Electrotecnia-Tema4

Ondas de señal
f
f
Tema 4
A
T1
t
t
Ondas de Señal:
Onda Alterna Senoidal
f = E0 sen (ω
ωt + φ)
f=0
f=A
E0 es la amplitud
ω es la pulsación
ω t + φ es el ángulo de fase
φ es el ángulo de fase inicial
Ondas de Señal: Ondas de Excitación y Respuesta
A
+
f
T1 = T. de escalón
A = Amplitud
f
A
iAB
uAB
iAB
Receptor
Receptor
t
t
Función rampa modificada
B
Excitación: u(t)
t < T1
t > T1
Pulso rectangular
B
Respuesta: u(t)
Excitación: i(t)
Respuesta: u(t)
i(t)
i(t)
f
f
Ondas de señal: Onda alterna senoidal
Una onda es una gráfica o ecuación que
da una descripción completa de la señal
en función del tiempo
t
t
Tren de impulsos
Exponencial
4.1.- CLASIFICACIÓN DE ONDAS
f
f
Según repetición del valor de la magnitud con el tiempo:
t
Onda rectangular
t
Onda Triangular
Funciones periódicas: El valor de magnitud se repite con
el tiempo a intervalos iguales:
e(t)
f
T
t
e = f(t) = f(t + nT)
t
Diente de sierra
4.1.- CLASIFICACIÓN DE ONDAS
Es decir, la función se repite cada vez que transcurre un
tiempo T llamado PERÍODO; n ha de ser entero.
4.1.- CLASIFICACIÓN DE ONDAS
Según repetición del valor de la magnitud con el tiempo:
Según signo de la magnitud:
- Bidireccional: Polaridad de la magnitud (+) y (-) y
cambia con el tiempo.
Funciones no periódicas: Son aquéllas en el que el valor
que toma la función es arbitraria con el tiempo.
Ejemplos: onda senoidal, triangular, etc.
- Unidireccional: Polaridad única.
e(t)
Ejemplos: tren de impulsos, onda exponencial,
dientes de sierra, etc.
En electrotecnia: onda bidireccional senoidal
onda exponencial
escalón unitario
la función rampa.
t
Valores que definen una onda periódica.
Valores que definen una onda periódica.
t
t
T
T
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
Cada ciclo está descrito por su propia ecuación
Cada intervalo está descrito por su propia ecuación
Valores que definen una onda periódica.
Valores que definen una onda periódica.
t
T
t
T
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
Cada intervalo está descrito por su propia ecuación
Cada intervalo está descrito por su propia ecuación
Valores que definen una onda periódica.
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
Son índices asociados a un ciclo
Consideremos una onda periódica e(t):
e(t)
t
T
Periodo: Tiempo T que tarda en repetirse la función
t
Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t+T
T
Cada intervalo está descrito por su propia ecuación
Valores que definen una onda periódica.
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
Son índices asociados a un ciclo
Consideremos una onda periódica e(t):
e(t)
Valor máximo
t
E MAX
Valor de cresta
a cresta
T
Fase: Fracción de periodo transcurrido
desde el instante que tomamos como
referencia
t
E CC
1 sg
Frecuencia: Numero de ciclos que se repite la
onda en la unidad de tiempos f·T = 1
Valor Mínimo
E MIN
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
I
Significado electrotécnico del valor medio de i(t)
med
=
Son índices asociados a un ciclo
1
∫ i( t )dt
T
T
0
(Variable: Carga transportada o almacenada, i = dq/dt)
En una onda simétrica se habla de amplitud:
A i(t)
e(t)
Valor máximo
uAB
E MAX
Q = ∫ i( t )dt
T
0
1
B
E MAX = E MIN = E 0
Amplitud
uAB
E MIN
Suponiendo
Q1 = Q2
A IMED
t
T
Receptor
Q = ∫ I dt = I
T
Receptor
2
0
MED
I
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
E
T
med
0
Valor eficaz
E
ef
=
T
2
0
E
F =
E
MED
ef
=
0
MED
T
0
I
1
∫ i dt
T
T
2
0
(Variable: Energía consumida o transportada, dw = p dt )
A i(t)
Max
uAB
C
ef
Factor de Forma
1
∫ e ( t ) dt
T
T = ∫ i dt
T
I
1
∫ i dt
T
=
Significado electrotécnico del valor eficaz de i(t)
Factor de Cresta
1
= ∫ e( t )dt
T
T
B
Valor Mínimo
Valor medio
MED
E
F =
E
w = ∫ R i dt = R ∫ i dt
T
2
0
B
A Ief
Suponiendo
W1 = W2
R ∫ i dt =
=RI T
T
w = ∫ R I dt = R I T
T
Receptor
2
2
0
2
B
f
med
T
2
0
1
uAB
ef
Receptor
I
ef
=
1
∫ i dt
T
T
0
2
2
0
2
4.2.- Valores asociados a las Ondas periódicas.
