2
3
3
2
2
1
30°
45°
60°
90°
6

4

3

2
2
2
3
2
1
2
1
0
3
No
definida
Cot
No
definida
3
1
3
3
0
Sec
1
2 3
3
Csc
No
definida
2
2
2
2
2 3
3
No
definida
1
27
4.1
Funciones trigonométricas de ángulos múltiplos de 30°, 45° y 60°
Podemos calcular cualquier múltiplo de los ángulos de 30°, 45° y 60°, trazando
triángulos en planos cartesianos.
Cálculo del ángulo de 120°
Se traza el triángulo rectángulo ADC con
3 y 1, y con
catetos de medida
hipotenusa de valor 2, como se muestra en
la figura. Dado que 180° - 120° = 60°,
entonces el ángulo DAC = 60° y como
está en el segundo cuadrante del plano
cartesiano, las coordenadas del punto C
son (-1, 3 ).
Y
C
2
3
120°
60°
D
A
-1
X
En consecuencia:
2
2 3
=
3
3
sen 120° =
3
2
csc 120° =
cos 120° = -
1
2
sec 120° = -2
tan 120° = - 3
cot 120° = -
1
3
=3
3
Del ángulo de 135°
Se traza el triángulo rectángulo APO con
catetos de medida 1 y -1, y con hipotenusa
de valor 2 , como se muestra en la figura.
180° - 135° = 45°, de donde el ángulo
AOP = 45° y como está en el segundo
cuadrante las coordenadas del punto P
son (-1,1).
En consecuencia:
Y
P
2
1
135°
45°
A
28
-1
O
X
1
2
=
2
2
1
2
=cos 135° = 2
2
tan 135° = -1
sen 135° =
csc 135° =
2
sec 135° = - 2
cot 135° = -1
Del ángulo de 150°
Se traza el triángulo rectángulo ADO con
3 y 1, y con
catetos de medida
hipotenusa de valor 2, como se muestra en
la figura. 180° - 150° = 30°, de donde el
ángulo
AOD = 30° y como está en el
segundo cuadrante las coordenadas del
punto A son (- 3 ,1).
En consecuencia:
Y
A
2
1
150°
30°
D
3
O
X
sen 150° =
cos 150° = -
tan150° =
csc 150° = 2
1
2
1
 3
3
2
=-
sec 150° = -
3
3
2
2 3
=3
3
cot 150° = - 3
En forma semejante podemos calcular las funciones trigonométricas de los
ángulos de 210°, 225°, 240°,300°, 315° y 330°.
En la siguiente tabla se resumen los valores del seno, coseno, tangente,
cotangente, cosecante y secante para los ángulos de 30°, 45°, 60° y sus múltiplos.
29
Grados
sen
cos
tan
cot
sec
csc
0°
0
1
0
No definida
1
No definida
30°
1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
2
45°
2
2
2
2
1
1
2
2
60°
3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
90°
1
0
No definida
0
No definida
1
120°
3
2
1
2
- 3
3
3
-2
2 3
3
135°
2
2
-
2
2
-1
-1
- 2
2
150°
1
2
-
3
2
3
3
- 3
2 3
3
2
180°
0
-1
No definida
2 3
3
-2
- 2
210°
-
-
-1
0
No definida
-
1
2
-
3
2
3
3
3
2
2
1
-
2
2
1
-
- 2
3
2
1
2
3
3
3
-2
-
-1
0
No definida
0
No definida
-
225°
240°
270°
-
-
-
2 3
3
-1
300°
-
3
2
1
2
- 3
315°
-
2
2
2
2
-1
-1
1
2
3
2
3
3
- 3
2 3
3
-2
0
1
No definida
1
No definida
330°
360°
30
-
-
-
0
-
3
3
2
2
-
2 3
3
- 2
EJEMPLOS
Ejemplo 4.1
Reducir la siguiente expresión utilizando la información de la tabla
4sen30° + 2cos60° - 5sen45° + 3tan60°
Resolución:
En la expresión anterior sólo se sustituyen los valores numéricos de las razones
trigonométricas, y se ejecutan las operaciones indicadas, esto es:
4sen30° + 2cos60° - 5sen45° + 3 tan60°
 2
1
1
 + 3( 3 )
= 4  + 2   - 5 

2
2
 2 
=
4
2
5 2
+
+ 3 3
2
2
2
=
4 25 2 6 3
4  2  7.071  10.392 9.321
=
=
=4.6605
2
2
2
Ejemplo 4.2
Reducir la siguiente expresión utilizando la información de la tabla
7sen 2 60° - 5cos 4 30° +3 tan

4
Resolución:
La expresión sen 2 A señala que el valor del seno se eleva al cuadrado. Es decir:
sen 2 A = (sen A) 2 indica el cuadrado del seno de un ángulo; es diferente a
sen(A) 2 que significa el seno del cuadrado de un ángulo. Esto mismo es válido
para cos 2 , tan 2 , sec 2 y el resto de las funciones trigonoméricas.
Al sustituir los valores de las razones trigonométricas, se tiene:
7sen 2 60° - 5cos 4 30° + 3tan
 3

= 7 

 2 
2
 3

- 5 

 2 
3
3
= 7  - 5 
4
4
=

4
4
+ 3(1)
2
+3
21
84  45  48 87
9
- 5   +3 =
=
4
16
16
 16 
31
Ejemplo 4.3
Simplificar: 6sen30° cos30° + 8tan30° cos45°:
Resolución:
6sen30° cos30° + 8tan30° cos45°
 3  2
1  3
 + 8
 

= 6 
 3   2 

2  2 

 

=
6 3
8 3 2
+
4
6
=
36 3  32 3 2
24
=
4 3 98 2
24




3 98 2
=
6
=


3 98 2
=
6


3 98 2
=
6
3 20.314 
= 5.864
6
Ejemplo 4.4
Simplificar: 7sen120° +2cos135° - 6cot150° + 3csc135°- 4sec240°:
Resolución:
7sen120° +2cos135° - 6cot 150° + 3csc135°- 4sec240°
 3
 2
 + 2

= 7 
 2  - 6(- 3 ) + 3 2 - 4(-2)

2




=
7 3  2 2  6 3  3 2  16
2
=
13 3  2  16
2
= 19.96
Ejemplo 4.5
Efectuar las operaciones indicadas en la siguiente expresión:

7sen 2 30 tan 2 60  2 cot 2 30
sen 2 60 sec 2 30
32

2
Resolución:

7sen 2 30 tan 2 60  2 cot 2 30

2
sen 2 60 sec 2 30
=
1
7 
2
2
 3   2 3  
2 2
2
2
 3 2 3

 

 2   3 

 

2
1
2
7 3  2(3)
4
=
 3  4(3) 

 
 4  9 
1
2
7  3
7(9) 63
4
=
=
=
(9)(4)
4
4
(4)(9)
Ejemplo 4.6
Determinar el valor de x que satisface la siguiente ecuación:
5x tan30° + 8xsen60° - 3xcos 2 45° = 4tan45°
Resolución:
En la ecuación anterior, se substituyen los valores de las razones trigonométricas
y después se despeja a la incógnita x:
5xtan30° + 8xsen60° - 3xcos 2 45° = 4tan45°
Por lo que tenemos:
 3
 2
 3
 - 3x  
5x   + 8x 

