4MA2DF02 Formule de Moivre & formules trigonométriques relatives AVERTISSEMENT : (pour l'examen oral) Cette feuille est inomplète : elle donne uniquement le squelette du sujet à traiter. Chaque armation ou étape doit pouvoir être expliquée, justiée et illustrée. Il faut également savoir répondre aux questions en lien ave le sujet. Formule de Moivre : Soit n ∈ N∗ . Alors : n (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) = cos (nϕ) + i sin (nϕ) (∗) Démonstration : (par réurrene) Anrage (initialisation) : Pour n=1 l'armation (∗) √ 1 (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) = cos (1 · ϕ) + i sin (1 · ϕ) est vraie : Pas de réurrene (hérédité) : Hypothèse de réurrene : l'armation On obtient alors pour n=k+1 k+1 (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) (∗) est vraie pour n=k (k ≥1 est un entier ) : k = (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) · (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) = (cos (kϕ) + i sin (kϕ)) · (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) = cos (kϕ) cos (ϕ) − sin (kϕ) sin (ϕ) + i (cos (kϕ) sin (ϕ) + sin (kϕ) cos (ϕ)) = cos (kϕ + ϕ) + i sin (kϕ + ϕ) (.f. orollaire i-dessous) = cos ((k + 1) ϕ) + i sin ((k + 1) ϕ) L'anrage et le pas de réurrene ensemble démontrent que l'armation (∗) est vraie pour tout n ∈ N∗ . Théorème : cos (α − β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) Démonstration : 0 ≤ α−β ≤ π (sinon il existe k ∈ Z ave 0 ≤ α − β + k · π ≤ π et la formule reste valable) cos (α) cos (β) → − → − a = und b = sin (α) sin (β) 2 2 → → → → − − − 2 → → a = k− a k + b − 2 · k− a k · b · cos (α − β) b −− q 2 2 2 (cos (β) − cos (α)) + (sin (β) − sin (α)) = 1 + 1 − 2 · 1 · 1 · cos (α − β) Soit le as : Soit : On a : cos (α − β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) Corollaire : cos (α + β) = cos (α) cos (β) − sin (α) sin (β) und sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) Démonstration : cos (α + β) = cos (α − (−β)) = cos (α) cos (−β) + sin (α) sin (−β) = cos (α) cos (β) − sin (α) sin (β) sin (α + β) = cos π π π π − (α + β) = cos − α − β = cos − α cos (β) + sin − α sin (β) 2 2 2 2 = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) AK CdC 2014 - 2015