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Nomenclatura de los valores asociados a las magnitudes eléctricas:
Magnitudes
Intensidad
Tensión
f.e.m
Potencia
i(t)
u(t)
e(t)
p(t)
V. eficaz
I
U
E
V. medio
Im
Um
Em
P
Amplitud
I0
U0
E0
P0
V. máximo
IMAX
UMAX
EMAX
PMAX
V. mínimo
IMIN
UMIN
EMIN
PMIN
ICC = IPP
UCC = UPP
ECC = EPP
PCC = PPP
Valores
asociados
V. de cresta a
cresta
e(t) = E0 sen(ω
ω t + ϕ 0)
e
t
T
Factor de cresta
FC
FC
FC
Factor de forma
FF
FF
FF
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
e(t) = E0 sen(ω
ω t + ϕ 0)
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
e(t) = E0 sen(ω
ω t + ϕ 0)
e
E0
• E0 es la amplitud (valor máximo de la función)
• ω es la pulsacion (rad/s)
• (ω
ωt + ϕ0) angulo de Fase
• ϕ 0 Fase inicial (grados)
• e(t) es el valor que toma la función en un
instante, es el valor instantáneo
t
ϕ0
T
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
e(t) = E0 sen(ω
ω t + ϕ 0)
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Ventajas Matemáticas:
•
Se puede derivar e integrar repetidamente y seguir siendo una senoide de
la misma frecuencia. (cambia la amplitud y el ángulo de fase).
e
ωt
t
Periodo T = 2π
π/ω
ω (s)
Frecuencia f = 1/T (Hz)
πf (rad/s)
Pulsación ω = 2π
i(t) = I0 sen(ω
ωt) di/dt = I0ω cos (ω
ωt) = I0 ω sen (ω
ωt+π
π/2)
∫ i dt =
•
ϕ0
f red Europa: 50 Hz
Ciclo
+
T sg
ω T rad = 2 π rad
Se puede generar con facilidad
•
Su transformación en otras ondas de diferente amplitud se consigue con
facilidad mediante la utilización de transformadores
•
Las operaciones para su utilización resultan igualmente sencilla por
tratarse de la función seno
0
a(t) = A0 sen (ω
ωt+φA)
ωt+φB)
b(t) = B0 sen (ω
c(t) = C0 sen (ω
ωt+φC)
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
•
0
La suma de ondas senoidales de igual frecuencia es otra onda senoidal de
igual frecuencia pero de parámetros diferentes (valor máximo o mínimo o
también de cresta).