 3 
 2 
 2 
2
 3
 2
 3
 - 3x  
5x   + 8x 

 2 
 3 
 2 
2
= 4(1)
= 4(1)
33
5 3
6
x 
 4 3    4
4
 3
4
x

4
5 3
6 20 3  48 3  18
4 3
3
4
12
48
48
x

 0.481
68 3  18 99.779

48
68 3  18
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver los siguientes ejercicios a partir de los valores del seno, coseno y
tangente de los ángulos vistos en esta sección.
1.
2 sen45°+ 3 tan30° =
Respuesta: 2
2. 4 2 cos45°+ 5cos60° + 9 3 tan30° =
Respuesta: 15.5
3.
8
9
sen60° - 4tan45° +
tan60° =
3
3
Respuesta: 9
4. 8cos30° +2tan30° - 4cot30° =
Respuesta: 1.155
5. - 4sen60° +2cos60° - 9tan60° =
Respuesta: -18.052
6. 5cos120° -8sec135° + 9 cot150° – 2sen120° + 4tan225° =
Respuesta: -4.507
7. 2tan30°+ 5cos60° - 3sen135° + 7tan150° =
Respuesta: -2.508.
2
2
2
8. 8cos 30° +5sen 30° - 2tan 60° =
Respuesta: -1.25
9. 4tan60° (3cos60°+ 2sen45°) =
Respuesta: 20.190
34


10. 5sen2 60° (8sen 4 +7tan 6 ) =
Respuesta: 36.369
11.
3 tan 2 30  4 cos 2 60

2sen 45  5 cos 45
Respuesta: -0.943
 


 8sen  3 tan  =
2
4
6 
Respuesta: 57.75
12. 7cos 2




13.  9 cos 2  4sen 2  3 tan 2 
6
4
3

Respuesta: 0.0625
2
=


 3 cot 2
6
4 =
14.


2sen 2  2 cos
2
6
Respuesta: -0.446
4 tan 2
15. 5tan30°+ 4sen30° - cos 2 60° + 8cot60° =
Respuesta: 9.255
16. 2cos 2 120° - 5sen2 45° + 9 tan2 150°- 4sec2 315°=
Respuesta: -7
17.
3  tan 45  cos 2 30 
4  5sen 45  2 cos 60 
Respuesta: 0.0413
18. sec

+ 2tan

+ 3cot
4
4
Respuesta: 11.439

6
=
+ 4sen

4
=

 3 cos 60
6
=
19.
4 tan 45  2 cos 60
Respuesta: -0.5
2sen 2 30  6 cos 2
35
20.
4sen150  2sen 2 45  3 cot 2 135  3 sec 120
=
2 tan 135  2 sec 120
Respuesta: -1
 sec
21.
2
45  3 sec 120  5 cos 180  3 cot 270 
 2sen150 
2
2
=
Respuesta: 81
2


2 
 5sen 2 
 tan
6
4
22. 
2



3
sen
2
cos



3
3

Respuesta: 3.143
=
Para los ejercicios 23 a 30 determinar los valores de x, y ó z, según el caso, que
satisfacen las ecuaciones correspondientes.
23. xtan30° + 4cos30° = 3sen60°
Respuesta: x=-1.5
24. xtan225° + 3sec300° -4cos120° = 7sec60°
Respuesta: x=6
25.
x cot 45  2sen30
= 2tan45°
3 cos 60
Respuesta: x=2


 4 tan
4
3 = 3cot 
26.

6
x cos
6
Respuesta: x=-1.068
3sen
27. 2xtan45° - 4xcos60° = xcos30° - 2tan30°
Respuesta: x = 1.333
28. ysec60° + 6tan45° = 9sen30° + 2ycsc30°
Respuesta: y = 0.75
29. 3zsen30° - 4zcos60° = 5sen0° + 6cos0°
Respuesta: z = 12
30. 7xsen60° = 3xtan60° - 2sec
Respuesta: x = -2.667
36

6
5.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CUALQUIERA
PARA
UN
ÁNGULO
En el tema anterior se han definido las razones trigonométricas para ángulos
comprendidos entre 0° y 90° (ángulos agudos). En esta sección se extenderá la
definición para todos los ángulos. Con este fin se describe la posición estándar
de un ángulo.
ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR.
Si se introduce un sistema coordenado rectangular o cartesiano, entonces la
posición estándar de un ángulo se obtiene al colocar el vértice en el origen y
hacer que el lado inicial L1 coincida con el semieje positivo “X”. Su nombre
dependerá del cuadrante en que quede ubicado el lado terminal L2 (ver figura 1)
Y
Y
L2
L2

O

X
O
UN ÁNGULO POSITIVO
DEL PRIMER CUADRANTE
L1 X
UN ÁNGULO NEGATIVO
DEL SEGUNDO CUADRANTE
Y
Y

L1
O
L1 X
O
L2
UN ÁNGULO POSITIVO
DEL TERCER CUADRANTE

L2
X
UN ÁNGULO NEGATIVO
DEL CUARTO CUADRANTE
FIGURA 1 ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR
37
Ejercicio 5.1
Dibujar cada uno de los siguientes ángulos en posición estándar.
a) 45°
b) 570°
c) –765°
d) –225°
Resolución
Y
Y
45°
Y
Y
570°
X
-765°
X
X
a)
b)
-225°
c)
X
d)
La cantidad de rotación y su dirección no está restringida, es posible hacer varias
revoluciones en cualquier sentido alrededor del vértice O antes de llegar a la
posición L2. Debido a esta característica existen muchos ángulos diferentes que
tienen los mismos lados inicial y terminal llamados ángulos coterminales. Si  es
un ángulo cualquiera en posición estándar expresado en radianes y k es un
número entero, entonces  y  + 2k son ángulos coterminales.
Convención: Si el giro se ejecuta en dirección contraria al movimiento de las
manecillas del reloj, el ángulo generado se considera positivo y si se realiza en la
dirección del movimiento de las manecillas del reloj se considera negativo.
Ejercicio 2
Dibujar los siguientes ángulos en posición estándar y calcular el ángulo
comprendido entre 0° y 360° coterminal con cada uno.
a) 420°
b) –120°
c) 900°
d) –585°
Resolución
Y
Y
Y
Y
180°
X
420°
60° coterminal con 420°
a)
38
135°
240°
60°
-120°
X
900°
240° coterminal con –120°
180° coterminal con 900°
b)
c)
X
-585°
135° coterminal con –585°
d)
X
DEFINICIONES
Si  es un ángulo en posición estándar y P(x, y) un punto cualquiera distinto del
origen sobre el lado terminal (ver figura 5.2), entonces:
y
r
r
( y  0)
csc 
y
sen 
x
r
r
; sec  ( x  0)
x
; cos 
y
( x  0)
x
x
; cot 
( y  0)
y
; tan 
donde r  x 2  y 2 es la distancia de P al origen.
Y
P(x,y)
y
r
o

x
X
FIGURA 5.2
De las definiciones anteriores se deduce que los signos de las funciones
trigonométricas para un ángulo cualquiera varían con los de las coordenadas
correspondientes al punto P tomado sobre el lado terminal.
Ejemplo 5.3
Sea P(–5, 12) un punto sobre el lado terminal de un ángulo  en posición estándar.
Calcular las razones trigonométricas de .
Resolución
Y
P(-5, 12)
r
y
x

X
39
Empezar por localizar el punto y dibujar el ángulo en posición estándar. Construir
el triángulo rectángulo asociado al ángulo y determinar los valores de sus lados.
Entonces aplicar las definiciones de las razones trigonométricas:
x  5 ;
y  12 
r 
y 12