f red Canada, E.E.U.U. 60 Hz
Ventajas Tecnológicas:
I
I
π
(− cos(ωt )) =
sen (ωt − )
ω
ω
2
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Respuesta: u(t) =
Excitación: i(t) = I0 sen (ω
ωt + ϕ1 )
A iAB
B
uR = i R
uL = L di/dt
uC = 1/C I i dt
uAB = uR + uL + uC
Excitación:
i(t) = I0 sen (ω
ωt + ϕ1 )
Respuesta:
u(t) = U0 sen (ω
ωt + ϕ2)
U0
ϕ2
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Respuesta: u(t) =
Excitación: i(t) = I0 sen (ω
ωt + ϕ1 )
Transformador
Reductor
15kV
A iAB
B
Generación
15-30 kV
uR = i R
uL = L di/dt
f = 50 Hz
Transporte
380-400kV
uAB = uR + uL + uC
Respuesta:
Excitación:
Transformador
Elevador
230 V
uC = 1/C I i dt
u(t) = U0 sen (ω
ωt + ϕ2)
i(t) = I0 sen (ω
ωt + ϕ1 )
Distribución
Transformador
Consumo
240-400 V
f = 50 Hz
Consumo
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
I0 ωt + ϕ1
U0
ωt + ϕ2
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Ventajas Matemáticas:
Ventajas Matemáticas:
•
Una onda periódica no senoidal, permite, mediante el desarrollo en
serie de fourier, ser descompuesta en un número de funciones
senoidales y cosenoidales de frecuencias múltiples de la
fundamental (armónicos).
Admite una representación exponencial lo que permite operar con
vectores giratorios denominados fasores que admiten una
representación en el plano complejo. Por ello la teoría de circuitos en
C.A. senoidal utiliza como base los números complejos
u(t) = u(t + T) Onda periodica ejθθ = cos(θ
θ ) + j sen (θ
θ)
Según Euler
u (t ) = U
0 CC
A
ejθθ
= A cos(θ
θ ) + j A sen (θ
θ)
+ U sen ωt + U sen 2ωt + U sen 3ωt + .... +
01 S
+U
01 C
02 S
cos ωt + U
ωt+φ ) + j A sen (ω
ωt+φ )
A ej(ωωt+φ) = A cos(ω
Valor
medio.
componentes
armónicas
fundamentales.
02 C
03 S
cos 2ωt + U
03 C
cos 3ωt + ....
componentes
armónicos de orden
superior
4.3.1.- Generador de corriente alterna
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
A
+
uAB
S
uAB(t) = uAB(t + T) Receptor
ω·t+φ
S
ωt +φ
r
Onda periodica B
B
S
N
B
Velocidad de giro:ω
ω
Respuesta: u(t) ó i(t)
Excitación: u(t)
r
pulsación
u (t ) = U0 CC + U01S sen ωt + U02S sen 2ωt + U03S sen 3ωt + .... +
ω
+ U01C cos ωt + U02C cos 2ωt + U03C cos 3ωt + ....
+
A
+
U0CC
+
B
U02S sen 2ω
ωt
U01S sen ωt
uAB
4.3.1.- Generador de corriente alterna
4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL
Algunos desarrollos interesantes son:
UM
UM
t
t
T
T
f (t ) =
Ley de Faraday
2.-Rectificación de media onda:
1.-Rectificación completa:
4Um  1 1
1

cos 4ωt + ... 
 + cos 2ωt −
π 2 3
15

ω=
3.-Onda cuadrada:
UM
-UM
f (t ) =
T/2
Um 
π
2

f (t ) =
 1 + senωt − cos 2ωt + .... 
π 
2
3

2π
T
t
T/2
4Um
4Um
4Um
senωt +
sen3ωt +
sen5ωt + ...
π
3π
5π
ENUNCIADO: Si el flujo del campo magnético a través
de un circuito varía con el tiempo, en dicho circuito
aparece una fuerza electromotriz inducida que es igual
a la derivada del flujo magnético a través del circuito
con respecto al tiempo con signo menos.