; cos  
r 13
r 13
csc   
; sec  
y 12
sen 
 5 
2
 12   13
2
x 5
5


; tan  
r 13
13
r 13
13


; cot  
x 15
5
y 12
12


x 5
5
x 5
5


y 12
12
En los siguientes esquemas se presenta el análisis de los signos de las funciones
trigonométricas para cada cuadrante:
5.1 Funciones Trigonométricas en los diferentes cuadrantes
Funciones Trigonométricas en el primer cuadrante
sen  
Y
cos  
P(x,y)
tan  
r
y
cot  

x
X
sec 
csc  
40
y

 0
r

x
 0

r

y
 0

x
En el primer cuadrante todas son positivas

x
 0
y


r
 0
x


r
 0
y

Funciones trigonométricas en el segundo cuadrante
Y
P(-x,y)
r
y
y

0 
r

x
 0
cos 

r

y
 0
tan 
x
 En el segundo cuadrante sólo son positivas el seno y

x
 0 
cot 
y


r



sec
0
x


r
csc   0 
y

sen 

-x
X
Funciones trigonométricas en el tercer cuadrante
Y

-x
X
-y
r
P(-X,-Y)
y

 0
r

x
 0
cos 

r

y



tan
0
x
 En el tercer cuadrante sólo son positivas la tangente y

x
 0
cot 
y


r
 0
sec 
x


r
 0
csc 
y

sen 
41
Funciones trigonométricas en el cuarto cuadrante
y

Y
 0
sen 
r

x
cos   0 

r

y
 0
tan 
 En el cuarto cuadrante sólo son
x


x

 0  positivas el coseno y la secante

cot
x
y

X

r
-y




sec
0
r
x


r
P(x,-y)
 0
csc 
y

Los resultados de los signos de las funciones trigonométricas para cada
cuadrante, se resumen en la siguiente tabla:
FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
1er.
cuadrante
+
+
+
+
+
+
Ejemplo 5.4
Determinar el signo de: a) sen 290°
CUADRANTES
2º.
3er.
Cuadrante
Cuadrante
+
+
+
+
-
b) sec 1568°
4º.
cuadrante
+
+
-
c) csc (–581°)
Resolución
a) 290° es un ángulo del cuarto cuadrante. En este cuadrante, únicamente coseno
y secante son positivas, entonces sen 290° < 0.
b) 1568° es coterminal con 128°, por lo tanto es un ángulo del segundo cuadrante.
En este cuadrante, únicamente seno y cosecante son positivas, entonces
sec1568° < 0.
c) –581° es coterminal con 139°, por lo tanto es un ángulo del segundo cuadrante.
En este cuadranate, únicamente seno y cosecante son positivas, entonces
csc 581  0 .
42
Ejemplo 5.5
Si tan > 0 y cos
.  < 0, determinar el cuadrante en el que se ubica el ángulo  en
posición estándar.
Resolución
Si tan > 0, entonces  puede ser un ángulo del primer o tercer cuadrante.
Si cos < 0, entonces  puede ser un ángulo del segundo o tercer cuadrante.
Pero como debe cumplirse simultáneamente que tan > 0 y cos < 0, entonces:
 es un ángulo del tercer cuadrante
Ejemplo 5.6
Si sen < 0 y cot < 0, determinar el signo de sec .
Resolución
Si sen < 0, entonces  puede ser un ángulo del tercero o cuarto cuadrante.
Si cot < 0, entonces  puede ser un ángulo del segundo o cuarto cuadrante.
Pero como debe cumplirse simultáneamente que sen < 0 y cot < 0, entonces:
 es un ángulo del cuarto cuadrante y por lo tanto sec > 0 .
Ejemplo 5.7
Si csc = –1.6 y  es un ángulo con lado terminal en el tercer cuadrante,
determinar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de  .
Resolución
Si csc = –1.6 y  se localiza en el tercer cuadrante, entonces:
16
8

 10  5
Así que: hipotenusa = 8 y cateto opuesto = –5
Usando el teorema de Pitágoras:
 1.6 
cateto adyacente =  8   5   64  25   39
Recordar que en el tercer cuadrante los catetos del triángulo que se forma son
negativos (ver figura 8)
Mediante las definiciones de las funciones trigonométricas se obtiene:
2
2
sen 
5
5

8
8
;
cos 
39
 39

8
8
;
tan 
5
5

 39
39
csc 
8
8
   1.6
5
5
;
sec 
8
8

 39
39
;
cot 
 39
39

5
5
43
5.2 Funciones trigonométricas de los ángulos 0°, 90°, 180°, 270° y
coterminales
Las funciones trigonométricas de los ángulos 0° + k(90°), donde k es un número
entero, se obtienen usando puntos como los de la figura y las definiciones de las
funciones trigonométricas.
Y
P2(0,y2)
P3(-x3,0)
P1(x1,0)
X
P4(0,-y4)
Funciones trigonométricas del ángulo 0°
Con el punto P1(x1, 0) de la figura 10 y las definiciones de las funciones
trigonométricas se obtiene:
x  x1 ; y  0  r 
 x1 
2
  0   x1
2
sen 0 
y 0
x x
y 0

 0 ; cos 0   1  1 ; tan 0  
0
r x1
r x1
x x1
csc 0 
r x1

y 0
; sec 0 
r x1
x x

 1 ; cot 0   1
x x1
y 0
Observar que la cotangente y la cosecante son indefinidas para el ángulo 0°
Estos resultados se generalizan para los ángulos 0° + k(360°), donde k es un
número entero.
Funciones trigonométricas del ángulo 90°
Con el punto P2(0, y2) de la figura 10 y las definiciones de las funciones
trigonométricas se obtiene:
x  0 ; y  y2  r 
sen 90 
0
2
  y2   y2
2
y y2
x
0
y y

 1 ; cos 90  
 0 ; tan 90   2
r y2
r y2
x
0
r y2
r y
x
0

 1 ; sec 90   2
; cot 90  
0
y y2
x
0
y y2
Observar que la tangente y la secante son indefinidas para el ángulo 90°
csc 90 
44
Estos resultados se generalizan para los ángulos 90° + k(360°), donde k es un
número entero.
Funciones trigonométricas del ángulo 180°
Con el punto P3(–x3, 0) de la figura 10 y las definiciones de las funciones
trigonométricas se obtiene:
x   x3 ; y  0  r 
  x3 
2
  0   x3
2
sen 180 
0
0
y
x x
y

 0 ; cos 180   3  1 ; tan 180  
0
r x3
r
x3
x  x3
csc 180 
r x3

0
y
; sec 180 
x
r
x x
 3  1 ; cot 180   3
0
x  x3
y
Observar que la cotangente y la cosecante son indefinidas para el ángulo 180°
Estos resultados se generalizan para los ángulos 180° + k(360°), donde k es un
número entero.
Funciones trigonométricas del ángulo 270°
Con el punto P2(0, –y4) de la figura 10 y las definiciones de las funciones
trigonométricas se obtiene:
x  0 ; y  y 4  r 
0
2
  y 4   y 4
2
sen 270 
y y 4
x
0
y y 4

 1 ; cos 270  
 0 ; tan 270  
r
y4
r y4
x
0
csc 270 
y
r
r y
 4  1 ; sec 270   4
y y 4
x
0
; cot 270 
x
0

0
y y 4
Observar que la tangente y la secante son indefinidas para el ángulo 270°
Estos resultados se generalizan para los ángulos 270° + k(360°), donde k es un
número entero.
Los resultados de los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos
0° + k(90°), donde k es un número entero, se resumen en la siguiente tabla:
45
FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
ÁNGULOS
90°+k(360°) 180°+k(360°)
con k
con k
1
0
0
-1
Indefinido
0
0
Indefinido
Indefinido
-1
1
Indefinido
0°+k(360°)
con k
0
1
0
Indefinido
1
Indefinido
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Ejemplo 5.8
Calcular: a) sen 810°
b) sec (-90°)
270°+k(360°)
con k
-1
0
Indefinido
0
Indefinido
-1
c) tan 540°
Resolución:
Empezar por dibujar el ángulo en posición estándar y seleccionar un punto sobre
el lado terminal. Entonces aplicar la definición de la función trigonométrica
correspondiente:
Y
Y
Y
P(0,1)
P(-1,0)
-90°
X
810°
540°
X
X
P(0,-1)
a)
b)
c)
a) 810° tiene su lado terminal sobre el eje “Y” positivo, así que un punto sobre este
lado es P(0,1), entonces:
x0 ;
y 1  r 
02  12
 1  sen 810 
y 1
 1
r 1
b) –90° tiene su lado terminal sobre el eje “Y” negativo, así que un punto sobre
este lado es P(0, –1), entonces:
x  0 ; y  1  r 
02   12
 1  sec  90 
r 1
 indefinida 
x 0
c) 540° tiene su lado terminal sobre el eje “X” negativo, así que un punto sobre
este lado es P(–1, 0), entonces:
x  1 ;
46
y0  r
 12  02
 1  tan 540 
0
y