dΦ
ε=−
dt
Esta fem en el circuito da lugar a una intensidad
inducida i=ε
ε/R
4.3.1.- Generador de corriente alterna
r
ωt+φ
S
B
B
S
Velocidad de giro:ω
ω
pulsación
ω
e
Valor de
cresta
máximo
EMAX = E0
Valor
eficaz
Eef
ECC
Valor
medio
r r
dΦ
d(N·B ⋅ S )
d(N B S cos(ωt + ϕ ))
ε =−
=−
=−
=
dt
dt
dt
= −BNS
e(t) = E0 sen(ω
ωt)
S
ωt+ φ
r
N
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
d
(cos(ωt + ϕ )
dt
= (BNSω) s e n(ωt + ϕ)
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
e(t) = E0 sen(ω
ωt + ϕ)
wt
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
e(t) = E0 sen(ω
ωt)
E0
• Pulsación ω = 2π
πf (rad/s)
2π
π
EMIN=- E0
Valor medio:
• Frecuencia f = 1/T (Hz)
• Fase inicial ϕ (grados)
Valor de
cresta
mínimo
e(t)
• Periodo T = 2π
π/ω
ω (s)
ω t + ϕ)
• Fase (ω
EMed = 0
1
E = ∫ e( t )dt
T
T
m
0
ωt
ϕ
T
T ω = 2π
π
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
e(t) = E0 sen(ω
ωt)
E
Valor eficaz:
E
2
ef
1
∫ e ( t ) dt
T
T
=
ef
e(t) = E0 sen(ω
ωt)
Se utiliza el valor eficaz de la onda senoidal
como referencia de esta
2
0
Aparatos de medida valores eficaces
T = ∫ e ( t ) dt =
T
2
Receptores
0
E
= E ∫ sen ( ω t ) dt =
T
2
E
E =
2
valores eficaces
2
T
2
2
0
0
0
0
ef
U = 220 V
f = 50 Hz
u(t ) = 2 220 sen (100 πt )
U0= 311,2 V
UCC= 622,4 V
4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales
e(t) = E0 sen(ω
ωt)
Factor de
Cresta
Factor de
Forma
E
F =
E
Max
C
F =
f
E
E
ef
ef
med
E
=
= 2
E / 2
REPRESENTACION
CARTESIANA Y
0
0
=
E / 2
= 1,11
2E / π
0
0
SIMBOLOGICA O POLAR
e(t) = E0 sen(ω
ωt ± ϕ0)
e(t) = E0 cos(ω
ωt ± ϕ0)
ONDA ALTERNA SENOIDAL
REPRESENTACION
CARTESIANA DE LA
e
ONDA SENO
t
ωt
e(t) = E0 sen(ω
ωt ± ϕ0)
T
2π
π
Ciclo : Onda seno
ONDA ALTERNA SENOIDAL
ONDA ALTERNA SENOIDAL
e(t) = E0 sen(ωt)
e
t
t
ωt
T
2π
π
Ciclo : Onda seno
ONDA ALTERNA SENOIDAL
ONDA ALTERNA SENOIDAL
e
e
t
ωt
Ciclo Seno en ATRASO (-)
t
ωt
Ciclo Seno en ADELANTO (+)
ONDA ALTERNA SENOIDAL
ONDA ALTERNA SENOIDAL
e(t) = E0 sen(ωt - ϕ0)
e(t) = E0 sen(ωt + ϕ0)
e(t=0) = E0 sen(ϕ
ϕ0)
e
e
t
ωt
e(t=0) = E0 sen(- ϕ0)
ϕ0
t
ωt
ϕ0
T
T
2π
π
2π
π
Ciclo Seno en ATRASO (-)
Ciclo Seno en ADELANTO (+)
ONDA ALTERNA SENOIDAL
e
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
e
t
ωt
ADELANTO (+)
ATRASO (-)
t
e(t) = E0 sen(ωt + ϕ0)