0
x 1
5.3 Equivalencia de las razones trigonométricas para cualquier ángulo
positivo o negativo con las del primer cuadrante
Ya se ha descrito cómo obtener el signo de las funciones trigonométricas para
ángulos en cualquier cuadrante, sólo falta indicar cómo se calcula su magnitud.
Para ello se usa un ángulo llamado ángulo de referencia.
Ángulo de referencia
Para un ángulo dado , el ángulo de referencia  es un ángulo del primer
cuadrante cuyos valores de las funciones trigonométricas sólo pueden diferir en el
signo respecto a los de las funciones trigonométricas de . Y se obtiene reflejando
el lado terminal de  sobre el eje “Y”, el origen o el eje “X” (ver figura 11)
Y
Y



Y

X
Reflejar el lado terminal
de  a través del eje “Y”
para generar .


X
Reflejar el lado terminal
de  a través del origen
para generar .
X
Reflejar el lado terminal
de  a través del eje “X”
para generar .
FIGURA 5.3
Si  es un ángulo entre 0° y 360° inclusive y  es el ángulo de referencia de , la
forma de calcular  es:
 =  , si  es un ángulo del primer cuadrante.
 = 180° –  , si  es un ángulo del segundo cuadrante.
 =  – 180°, si  es un ángulo del tercer cuadrante.
 = 360° –  , si  es un ángulo del cuarto cuadrante.
Si  < 0° o  > 360° se calcula previamente el ángulo coterminal entre 0° y 360°.
Ejemplo 5.9
Determinar el ángulo de referencia para cada uno de los siguientes ángulos:
a) 300°
b) 1845°
c) –1230°
d) –240°
47
Resolución:
a) 300° es un ángulo del cuarto cuadrante. Entonces el ángulo de referencia es:
 = 360° –  = 360° – 300° = 60°
b) 1845° es mayor que 360°, entonces se calcula el ángulo coterminal comprendido
entre 0° y 360° :
1845° – 5(360°) = 45°
45° es un ángulo del primer cuadrante. Entonces el ángulo de referencia es:
 =  = 45°
c) – 1230° es menor que 0°, entonces se calcula el ángulo coterminal comprendido
entre 0° y 360° :
– 1230° + 4(360°) = 210°
210° es un ángulo del tercer cuadrante. Entonces el ángulo de referencia es:
 =  – 180° = 210° – 180° = 30°
d) – 240° es menor que 0°, entonces se calcula el ángulo coterminal comprendido
entre 0° y 360° :
– 240° + 1(360°) = 120°
120° es un ángulo del segundo cuadrante. Entonces el ángulo de referencia es:
 = 180° –  = 180° – 120° = 60°
Ejemplo 5.10
Calcular:
a) csc 300°
el ángulo de referencia.
b) sen 1845°
c) tan (–1230°)
d) sec (–240°), con
Resolución:
a) 300° es un ángulo del cuarto cuadrante donde la cosecante es negativa y el
ángulo de referencia es  = 60°, entonces:
csc 300  csc 60  
2
3
b) 1845° es un ángulo cuyo lado terminal se localiza en el primer cuadrante donde
el seno es positivo y el ángulo de referencia es  = 45°, entonces:
sen 1845  sen 45 
1
2

2
2
c) – 1230° es un ángulo cuyo lado terminal se localiza en el tercer cuadrante donde
la tangente es positiva y el ángulo de referencia es  = 30°, entonces:
tan  1230  tan 30 
1
3

3
3
d) – 240° es un ángulo cuyo lado terminal se localiza en el segundo cuadrante
donde la secante es negativa y el ángulo de referencia es  = 60°, entonces:
sec (–240°) = – sec 60° = –2
48
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Dibujar cada uno de los siguientes ángulos en posición estándar.
a) 210°
b) –135°
c) –660°
d) 1125°
2) Calcular el ángulo comprendido entre 0° y 360° que es coterminal con cada uno
de los siguientes ángulos.
a) –765°
b) 930°
c) –600°
d) 1140°
3) Cada punto dado está sobre el lado terminal de un ángulo  en posición
estándar. Determinar los valores de las seis funciones trigonométricas de .
 2 2
 1 1

,
a ) 
b)  1, 3
c) 2,2 3
d )   , 

 2 2
 2 2 


4) Determinar el signo de:
a ) cos  110
b) cot 880


c) sec  735
d ) tan 1105
5) Si csc  > 0 y cot  < 0°, determinar el cuadrante en el que se ubica el ángulo 
en posición estándar.
6) Si tan  > 0 y cos  < 0, determinar el signo de sen  .
7) Si sen  = –0.6 y  es un ángulo con lado terminal en el cuarto cuadrante,
determinar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de  .
5
y  es un ángulo con lado terminal en el segundo cuadrante,
41
determinar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de  .
8) Si cos   
9) Calcular: a ) csc 1080
b) sen 1890
c) tan 900
d ) cot  810
10) Determinar el ángulo de referencia para cada uno de los siguientes ángulos:
a) –225°
b) 1470°
c) –780°
d) 1305°
11) Calcular: a) cot  225
con el ángulo de referencia.
b) sen 1470
c) csc  780
d ) cos 1305 ,
49
Respuestas de los ejercicios propuestos
1)
Y
Y
210°
X
-135°
a)
b)
Y
Y
-660°
1125°
X
c)
2)
3)
a) 315°
X
b) 210°
X
d)
c) 120°
d) 60°
2
2
; cos 
; tan  1 ; cot   1 ; sec  2 ; csc  2
2
2
3
1
3
2 3
b) sen 
; cos   ; tan   3 ; cot   
; sec  2 ; csc 
2
2
3
3
3
1
3
2 3
c) sen  
; cos  ; tan   3 ; cot   
; sec  2 ; csc  
2
2
3
3
2
2
d ) sen  
; cos  
; tan  1 ; cot   1 ; sec   2 ; csc   2
2
2
a) sen 
4)
a ) cos  110  0
5)
Si csc  > 0 y cot  < 0, entonces  es un ángulo del segundo cuadrante.
50
b) cot 880  0
c) sec  735  0
d ) tan 1105  0
6)
Si tan  > 0 y cos  < 0, entonces sen  < 0.
7)
cos  
4
3
4
5
5
; tan   ; cot    ; sec   ; csc   
5
4
3
4
3
8)
sen  
4 41
4
5
41
41
; tan   ; cot    ; sec   
; csc  
41
5
4
5
4
9)
a ) csc 1080  
10)
a)   45
b) sen 1890  1
b)   30
c )   60
11) a) cot  225  cot 45  1
c) csc  780  csc 60  
2 3
3
c) tan 900  0
d ) cot  810  
d )   45
b) sen 1470  sen 30 
1
2
d ) cos 1305  cos 45  
2
2
51
6.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
6.1 Pitagóricas, recíprocas, por cociente, diferencia y suma de ángulos,
doble en un ángulo y semiángulo y de ángulos negativos.
Es una proposición de igualdad en la cual
intervienen
funciones
trigonométricas;
la
igualdad se cumple para todo valor del
argumento.
Identidad trigonométrica:
Las Identidades pitagóricas son:
sen 2   cos 2   1 ......... ( 1 )
1  tan 2   sec 2  .......... ( 2 )
1  cot 2   csc 2  .......... ( 3 )
Las Identidades recíprocas son:
sen  
1
.................. ( 4 )
csc 
cos  
1
.................. ( 5 )
sec 
tan  
1
................... ( 6 )
cot 
Las Identidades por cociente son:
52
tan  
sen 
.................. ( 7 )
cos 
cot  
cos 
.................. ( 8 )
sen 
Las Identidades para la suma y la diferencia de ángulos son:
sen  A  B

 sen A cos B  cos A sen B ............. ( 9 )
cos  A  B

 cos A cos B m sen A sen B ............ ( 10 )
tan  A  B


tan A  tan B
.............................. ( 11 )
1 m tan A tan B
Las Identidades para el doble de un ángulo son:
sen 2   2 sen  cos  .................................. ( 12 )
cos 2   cos 2   sen 2  .............................. ( 13 a )
 2cos 2    ..................................... ( 13 b )
 1 2 sen 2  ...................................... ( 13 c )
tan 2   
1  cos 
.................................. ( 14 )
  cos 
Las Identidades para el semiángulo (mitad de un ángulo) son:
sen

 

1  cos 
............................... ( 15 )
2
cos

 

1  cos 
............................... ( 16 )
2
tan
sen 
 1  cos 


..................... ( 17 )

sen 
1  cos 
53
Funciones trigonométricas de ángulos negativos
Para obtener sen (  ) se hace uso de la identidad:
sen ( a  b )  sen a cos b  cos a senb
de modo que:
sen (  )  sen ( 0  )
 sen ( 0 ) cos   cos ( 0 ) sen 
sen ( 0 )  0
pero
sen (  )   sen 
por lo que:
cos ( 0 )  1
y
..................... ( 18 )
De manera similar, para cos (  ) se tiene:
cos (  )  cos ( 0  )
 cos ( 0 ) cos   sen ( 0 ) sen   cos 
por lo que:
cos (  )  cos 
......................... ( 19 )
Para determinar tan (   se usa la identidad ( 7 ), por lo que:
tan (   
Entonces:
sen (  
 sen 

  tan 
cos (  
cos 
tan (  )   tan 
...................... ( 20 )
Para las funciones recíprocas se usan las identidades ( 4 ), ( 5 ) y ( 6 ):
csc (   
1
1

  csc 
sen (  
 sen 
sec (   
1
1

 sec 
cos (  
cos 
cot (   
1
1

  cot 
tan (  
 tan 
54
Entonces:
csc (     csc 
( 21 )
sec (    sec 
( 22 )
cot (     cot 
( 23 )
EJEMPLOS
Ejemplo 6.1
Mediante identidades, calcular los posibles valores de  , considerando que
sen  

.

Resolución:
cos   
De la identidad ( 1 ):
 
 1 
1 

 2 
2

1  sen 2 
3
2
por lo que:
3
 30 o
2
  ang cos
o
330 o
o bien:

3 
o
  ang cos  
o
210 o
  150

2 

1
 0 , por lo que el lado terminal del ángulo está en los
pero sen  
2
o
cuadrantes I o II. Entonces:   30
o
  150 o
Ejemplo 6.2
Mediante identidades, calcular lo posibles valores de  , considerando que
sec     .
Resolución:
tan   
De la identidad ( 2 ) :
 

2

2
1  
sec 2   1
3
55
 3   60 o
  ang tan   3   120
  ang tan
por lo que:
240 o
o
o bien:
pero
o
o
300 o
sec    2  0 , por lo que el lado terminal del ángulo está en los
cuadrantes II o III. Entonces,   120
o
o   240 .
o
Otra forma:
1
1

sec   2
cos  
De la identidad ( 5 ):
 1 
o
  120 o
 2 
por lo que   ang cos 
ya que sec    2  0 , por
lo
240 o
que el lado terminal del ángulo está en los
cuadrantes II o III. Entonces ,   120
o
o   240 .
o
Ejemplo 6.3
o
Mediante la identidad ( 9 ), calcular el valor de sen 15 , tomando en cuenta que
1
sen 45 o 
1
, cos 45 
o
2
, sen 30 
o
2
Resolución:
De la identidad ( 9 ):

sen 15 o  sen 45 o  30 o

 sen 45 o cos 30 o  cos 45 o sen 30 o


2 
1

3

2
56
2
3
2

 

1

2
 1 


2  2 
1
3 1

2
2
2
3
1
o
y cos 30 
.
2
2
Ejemplo 6.4
o
Mediante la identidad ( 10 ), calcular el valor de cos 75 , tomando en cuenta que
1
sen 45 o 
1
, cos 45 
o
2
, sen 30 
o
2
Resolución:
De la identidad ( 10 ):

cos 75 o  cos 45 o  30 o
3
1
o
y cos 30 
.
2
2

 cos 45 o cos 30 o  sen 45 o sen 30 o


2 
3

2
Nota:
3
2
1

1

2

 

2
 1 


2  2 
1
3 1

2
2
2
Obsérvese que sen 15° = cos 75°, , lo cual se debe a que la función
coseno es cofunción de la función seno y a que el ángulo 15° es
complementario del ángulo 75°.
Ejemplo 6.5
o
Mediante las identidades ( 7 ), ( 9 ) y ( 10 ), calcular el valor de tan 210 .
Resolución:
De la identidad ( 7 ):
tan 210 o 
Utilizando las identidades ( 9 )
sen 210 o
............. ( A )
cos 210 o
y ( 10 ):
57

sen 210 o  sen 180 o  30 o

 sen 180 o cos 30 o  cos 180 o sen 30 o

 0



 

3
2

1
 1 
1  
  
2
 2 

cos 210 o  cos 180 o  30 o

 cos 180 o cos 30 o  sen 180 o sen 30 o


1 
3
3
 1 
 0
 
2
2
 2 
Se sustituye en ( A ):
tan 210 o 
Nota:

o
sen 210

cos 210 o

1
2
3
2

1
3
Este valor se puede calcular más rápidamente mediante la ecuación (11 ).
Ejemplo 6.6
o
Mediante la identidad ( 16 ), calcular el valor de cos 105 , tomando en cuenta que
cos 210 o  
3
2
Resolución:
De la identidad ( 16 ):
58
cos 105  
o
 
 
1  cos 210 o
2
1
2
3
2  
2
3
2
pero el ángulo   105
cos 105 o  
2 3
4
2
o
3
2
tiene su lado terminal en el cuadrante II, por lo que
.
Ejemplo 6.7
Mediante la identidad ( 13 c ), calcular el valor de cos 2  , tomando en cuenta que
sen 
3
.
5
Resolución:
De la identidad ( 13 c ):
cos 2   1  2 sen 2 
 3 
 1 2 
 5 
2
 1
18
7

25
25
Ejemplo 6.8
Mediante la identidad ( 13 b ) calcular el valor de cos 2  , tomando en cuenta que
cos  
2
3
Resolución:
De la identidad ( 13 b ):
cos 2   2 cos 2   
 2 
 2

 3 
2
1
8
1
1 
9
9
59
Ejemplo 6.9
Calcular el valor de sen 2  , tomando en cuenta que sen  
3
.
5
Sea  un ángulo agudo de un triángulo rectángulo como el que se muestra en la
figura
3
cateto opuesto

5
hipotenusa
sen  
5
3

x
Por el Teorema de Pitágoras:
por lo que cos  
x 
25  9  4

.