e(t) = E0 sen(ωt - ϕ0)
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
REPRESENTACION
CARTESIANA DE LA
ONDA COSENO
t
e(t) = E0 cos(ωt ± ϕ0)
T
2π
π
Ciclo: Onda Coseno
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
e(t) = E0 cos(ωt + ϕ0)
e(t) = E0 Cos(ωt)
e
ϕ0
e
t
ωt
t
ωt
e(t=0) = E0 cos( ϕ0)
T
2π
π
Ciclo coseno en ADELANTO (+)
Ciclo: Onda Coseno
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
e
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
e
t
Ciclo coseno en ADELANTO (+)
t
Ciclo coseno en ATRASO (-)
ONDA ALTERNA
ONDA ALTERNA COSENOIDAL
e(t=0) = E0 cos( -ϕ
ϕ0)
e(t) = E0 cos(ω
ωt +ϕ
ϕ 1)
e(t) = E0 cos(ωt - ϕ0)
e
e(t) = E0 sen(ω
ωt +ϕ
ϕ 2)
e
t
ωt
t
ωt
ϕ1
π /2
ϕ0
ϕ2
e(t) = E0 sen(ω
ωt + ϕ2) = E0 sen(ω
ωt + π /2+ ϕ1) = E0 cos(ω
ωt + ϕ1)
sen(α + π /2) = cos(α )
Ciclo coseno en ATRASO (-)
ONDA ALTERNA
ONDA ALTERNA
e(t) = E0 cos(ω
ω t - ϕ 1)
Para representar a esta onda
se escoge el ciclo seno
e(t) = E0 sen(ω
ωt +ϕ
ϕ 2)
e
ϕ2
ϕ1
t
ωt
π /2
e(t) = E0 sen(ωt + ϕ2) = E0 sen(ωt + π /2 - ϕ1) = E0 cos(ωt - ϕ1)
sen(α + π /2) = cos(α )
EXPRESIÓN DE FOURIER
Representación simbólica senoidal
Las anteriores expresiones de la función senoidal se
puede describir mediante combinación lineal de las
funciones seno y coseno:
a(t) = A0 sen(ω
ωt + ϕi)
e(t) = E0 sen(ω
ωt + ϕ) = a cos(ω
ωt) + b sen(ω
ωt)
ω
y
e(t) = E0 cos(ω
ωt + ϕ) = a cos(ω
ωt) + b sen(ω
ωt)
Las constantes a y b se denominan Coeficientes de Fourier
y se definen por: a=e(0) y b=e(T/4) que para la función
seno valen:
a = e(0) = E0 sen(ϕ
ϕ)
A0
a(t ) = A ⋅ sen(ωt + ϕ )
0
ωt
i
ωt+ϕi
b = e(T/4) = E0 sen(π
π/2 + ϕ) = E0 cos(ϕ
ϕ)
ϕi
siendo T el período de la función senoidal.
x
Los Coeficientes de Fourier tienen las mismas unidades que la onda (Voltios
o amperes) y cualquiera de ellos, o ambos, pueden ser negativos.
EXPRESIÓN DE FOURIER
ϕ)
b = E0 cos(ϕ
a(t) = A0 sen(ω
ωt)
a2 + b2 = E20 sen2(ϕ
ϕ) + E20 cos2(ϕ
ϕ) = E20
2
0
2
i
a
Operando con a y b:
E = a +b
0
Representación simbólica senoidal
e(t) = E0 sen(ω
ωt + ϕ) = a cos(ω
ωt) + b sen(ω
ωt)
a = E0 sen(ϕ
ϕ)
a(t ) = A ⋅ cos(ωt + ϕ )
a/b = Tg (ϕ
ϕ)
t
e(t) = a cos(ω
ωt) + b sen(ω
ωt) = a + b sen (ωt + arc tg
2
2
Con las expresiones anteriores podemos pasar de un tipo de
expresión a otro tipo.