De la identidad ( 12 ):
sen 2   2 sen  cos 
 3   4  24
 2 
 
 5   5  25
Ejemplo 6.10
o
Mediante la identidad ( 16 ), calcular el valor de cos 15 .
Resolución:
De la identidad ( 16 ):
60
1  cos 30
2
cos 15 o  
2
cos 15 o  
3
4
o
 
2
2
 
3
2
1
3
2
pero el lado terminal del ángulo está en el primer cuadrante, por lo que
cos 15 o  0 . Entonces:
2
cos 15 o 
3
2
Ejemplo 6.11
o
Mediante las identidades ( 15 ) y ( 10 ), calcular el valor de sen 75 .
Resolución:
De la identidad ( 15 ):
1  cos 150 o
2
sen 75  
o
pero cos 150
o

 cos 180 o  30 o

por la identidad ( 10 ):
cos 150 o  cos 180 o cos 30 o  sen 180 o sen 30 o

 1 


3
2

 1 
  0 
  
2



3
2
61
Por lo que

3 
1  


2


2
sen 75 o  
 
3
2
1
2
2
 
2
 
3
4
3
2
Pero el lado terminal del ángulo está en el primer cuadrante, por lo que
sen 75 o  0 .
Entonces: sen 75
o

2
3
2
.
Ejemplo 6.12
o
Mediante la identidad ( 7 ), calcular el valor de tan 15 .
Resolución:
De la identidad ( 7 ):
sen 15 o
tan 15 
cos 15 o
o
pero, en el ejemplo 3 se obtuvo que :
3 1
sen 15 o 
2
2
y en el ejemplo 10 se obtuvo que:
cos 15 o 
62
2
2
3
por lo que
3 1
tan 15 o 
2
2
2 3
2
Nota:

3 1

2 

2

3 

Este valor también se puede calcular mediante la identidad ( 11 ) ,
o
o
o
considerando que 15 es igual a 45 menos 30 .
Ejemplo 6.13
o
Mediante la identidad ( 18 ), calcular el valor de sen (  240 ) .
Resolución:
o
o
Por la identidad ( 18 ): sen (  240 )   sen 240
Pero
sen 240 o   sen ( 240 o  180 o )
  sen 60 o  
3
2

3
sen (  240 o )    

2


 

Entonces:
3
2
Ejemplo 6.14
o
Mediante la identidad ( 19 ), calcular el valor de cos (  300 ) .
Resolución:
o
o
Por la identidad ( 19 ): cos (  300 )  cos 300
Pero
cos 300 o  cos ( 360 o  300 o )  cos 60 o 
1
2
Entonces:
cos (  300 o ) 
1
2
63
Ejemplo 6.15
o
Mediante la identidad ( 20 ), calcular el valor de tan (  135 ) .
Resolución:
o
o
Por la identidad ( 20 ): tan (  135 )   tan 135
Pero
tan 135 o   tan ( 180 o  135 o )   tan 45 o   1
Entonces:
tan (  135 o )   (  1 )  1
Ejemplo 6.16
o
Mediante la identidad ( 4 ), calcular el valor de csc (  240 ) .
Resolución:
Por la identidad ( 4 ): csc (   ) 
Por lo que:
csc (  240 o ) 
1
sen (  240 o )
En el ejemplo 13 se obtuvo:
sen (  240 o ) 
3
2
Por lo que:
csc (  240 o ) 
1
3
2
64

2
3
1
sen (   )
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Determinar el valor de  , considerando que cos  
Respuesta:
2.
  60 o
  300 o
o
1
.
2
2
Calcular el valor de  , considerando que csc   
.
3
Respuesta:
3.
  240 o
  300 o
o
o
Mediante la identidad ( 10 ), calcular el valor de cos 15 , tomando en
cuenta que:
cos 60 o 
sen 45 o 
1
,
2
3
,
2
sen 60 o 
1
cos 45 o 
y
2
1
2
cos 15 o 
Respuesta:
1
2
4.
3
2
o
Mediante la identidad ( 9 ), calcular el valor de sen 75 , tomando en cuenta
que
sen 45 o 
1
,
1
cos 45 o 
2
cos 30 o 
Respuesta:
y
3
2
sen 75 o 
1
3
2
Mediante la identidad ( 6 ), calcular el valor de cot 150
Respuesta:
1
2
sen 30 o 
2
2
5.
,
cot 150
o
 
o
.
3
65
6.
Mediante la identidad ( 15 ), calcular el valor de sen 120
cos 240 o  
Respuesta:
7.
1
.
2
sen 120 o 
3
2
cos 2  


Calcular el valor de cos 2  , considerando que cos  
Respuesta:
9.
considerando que
Calcular el valor de cos 2  , tomando en cuenta que sen  
Respuesta:
8.
o
cos 2  



.

Calcular el valor de sen 2  , tomando en cuenta que cos  
Respuesta:
sen 2  
2
.
3



.

o
10. Mediante la identidad ( 15 ), determinar el valor de sen 15 .
Respuesta:
sen 15 o 
2
3
2
o
11. Mediante la identidad ( 16 ), determinar el valor de cos 75 .
Respuesta:
cos 75 o 
2
3
2
o
12. Mediante las identidades ( 6 ) y ( 17 ), determinar el valor de cot 15 .
Respuesta:
66
cot 15 o 
1

2 

2
3
3



13. Calcular el valor de sen (  90 ) .
o
Respuesta:
sen (  90 o )   1
14. Calcular el valor de cos (  120 ) .
o
Respuesta:
cos (  120 o )  
1
2
15. Calcular el valor de cot (  210 ) .
o
Respuesta:
cot (  210 o )  
3
67
7.
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Hasta este momento nos hemos enfocado principalmente a la resolución de
triángulos rectángulos; Sin embargo, se dispone en este momento de toda la
información necesaria para resolver también triángulos oblicuángulos.
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no contiene ángulo recto. En este tipo de
triángulos, los tres ángulos son agudos, o bien, dos de sus ángulos son agudos y
uno obtuso.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
Los datos que determinan un triángulo oblicuángulo pueden darse de una de las
tres maneras siguientes:
a)
Dando sus tres lados
b)
Dando dos ángulos y un lado
c)
Dando dos lados y un ángulo
Para resolver este tipo de triángulos se usan, dependiendo de los datos, la ley de
los senos o la ley de los cosenos.
7.1 LEY DE LOS SENOS
Sea el triángulo
68
Cc
Trazando las alturas

E
b
CD y AE se tiene:
del triángulo ACD tenemos:
a
CD
b
CD  b sen  ... 1
sen  


A

D
c
B
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
Del triángulo BCD tenemos:
CD
sen  

CD  a sen  ...  2 
a
de ( 1 ) y ( 2 ) se tiene:
b sen   a sen 
de donde:
a
b

...  3 
sen  sen 
Por otro lado, del triángulo ACE tenemos:
AE
sen  

AE  b sen  ...  4 
b
Del triángulo ABE tenemos:
AE
sen  

AE  c sen  ...  5 
c
de ( 4 ) y ( 5 ) se tiene:
b sen   c sen 
de donde:
b
c

...  6 
sen  sen 
de ( 3 ) y ( 6 ) se llega a:
69
a
b
c


sen  sen  sen 
Ley de los senos
o también se puede escribir como:
sen  sen  sen 


a
b
c
Ley de los senos
La ley de los senos también puede deducirse partiendo de un triángulo
obtusángulo.
7.2
LEY DE LOS COSENOS
Sea el triángulo
B

a
c
h


C
b
b-x
Del triángulo ABD tenemos que:
x
cos  
... 1
c
x  c cos 
también:
70
...  2 
A
D
x
c2 = h2 + x2
h2 = c2 – x2 ... (3)

Por otro lado, del triángulo BCD se tiene:
a2 = h2 + (b – x)2 ... (4)
sustituyendo ( 3 ) en ( 4 ) :
a2  c2  x2 
 bx 
2
a 2  c 2  x 2  b 2  2b x  x 2
a 2  b 2  c 2  2b x
como x  c cos  entonces:
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
Ley de los cosenos
En forma análoga se puede llegar a que:
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
Ley de los cosenos
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
Es conveniente señalar lo siguiente:

La ley de los senos es aplicable directamente cuando se conoce, de un
triángulo oblicuángulo, dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, o
cuando se conocen dos ángulos y un lado.

La ley de los cosenos es aplicable directamente cuando se conoce, de un
triángulo oblicuángulo, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o
cuando se conocen los tres lados.
EJEMPLOS
Ejemplo 7.1
Para el triángulo ABC dado en la figura, calcular las partes restantes, si:
a)
b)
c)
d)
e)






=
=
=
=
f)
a =
41° ,
20° ,
81° ,
60° ,
150° ,


c
b

=
=
=
a =

31°
11 m
20 m
150 M
10 m , b = 15 m
y
y
y
y
y
a
y
b
b
c
c
=
=
=
=
=
10.5 m
210 m
12 m
30 m
30 m
c
=
12 m
71
B
c

a


A
b
Resolución:
a) Como 180
 180

 180
  62
Al aplicar la ley de los senos, se tiene:
b
10.5
o 
sen 62
sen 41o
 b  14.13 m

10.5 sen 62o
b
sen 41o

c  15.59 m
Por otro lado:
c
14.13
o 
sen 77
sen 62o
14.13 sen 77o
c 
sen 62o
Finalmente:
a  10.5 m
  41
b  14.13 m
c  15.59 m
  62
  77
b)
72
Como  +  +  = 180° 
  = 180° - 20° - 31°
 = 180° -  - 

 = 129°
C
Al aplicar la ley de los senos, se tiene:
a
210

sen 129o
sen 20o
210 sen 129o
a 
sen 20o

a  477.17 m
Por otro lado:
c
210
o 
sen 31
sen 20o
c 
210 sen 31o
sen 20o

c  316.23 m
Finalmente:
a  477.17 m
  129o
b  210 m
  20o
c  316.23 m
  31o
c)
Al aplicar la ley de los senos, se tiene:
11
12
=
sen 81o
sen 

12 sen 81o
sen  
11
sen   1.08  1
Como el seno de un ángulo debe estar entre -1 y 1, y para el caso que nos ocupa
se obtuvo que sen  = 1.08, , se puede concluir que con los valores dados no se
puede construir un triángulo.
d)
Como se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, entonces
es aplicable la ley de los cosenos.
Se tiene que:
73
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
a2 


20
2
  30

2
 2  20
  30 
cos 60o
a 2  1300  600
a  26.46 m
por otro lado:
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
al despejar:
a2  c2  b2
cos  
2ac

26.46    30    20 
cos  
2  26.46   30 
cos   0.756

  ang cos 0.756

2
2
  40.89o
al calcular

, se tiene:
      180o
  180o    
  180o  60o  40.89o

  79.11o
Finalmente:
a  26.46 m
  60o
b  20 m
  40.89o
c  30 m
  79.11o
74
2
e)
En este caso también se puede aplicar la ley de los cosenos.
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
b2 
 150 
2
  30

2
 2  150
  30 
cos 150o
b 2  23400  7794.23

b 2  31194.23
b  176.62 m
Por otro lado:
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
 150 
2
  176.62

2
  30   2  176.62
2
  30 
cos 
de donde:
 176.62    30    150 
2  176.62   30 
2
cos  
2
2
cos   0.905
  ang cos 0.905

  25.18o
se sabe que:
      180o
al sustituir  y  , se tiene:
25.18o  150o    180o

  180o  150o  25.18o

  4.82o
Finalmente:
f)
a  150 m
  25.18o
b  176.62 m
  150o
c  30 m
  4.82o
Conocidas las longitudes de los tres lados, se puede aplicar la ley de los
cosenos.
75
Se tiene que:
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
10 
2

 15 
2
  12

2
 2  15
  12  cos 
de donde:
cos  
 15 
  12    10
2  15   12 
2
2

2
cos   0.747
entonces:
  ang cos 0.747
  41.67o
Al conocer el ángulo , es posible emplear la ley de los senos o bien, volver a
aplicar la ley de los cosenos para determinar o . Empleando la ley de senos, se
tiene:
a
b

sen 
sen 
al sustituir:
10
15
o 
sen 41.67
sen 
de donde:
sen  
15 sen 41.67o
10
sen   0.997
entonces:
  ang sen 0.997

  85.56o
Al obtener  se tiene:
      180o
  180o    
  180o  41.67o  85.56o
  52.77o
76
Finalmente:
a  10 m
  41.67o
b  15 m
  85.56o
c  12 m
  52.77o
Ejemplo 7.2
Cuando un edificio se ve desde un punto A, el ángulo de elevación es de 41°.
Cuando se ve desde otro punto B, que se encuentra a 20 m. más cerca del
edificio, el ángulo de elevación es de 48°. Calcular la altura del edificio.
C
7
o
b
41
A
o
h?
a
132
o
c
48
o
D
B
20 m
Resolución:
Al aplicar la ley de los senos en el triángulo ABC se tiene:
ä
20

sen 41 sen7

a
20 sen 41
sen7

a  107.66 m
Del triángulo BCD se tiene:
sen 48 
h
a

h  107.66 sen 48 
h  80.01m
Ejemplo 7.3
Un avión de reconocimiento que vuela a una altura de 10 000 pies, localiza un
barco A a un ángulo de depresión de 37° y a otro barco B a un ángulo de
depresión de 21° ( ver figura ). Además, encuentra que el ángulo que se define al
observar ambos barcos es de 130°. Calcular la distancia d entre los barcos.
77
C
37 o 130o
b
21o
10 000
a
D
21o
37o
A
B
D =d?
Resolución:
Del triángulo ACD se obtiene: sen 37 
o
Del triángulo BCD se obtiene: sen 21 
o
10 000
10 000
 b=
= 16 616.4 pies.
b
sen 37 o
10 000
10 000
 a
= 27 904.28 pies.
a
sen 21o
Dado que se conocen, del triángulo ABC, los dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos, se debe aplicar la Ley de los cosenos:
d 2  a 2  b 2  2ab cos 130o
  27904.28    16616.4   2  27904.28   16616.4  cos 130o
2
2
 7.7864810 8  2.76104 10 8  5.960810 8
 1.65083  10 9  d= 40 630.44 pies
78
Ejemplo 7.4
Los puntos A y B de la figura están situados en orillas distintas de un río y son
inaccesibles desde los puntos x e y. Determinar la distancia AB partiendo de los
datos que se dan a continuación
B
S A XY  129 o
S AYX  32 o
A
S B YX  113o
L4
L3
L2
S B XY  43o
L1
Y
X
450 m
Resolución:
Del triángulo AXY se obtiene:
A = 180º - AXY – AYX = 19º
Al aplicar la ley de los senos:
L2
450

sen 19o sen 129o

L2
450 sen 129o

sen 19o

1074.17 m
Del triángulo BXY se obtiene:
S B  180o  S BYX  S BXY  24o
Al aplicar la ley de los senos:
L4
450 sen 43
450


L4 
sen 24 sen 43
sen 24

754.54 m
Al aplicar la ley de los cosenos
S AYB  113o  32  81o
    L4 
AB 2  L 2
2
2
 2 L 2 L 4 cos 81o   1074 .17    754 .54   2  1074 .17   754.54  cos 81o
AB 2  1723 171.8  253 581.6
2