a
)
b
Definición de fasor
Representación simbólica senoidal
Imaginario
a
ω
ω
A0
a(t) = A0 sen(ω
ω t + ϕ i)
A0
φi
t
ωt
Real
Representación simbólica senoidal
Imaginario
Versor
A =Ae
j ( ωt + ϕ i )
Fasor
A =Ae
j ( ϕi )
0
0
0
= A ωt + ϕ
0
=A ϕ
0
i
i
A =A ϕ
Cada fasor representa una onda senoidal distinta
a
ω
ω
A0
a(t ) = A ⋅ sen(ωt )
0
a(t) = A0 sen(ω
ω t + ϕ i)
A0
0
φi
ωt
t
ωt
Real
Versor: vector giratorio en el plano complejo
A =Ae
0
j ( ωt )
0
Exponencial
= A ωt = A cos (ωt ) + j A sen (ωt )
0
Polar
0
0
Cartesiana
A =A ϕ
0
0
i
a(t) = A0 sen(ω
ω t + ϕ i)
adelanto
i
Cada fasor representa una onda senoidal distinta
a
ω
REPRESENTACIÓN FASORIAL DE LAS MAGNITUDES ELÉCTRICAS
SENOIDALES DE IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
U =U ϕ
a(t) = A0 sen(ω
ω t - ϕ i)
0
0
I =I ϕ
0
0
φ = φ1- φ2
1
Desfase
2
ω
ω
φi
t
ωt
A0
A 0 = A 0 − ϕi
a(t) = A0 sen(ω
ω t - ϕ i)
I0
φ
I0
U0
φ
U0
φ
U0
I0
atraso
U esta retrasada respecto a I un ángulo φ
I esta adelantada respecto a U un ángulo φ
REPRESENTACIÓN FASORIAL DE LAS MAGNITUDES ELÉCTRICAS
SENOIDALES DE IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
u(t) = U0 sen(ω
ωt + ϕ1)
U =U ϕ
i(t) = I0 sen(ω
ωt + ϕ2)
I =I ϕ
ω
I0
0
0
a
0
0
1
2
En electrotecnia, la intensidad se refiere a la tensión
ω
U =U ϕ
I=I ϕ
I0
2
φ
U0
U0
φ
φ1
ϕ
I esta adelantada respecto
a U un ángulo φ (desfase -)
U0
ω
φ = φ1- φ2
Desfase
φ2
1
I0
I esta atrasada respecto a U
un ángulo φ (desfase +)
t
ωt
φ = φ1- φ2
Desfase
SUMA DE DOS ONDAS SENOIDALES DE
IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
En electrotecnia, la intensidad se refiere a la tensión
ω
I0
φ
e1(t) = E01 sen(ω
ωt + ϕ1)
+
e2(t) = E02 sen(ω
ωt + ϕ2)
U0
representación de los
ϕ T = arc tg
fasores en el plano de los
U0
2
1
02
01
1
01
1
1
1
ϕ = E cos ϕ + j E sen ϕ = b + j a
2
02
2
02
2
2
(b1+ b2) + j (a1+a2) = bT+ j aT
EOT
EOT = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )
2
aT=a1+a2
ϕ
bT= b1+b2
I0
ϕ T = arc tg
φ = φ1- φ2
ET = EOT ϕ T
Desfase
SUMA DE DOS ONDAS SENOIDALES DE
IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
e1(t) = E01 sen(ω
ωt + ϕ1)
= a1 cos(ω
ωt) + b1 sen(ω
ωt)
e2(t) = E02 sen(ω
ωt + ϕ2)
= a2 cos(ω
ωt) + b2 sen(ω
ωt)
SUMA DE DOS ONDAS SENOIDALES DE
IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
j
= aT cos(ω
ωt) + bT sen(ω
ωt) =
2
2
T
T
e 2 = Ee02(t)=E
sen ( ω tsen(ω
+ ϕ 2ω)t+ϕ
ϕ 1)
1
01
a1
E 01
ϕT
a2
a
)
b
ϕ1
ϕ2
E 02
R
b1 b2
T
T
e T = E 0T sen ( ω t + ϕ T )
e 1 = E 01 sen ( ω t + ϕ 1 )
E 0T
eT(t) = E0T sen(ω
ωt + ϕT) = (a + a ) cos(ω
ωt) + (b1 +b2) sen(ω
ωt)
1
2
= a + b sen (ωt + arc tg
a1 + a2
b1 + b 2
EOT = (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2
e
+
ϕ = E cos ϕ + j E sen ϕ = b + j a
01
E =E
a1 + a2
b1 + b 2
2
números complejos
φ
1
eT(t) = E0T sen(ω
ωt + ϕT)
Diagrama fasorial:
ω
E =E
E OT cos
ϕT = E O1 cos ϕ1 + E O2 cos ϕ2 =
=
E OT sen
b1
+
b2
ϕT = E O1 sen ϕ1 + E O2 sen ϕ2 =
=
a1
+
a2
E OT = ( b 1 + b 2 ) + ( a 1+ a 2 ) j
t
2
EJERCICIO: En un nudo de un circuito eléctrico concurren tres
ramas, siendo el valor de las intensidades que circulan por ellas
i1, i2, iT conociéndose dos de ellas. Calcular la tercera.
SUMA DE DOS ONDAS SENOIDALES DE
IGUAL FRECUENCIA Y DIFERENTE FASE
e1(t) = E01 sen(ω
ωt + ϕ1)
E =E
1
E =E
e2(t) = E02 sen(ω
ωt + ϕ2)
2
01
02
ϕ =b + ja
i1(t) = 240 sen(314 t + 20º)
ϕ =b + ja
i2(t) = 210 sen(314 t + 80º)
1
2
2
2
A
i2(t)
Suma
Números
complejos
iT(t)
a) Por la representación simbólica:
i1(t)
I1 = 240 20 = 225 ,5 + 82 ,08 j
i2(t)
I2 = 210 80 = 36 ,46 + 206 ,8 j
Representación
simbólica
eT(t) = E0T sen(ω
ωt + ϕT)
i1(t)
1
Solución:
Representación
simbólica
Por
Fourier
1
I T = 390 47 ,79 = 261,9 + 288 ,9 j
E =E
T
OT
ϕ =b + ja
T
T
T
iT (t) = 390 sen (314 t + 47,79)
EJERCICIO: En un nudo de un circuito eléctrico concurren tres
ramas, siendo el valor de las intensidades que circulan por ellas
i1, i2, iT conociéndose dos de ellas. Calcular la tercera.
i1(t) = 240 sen(314 t + 20º)
i1(t)
i1
A
i2(t) = 210 sen(314 t + 80º)
i2(t)
Solución:
Condiciones impuestas a las conexiones. (Leyes de Kirchhoff)
iT(t)
1ª Ley de Kirchhoff
i3
i2
a) Por Fourier:
i1 = a1 cos(314 t ) + b1sen(314 t ) = 82,08 cos(314 t ) + 225 sen(314 t)
i2 = a2 cos(314 t ) + b2 sen(314 t ) = 206,8 cos(314 t ) + 36,466 sen(314 t)
iT = i1 + i2 = 288,9 cos(314 t ) +261,97 sen(314 t) =
288,9
)
= 288,92 + 261,972 sen (314t + arc tg
261,97
iT = 390 sen (314 t + 47,79)
i1
+
i2
+
i3
=0
I01sen (ω
ωt+φ1) + I02sen (ω
ωt+φ2) + I03sen (ω
ωt+φ3) = 0
I1
+
I2
+
I3
=0
EJERCICIO: Determinar la diferencia de potencial entre A y B
conociendo las tensiones uBC,uCD y uDA.
D
A
UDA
uBC(t) = 240 sen(314 t + 20º)
UAB
UCD
uCD(t) = 210 sen(314 t + 80º)
i1
1ª Ley de Kirchhoff
UBC
uDA(t) = 390 sen(314 t + 48º)
C
Solución:
Condiciones impuestas a las conexiones. (Leyes de Kirchhoff)
uAB + uBC + uCD + uDA = 0
i1 + i2 + i3 = 0
B
i2
uBC + uCD + uDA = - uAB
D
UBC = 240 20 = 225 ,5 + 82 ,08 j
A
2ª Ley de Kirchhoff
UCD = 210 80 = 36 ,46 + 206 ,8 j
UDA
uAB + uBC + uCD + uDA = 0
UCD
UDA = 390 48 = 261,9 + 288 ,9 j
UAB
UBC
C
− UAB = 780 48 = 523 ,8 + 577 ,8 j
uAB (t) = 780 sen (314 t + 228)
Condiciones impuestas a las conexiones. (Leyes de Kirchhoff)
D
A
UDA
2ª Ley de Kirchhoff
UAB
UCD
FIN
UBC
C
+
uBC
+
B
uCD
+
uDA
=0
UABsen (ω
ωt+φAB) + UBCsen (ω
ωt+φBC) + UCDsen (ω
ωt+φCD) + UDAsen (ω
ωt+φDA) = 0
UAB
+
UBC
+
B
Las leyes de Kirchoff son aplicables a las
ondas y también a los fasores
UAB = 780 228 = −523 ,8 − 577 ,8 j
uAB
i3
UCD
+
UDA
=0
TEMA 4