2
AB  1212.27 m
79
Ejemplo 7.5
Un helicóptero se encuentra suspendido a una altura de 1000 metros sobre la
cumbre de una montaña que tiene 5 210 metros de altitud. Desde esa cima y
desde el helicóptero puede verse la cúspide de otra montaña más alta. Desde la
cima de la primer montaña, el ángulo de elevación es de 18°. Desde el helicóptero,
el ángulo de depresión es de 43° ( ver figura ). Calcular:
a) La distancia de un pico al otro.
b) La altitud de la cumbre de la montaña más alta.
43°
1000 m
18°
Resolución:
a) De la figura se obtiene:
A
47 °
b
1 00 0
6 1°
C
a
72 °
18°
B
80
D
Al aplicar la ley de los senos en el triángulo ABC , se tiene:
1000
a
o 
sen 47
sen 61o

a 
1000  sen 47o
sen 61o


836 .20 m
por lo tanto, la distancia entre los picos es 836.20 m.
b)
Conocido el valor de = a  836 .20 m , del triángulo BCD se tiene:
sen 18o 
CD
a

CD  a sen 18o

 836.20  sen 18o

258.40 m
por lo tanto, la altitud del pico más alto es igual a:
Altitud  5210  258.40  5468.40 m
Ejemplo 7.6
Una caja rectangular tiene dimensiones de 8 cm por 6 cm de base y una altura de
4 cm, como se muestra en la figura. Obtener el ángulo formado por la diagonal de
la base y la diagonal de una cara de 6 cm x 4 cm.
B
C
4 cm

A
6 cm

8 cm
Resolución:
Es necesario calcular la longitud de las diagonales que definen el ángulo ,
además de la longitud de la diagonal de la cara de dimensiones 8 cm x 4 cm; con
estas tres longitudes se puede aplicar la ley de los cosenos para calcular el ángulo
pedido. De esta forma se puede obtener:
81
2
2
 7.21 cm
2
2
 10 cm
2
2
 8.94 cm
AB 
6 4
AC 
8 6
BC 
8 4
Al aplicar la ley de los cosenos:
BC
2
 AB
2
 AC
 2  AB
2

AC

cos 
sustituyendo:
 8.94 
2

 7.21 
2
  10

2
 2  7.21
  10 
cos 
79.92  51.98  100  144.2 cos 
 151.98  144.2 cos 
cos  
151.98  79.92
144.2
  ang cos 0.5
o
  60

EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Sea el triángulo
C

b


A
82
a
c
B
Al considerar ciertas partes conocidas del triángulo ABC, determinar qué ley debe
utilizar para calcular los datos solicitados, ley de los senos o la ley de los cosenos,
y obtener dichos datos:
a)
a  17 m
,
c  14 m
y
  30
;
calcular b
b)
b  17 m
,
a  12 m
y
  24
;
calcular 
c)
c  189 cm
,
a  150 cm
y
  85.3 ;
calcular 
d)
a  25.7 cm
,
b  38.7 cm y
  10.8 ;
calcular c
2.
Tres circunferencias de radios 115, 150 y 225 m, respectivamente, son
tangentes entre sí por la parte externa. Determinar los ángulos del triángulo
formado al unir los centros de las circunferencias.
3.
Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en
carreteras rectas que difieren 84  en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas por
hora, respectivamente, ¿a qué distancia se hallarán al cabo de 20 minutos?
4.
Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 metros de longitud.
Calcular el ángulo más pequeño entre los lados.
5.
Como se muestra en la figura, un teleférico transporta pasajeros desde el
punto A, que está a 1.2 millas del punto B que se halla en la base de una
montaña, hasta un punto P de la cima de la montaña. Los ángulos de
elevación de P desde A y B son 21° y 65°, respectivamente.
a)
Calcular la distancia entre A y P.
b)
Calcular la altura de la montaña
P
A
21°
B
65°
1.2 millas
83
6.
Un camino recto forma un ángulo de 22º con la horizontal. Desde un punto P
sobre el camino, el ángulo de elevación de un aeroplano en el punto A es de
57º. En el mismo instante, desde otro punto Q situado a 100 metros cuesta
arriba, el ángulo de elevación es de 63º. Como se indica en la figura, los
puntos P, Q y A están en el mismo plano vertical. Calcular la distancia desde
P al aeroplano.
A
camino
Q
P
7.
22°
Las tejas en estrella se forman a partir de un rombo ABCD con lados de
longitud 1 y un ángulo interior de 72º. Primero se ubica un punto P de la
diagonal AC que está a una distancia 1 del vértice C y luego se dibujan los
segmentos PB y PD a los otros vértices de la diagonal, como se muestra en
la figura. Las dos tejas formadas reciben el nombre de dardo y cometa. En
química molecular se han aplicado figuras tridimensionales similares a dichas
tejas.
Calcular la medida en grados de
1
B
Cometa
1
C
1
1
P
72°
Dardo
A
84
BPC ,
1
D
APB y
ABP .
8.
Una catedral se encuentra sobre una colina, como se muestra en la figura.
Cuando se observa la parte superior del campanario desde la base de la
colina, el ángulo de elevación es de 48°; cuando se ve a una distancia 200
pies desde la base de la colina, es de 41°. La colina se eleva a un ángulo de
32°. Calcular la altura de la catedral.
41°
48°
200
9.
En la siguiente figura, determinar la longitud de CD . Sugerencia: Determinar
primero la longitud de BD .
D
125°
30°
A
85°
B
4m
C
10. Mientras viaja en un auto a 60 km/h, hacia una montaña, un pasajero
observa que el ángulo de elevación hacia la cima de la montaña es 12°.
Cinco minutos después, mide el ángulo de elevación y es 18°. ¿Cuál es la
altura de la montaña?
11. Calcular el área del siguiente triángulo:
3m
115°
4m
85
12. Se construye un puente sobre un cañón. La longitud del puente es de 1537
m. Desde el punto más bajo del cañón, los ángulos de elevación de los
extremos del puente son 78° y 72°. ¿Cuál es la profundidad del cañón?
1537 m
h
78 
72 
13. Demostrar que el área de un cuadrilátero es la mitad del producto de las
longitudes de sus diagonales por el seno del ángulo entre las mismas.
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
a)
Ley de cosenos ,
b  8.5 m
b)
Ley de senos
  35 
c)
d)
Ley de senos ,
Ley de cosenos,
,
  52.28 
c  14.3 cm
43.17  , 61.33  y 75.5 
24 millas .
4.
24.98 
5.
a) 1.6 millas .
b) 0.6 millas .
6.
628 m
7.
72  , 108  y 36 
8.
350 pies .
3.9 m
9.
10. 3.1 km
11. 5.44 m 2
12. h  2859.64 m
2.
3.
86
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
1)
Earl W. Swokowski,
Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica,
Segunda Edición 1988,
Grupo Editorial Iberoamérica.
2)
Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer,
Trigonometría,
Segunda Edición 1991,
McGraw-Hill.
3)
Arthur Goodman/Lewis Hirsch,
Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica,
Segunda Edición, 1996,
Prentice Hall
4)
Swokowski – Cole,
Trigonometría,
Octava Edición 1997,
Thomson, editores.
5)
Stanley A. Smith, et al.
Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica
Addison – Wesley Iberoamericana, S.A.
Segunda Edición, 1997.
6)
*Maor E. (1998). Trigonometric Delights. New Jersey: Princeton University
Press. O´Connor J. & Robertson E. The trigonometric functions. Disponible
en: http://wwwhistory.mcs.st andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions.html
87